最小角定理的理解与解题能力提升策略研究

施洋

Study on the Understanding of the Minimal Angle Theorem and the Strategy of

Problem-solving Ability Improvement

摘要：高中数学新课标人教B版教材选修2-1中，最小角定理仅作为直线与平面成角定义的补充进行了阐述。深入延伸教材中关于最小角的相关内容，引导学生结合实际背景理解最小角概念，运用最小角定理进行变式训练，对学生熟练掌握直线与平面成角的知识点，提高空间思维能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力有较大帮助，是高中数学教学过程中应引起重视的一个知识点。

Abstract： In Section 2-1 of the PEP B mathematics textbook for new curriculum of senior high school mathematics， the minimal angle theorem is only described as a supplement to the definition of the angle between the straight line and the plane. To extend the relevant content of the minimum angle in the teaching materials， guide students to understand the concept of the minimum angle in combination with the actual background， and use the minimum angle theorem to perform variant training can help students master the knowledge of the angles of the straight line and the plane， and improve spatial thinking ability， abstract summary ability， ability to reason， and data processing skills. It is a knowledge point that should be paid attention to in the process of mathematics teaching in high schools.

关键词：最小角定理；变式训练；高中数学

Key words： minimal angle theorem；variant training；high school mathematics

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）15-0238-02

0 引言

高中数学新课标人教B版教材选修2-1中，最小角定理仅作为直线与平面成角定义的补充进行了如下阐述：“斜线和平面所成的角，是这條斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角”（以下称为最小角定理）。但是课本及有关教辅材料对最小角定理的理解及如何在数学问题中进行应用却未提及，使得学生在学习时容易忽略该定理的应用。如果我们能够准确理解最小角定理，并巧用该定理分析空间成角问题，就会扩展分析思路、提高解题速度，实现学以致用的目标。

1 结合实际背景强化最小角定理的理解

新课标的《普通高中数学课程标准》明确指出高中数学教学应注重对数学思想方法的培养、对数学能力的培养，展现数学的科学价值和人文价值。数学定义与定理是客观事物的数与形的本质属性的反映，是数学知识学习和运用的逻辑基础。

概念与定理的引入对掌握与运用数学概念定理起决定性作用，通过实际背景进行引入更能引起学生的学习兴趣、更符合学生的认知规律、更容易使学生接受。否则学生对于变形问题无从下手，达不到大纲对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力的要求。要培养学生的上述四种能力，教师应在数学概念与定理的理解上多下功夫。结合实际背景对概念与定理进行详细讲解。这种策略不仅可以让学生理解其内涵和外延，还可以使学生掌握其本质特征，从而能运用自如地解决数学问题。

最小角是直线与平面成角的特例，是在初中所学角的基础上对角在空间范畴上的扩展。最小角的例子在生活中处处可见，比如衡量比萨斜塔的倾斜程度就是直线与平面成角的典型事例，其角度指明了变化的范围，在旋转的过程中还涉及到方向，自然容易得到最小角的概念，让学生理解、接受。

通过实际背景引入最小角概念，使得概念具体化，便于学生理解，为最小角定理的论证与应用奠定良好基础。

命题：设OB⊥平面α，B为垂足，OA是平面α的斜线，A为斜足。∠OAB=θ1，l是平面α内的任一直线，l与AB所成的角为θ2，l与OA所成的角为θ，如图1。

又由于0

推论2：（最小角定理）平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中最小的角。

2 应用最小角定理，通过变式训练提高学生解题能力

例题与习题的变式教学就是指在例题、习题的教学过程中，当学生获得了相关的基本解法后，通过改变题目条件、探求题目结论、改变题目情境等多种途径，强化学生对知识的理解、掌握和变通，帮助他们对问题进行多方向、多层次、多角度的思考，使思维不局限于固定的理解和某一固定的模式，从而提出新问题或者获得同一问题的多种解法或多种结果。“一题多解”是一种典型的例题与习题的变式教学。

∴异面直线AB与CD所成角θ=60°

法2：几何法求解：

取AC、BD、BC的中点依次为E、F、G，连接BD、EF、EG、FG，利用三角形中位线定理证明FG∥CD，EG∥AB，结合异面直线夹角定义，利用平移法构造∠FGE为异面直线AB与CD所成的角，由此能求得异面直线AB与CD所成角θ=60°。

法3：最小角定理法：

如图，过B分做棱AC的垂线BO，

则易知，CD与平面ABC所成角为45°，∠DCA=θ1= 45°，∠BAC=θ2=45°，

又设AC与BD所成的为θ，由最小角定理知，cosθ= cos45°·cos 45°=

∴异面直线AB与CD所成角60°

3 结论

结合实际背景强化最小角定理的理解，应用最小角定理、通过变式训练提高学生涉及直线与平面所成角问题的解题能力，对学生增强空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力有事半功倍之效，是高中数学教学过程中应引起重视的一个知识点。

参考文献：

[1]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M].山东教育出版社，2001.

[2]杨波.新教育下的高中数学教学模式的探索与实践[J].科学导报，2015（5）：75-76.

[3]杨相春.探究最小角定理 求解一类二面角[J].数理化学习（高中版），2014（01）.