例谈不同视角下的三角函数计算中学生运算素养的培养

（陕西省礼泉县第一中学 陕西咸阳 713200）

高中数学核心素养主要是指：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析这六个方面。其中数学运算素养关乎学生成绩的高低，高考数学《考试说明》对运算能力也有明确的要求：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简洁的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算。

三角函数属于高中数学主干知识，在高考试题中难度属于中低档，但是学生在这部分的得分情况并不尽人意，往往是会而不对、对而不全，实质上学生只要真正掌握本章的知识，是可以拿全分的。同一个三角函数问题，学生思考的角度不同、维度不同，其涉及的运算量是有差距的，合理地选择运算途径，可以有效减少运算量，从而提高运算能力。但是简洁的运算是建立在学生有扎实的知识储备，深刻灵活的思维基础上的，由于现阶段的高考不再是知识立意而是能力立意、素养立意，因而学生要适应当前高考对计算能力层次的考查，必须提升运算素养。那么在教学中基于“运算”视角下的三角函数教学观，我们可以关注以下几个方面：

一、掌握三角函数概念，完善知识体系

有学者说学数学就是学概念，概念是思维的细胞，要会根据概念的不同表征，深刻理解概念，对概念的理解会随着知识的深化、完善而不断发展变化，这是一个循序渐进的过程，同时要注意定义在不同的题型中灵活应用。在理解时要善于发现知识点之间的联系和规律，学会知识信息的转换，积极开展类比、联想以完善认知结构，使学生系统、全面地理解知识，从中归纳出最简捷的解题方法。

例1：已知，则tanα=_______.

学生易想到的解法如解法1：（构造齐次式）

解法2：（方程思想）

解法3：（辅助角公式）

求解本题时，很少有学生能想到定义也是可以完成的，说明学生对定义的认知有局限性，往往忽视定义在计算中的作用。

解法4：（定义法）

二、立足函数性质，凸显三角特性

三角函数作为学生高考的主要得分区域之一，无论试题如何变化，高考的重心仍会在性质方面，一般考查三角函数定义域与值域、单调性、周期性、奇偶性与对称性等，若灵活运用函数性质，可有效减少运算量。

例2：已知f(x)=为偶函数，则实数a,b满足的关系是_______.

以上解法1根据偶函数定义，思维量小，计算量大，解法2利用偶函数的必要性，解法3抓住奇偶函数的导函数的性质，解法4抓住三角函数的性质，也使问题迎刃而解。

三、挖掘运算的多样性，提升学生的思维品质

数学思维品质的表现有以下五个方面：敏捷性、灵活性、深刻性、独创性、批判性。学生的运算能力与思维品质密不可分，思维品质决定计算的方向、途径、及改变障碍思维的能力，在本章中经常涉及三角恒等变形、最值的运算，学生会根据自己的认知能力有不同的运算途径，要在对比中逐步完善学生思维品质。

例2：设当时，取得最大值，则cosθ=_______.

在以上的解法中，体现出学生不同的思维层次，其中解法1、2常规，大部分学生只想到辅助角公式，再通过角的变换或用方程求解，显然解法3、4独辟蹊径，充分结合柯西不等式、导数研究函数最值的方法，可见对同一个问题思维的发力点不同，直接决定解题的简洁程度，因而在教学提升学生的思维品质显得尤为重要。

四、抓住知识间纵横联系，培养创新意识

运算是思维的载体，运算能力体现学生思维能力，向量与三角函数密不可分，如上例中，构造函数f(x)为两个向量的数量积，使问题的解决别开生面，所以在教学中要善于培养学生的创新思维，培养创新意识。

五、增强学习信心，培养学生的意志力

G.波利亚认为，解题是一种信心和意志力的教育。纵观历年高考题，三角函数的考查都难度不大，所以教师在高一讲授新课、高三复习本章时，都要给学生极大的信心支持，即使有创新题目，也要排除胆怯心理，大胆应对，只要审题认真、细心计算，均可将这一部分的分数囊括手中。当然自信心的培养需要一个过程，并且和学生运算能力的逐渐提高紧密相连的。但是教师也要有意识的破除学生的畏难心理暗示，提高运算的自信心。

学生运算素养的培养是一个系统过程，往往我们教师只注重对问题思路、方法的点拨，忽视了对问题完整的解答过程，岂不知一个完整、完备的思维过程也应包含计算过程，因而运算素养的培养必须建立在运算能力的基础之上，教师只有从基于“运算”的课堂抓起，在学生其他素养的综合运用下优化运算，从而提升运算素养。