抛物线的一个几何性质的探究与应用

【摘要】抛物线是圆锥曲线的重要组成部分。是高考的重点，也是难点。抛物线有很多几何性质，它的几何性质在社会生产活动和国民经济活动中有很大的使用价值。如果掌握了这些性质，学生很容易解决有关抛物线的问题。对抛物线的一个性质加以探究并做了推广。

【关键词】抛物线 几何性质

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）18-0-01

随着新课程的改革和实施，抛物线几何性质的学习对文科学生的要求有所降低，只要求掌握有关焦点弦的问题，不要求学生掌握直线与抛物线的一般关系问题。学生更深入学习抛物线的性质有很大的限制。抛物线有很多几何性质，它的几何性质在社会生产活动和國民经济活动中有很大的使用价值。除了新教材上讲的几何性质外，他还有很多几何性质。下面我对其中的一个几何性质加以探究并推广。

性质：直线AB经过抛物线y2 =2px （ p>0 ）的焦点F，与抛物线相交于A， 两点。其中 A（ x1 ， y1 ） ， B（ x2 ， y2 ） ， 则A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值。即 ，y1 y2=-p2。

证明：直线AB的方程为x=my+，

与抛物线 y2=2 px联立得

∴ y1 y2=-p2 .

∵ y12=2px1， y22=2 px2

∴ （y1 y2）2=4 p2 x1 x2

∴

探究：若直线AB经过抛物线 y2=2 px （ p>0）的轴上的一点P（n，0），A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积是否为定值？

设直线AB的方程为 x = my + n，

与抛物线y2 =2 px联立得

即A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值。

推广：直线A，B经过抛物线 y2 =2 px （p>0）的轴上的一点P（2， 0），与抛物线相交于A，B两点，其中 A （x1，y1），B （x2， y2） ，则A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值。即 x1 x2 =n2， y1 y2 =-2 pn 。

例题. 直线AB经过抛物线 y2 =2 px （p>0） 轴上的一点P（2，0），与抛物线相交于A，B两点，并且 =0， 则抛物线的方程为______________.

分析：设 A （x1，y1）， B （x2， y2） ，则由性质的推广可知n=2，

所以 x1 x2 =4， y1 y2 =-4 p。又因为 =0，

所以 x1 x2 + y1 y2 =0，即 4-4 p =0.所以 p=1 。

因此抛物线的方程为 y2 =2 x。

点评：性质推广的应用可以使解题过程简单，避免了繁杂的运算。

作者简介：费小林（1970.5-），男，中学高级教师，大学本科，从事高中数学教学，2014年12月获得甘肃省中小学农村骨干教师。长期担任高三数学教学。