形如“ax2+bxy+cy2”求最值问题的探究

江苏省金湖中学 张 艳

一、问题的提出

最值问题一直是高考中的热点问题，因变量多、结构复杂常导致处理难度大，但如果我们能抓住结构特征，善于归纳总结，将会事半功倍的。以下是笔者针对形如“ax2+bxy+cy2，求dx2+exy+fy2最值问题”的探究，供大家参考。

二、问题的思考

例1 已知正实数满足则12x2+8xy-y2的最小值为__________.

分析：本题中有两个变量，对于多元问题，通常考虑消元，但本题中，用x，y中的任何一个量来表示另一个量都不方便。而注意到已知式子和目标式的特点，先观察条件能否因式分解后整体换元，或用所求的式子除以1，构造齐次分式，或灵活运用基本不等式。

分析：如上观察条件能否因式分解后整体换元，或用所求的式子除以1，构造齐次分式，灵活运用基本不等式，配方后三角换元等。

分析：注意到所求的代数式为二次齐次式，所以可以应用“1”的代换将其变为齐次分式，同时观察条件可因式分解，则也可以因式分解后整体换元。

三、问题的归纳

形如最值问题”的常用方法有：

1.注意到已知式子和目标式的次数特点，则都可以构造齐次分式来处理。

2.如果条件易于因式分解，则因式分解后整体换元，从而起到化简题目的作用。

3.理清两个变量之间的关系，灵活运用基本不等式。

4.配方后三角换元。

当然，此类题目综合性比较强，需要我们不断总结，更多时候要具体问题具体分析。