不可轻视求根公式

刘兰芝

（云南省玉溪市教科所 云南玉溪 653100）

求根公式不仅在初中的数学教学中有了举足轻重的地位与作用，而且在高中的数学中也有不同寻常的作用。不少高考题的解题过程中都离不开它，非它莫属，下面我们一起看看求根公式在解高考题的过程中的作用。

一、解一元二次方程（解析几何题）时的应用

例1.（2008•陕西卷）双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30º 的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为

[解析]∵MF2垂直x轴，

[评析]在解一元二次方程时用到了求根公式，并且解此方程只能用求根公式来解。

二、解指数方程时的运用

例2.（2008•上海卷）已知函数

（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；

（Ⅱ）若对于恒成立，求实数m的取值范围。

[解析] （Ⅰ）当x＜0时，f（x）=0，不符合题意。

当x≥0时，

利用求根公式求得

[评析]在解一元二次方程时只能用求根公式来解。

三、解三角方程（解析几何题）时的运用

例3.（2007•广东卷）在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限，半径为的圆C与直线y=x相切于坐标原点O。

椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）试探究圆C上是否存在于异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF 的长。若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

[解析]（Ⅰ）设圆C的圆心为（m，n）， 则

解得m=-2， n=2。故所求圆的方程为

（Ⅱ）因为a=5，故椭圆为

又 F（4，0），假设存在Q点

使

则

得有

由求根公式得因此，不存在符合题意的点Q。

[评析]方程的求解须依靠求根公式。

四、解二元二次方程（集合题）时的运用

例4.（2004•全国Ⅱ卷）设集合则集合中的元素个数为（ ）

A.1 B. 2 C.3 D.4

[解析]由方程组

解之得

从而有两解，所以，集合中的元素个数为2个，故选B。

[评析]本题也可以用图象法解，即作图后图中有两个交点。在解一元二次方程时少不了求根公式。

五、求f′（x）=0的根（函数的单调性）时的运用

例5.（2008•全国Ⅰ卷）已知函数

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数f（x）在区间内是减函数，求a的取值范围。

[解析]（Ⅰ）

⑴当△＞0时，4（a2-3）＞0，即或时，由f ′（x）=0

解得两根为则 ①x在

函数f（x）是增函数；②x 在

f ′（x）＜0，f（x）是减函数;③x在

f ′（x）＞0， 函数f（x）是增函数。

⑵ 当△＜0及△=0时略。

[评析]在解方程f ′（x）=0时，再次展现了求根公式的特殊功能。

从上面的考题中可以看出，不少的题解答都要用到求根公式，并且许多高考题必须用求根公式方能解答，所以，对求根公式应该

记牢、熟用，达到运用自如，熟能生巧，熟能生思的状态，才有利于提高解题效率。