小型无人直升机反步自适应控制

周 健，王 敏，洪 良，李 珣

ZHOU Jian,WANG Min,HONG Liang,LI Xun

西安工程大学 电子信息学院，西安 710048

School of Electronics and Information,Xi’an Polytechnic University,Xi’an 710048,China

1 引言

随着计算机技术、通讯技术的迅速发展以及各种数字化、体积小、测量精度高的新型传感器不断面世，小型无人直升机系统的研制受到了广泛关注。小型无人直升机是一种强非线性、高度耦合和具有不确定性影响的复杂系统，因此，在进行飞行控制系统设计时应采用非线性控制的方法处理时变耦合的动力学模型。小型无人直升机飞行控制系统设计实际就是解决多输入多输出系统存在不确定性时的鲁棒性设计问题。

近年来，由Kokotovic P V等人发展起来的反步（Backstepping）控制设计方法[1]在处理非线性问题时显示出独特的优越性，特别是针对级联线性或非线性系统，通过选取合适的 Lyapunov函数，在构造辅助控制输入的同时补偿不确定性的影响，最终得到稳定的控制律，反步法在不确定非线性系统控制设计中引起了广泛关注，并且在航空航天领域得到了应用[2-7]。反步法与神经网络相结合可以解决一类不确定非线性系统的设计问题[8-9]。文献[10]针对一类非线性系统，设计了基于神经网络的反步控制器，但Lyapunov函数的选择复杂；Kendoul基于无人直升机的非线性模型采用反步控制方法设计姿态控制器，所设计的控制器在闭环系统中虽具有渐近稳定的性能，但存在较大的控制误差[11]。

本文提出一种基于CMAC神经网络的小型无人直升机反步自适应姿态控制器设计方法。针对具有复杂动力学特性的小型无人直升机非线性动力学模型，采用CMAC神经网络在线学习系统不确定性以及反步控制中各阶虚拟控制量的导数信息，同时设计鲁棒控制项克服CMAC神经网络在线学习系统不确定性的误差，根据系统状态误差和神经网络参数估计误差构造Lyapunov函数递推设计小型无人直升机反步自适应控制器，并在悬停以及小速度前飞模态下对所设计的控制器进行仿真以验证设计方法的有效性。

2 小型无人直升机动力学模型

本文研究对象为自主研制的小型无人直升机系统[12]，如图1所示。控制的目的是在悬停以及小速度前飞模态下实现姿态指令θ、φ的跟踪。小型无人直升机机体运动是由周期变距输入δlat和δlon通过旋翼产生的挥舞传递至桨毂产生相应的力和力矩的变化，进而引起机身产生线速度和角速率的变化，最终实现姿态和位置的变化。忽略对轴向影响较小的气动力导数，构成小型无人直升机姿态控制系统的非线性动力学模型如下：

式中，p、q为机体坐标系下机身的角速度；L、M为力矩矢量；θ、φ为俯仰角和滚转角；a1、b1为纵向挥舞角和横向挥舞角；Ixx，Iyy，Izz为机体坐标系中绕轴的转动惯量；为主旋翼响应的时间常数，γ为洛克系数，Ω为主旋翼转速；A1和B1分别为横向周期变距输入和纵向周期变距输入；Alon和Blat分别表示为主旋翼横纵向周期变距输入与挥舞角横纵向输出之间的有效增益系数。

图1 小型无人直升机系统

根据小型无人直升机的控制输入与响应输出的特点，需要设计姿态角指令跟踪控制律u，使系统输出y稳定跟踪给定的输入信号yr，有效抑制不确定项Δ1、Δ2、Δ3对系统的影响，因此，将小型无人直升机的数学模型写为如下形式：

其中，状态变量，控制变量为纵向控制输入和横向控制输入。定义。在实际飞行过程中，状态矩阵中的气动导数实际为多个状态变量的非线性函数，不能精确已知，因此，由建模误差等因素产生的系统不确定项可表示为：

其中，Δf1、Δf2、Δf3、Δg1、Δg2、Δg3表示建模误差。

3 反步自适应控制器设计

3.1 反步自适应控制器结构

CMAC是一种表达复杂非线性函数的表格查询型自适应神经网络[13-15]，其实质是一种查表技术，CMAC神经网络把信息存储在局部的结构上，在保证函数逼近的前提下，具有学习速度快、结构简单，易于软硬件实现的特点。

为了提高小型无人直升机的控制精度，本文提出一种采用CMAC神经网络与反步自适应控制相结合的控制器设计方法，其结构如图2所示。从图中可以看出，反步控制方法将每一个子系统（如式（7））中的x1,x2,x3作为虚拟控制输入，通过设计适当的虚拟反馈xi+1=ai(x1,x2,…,xi)，使得前面的子系统得到镇定，且状态达到渐近稳定，但系统的虚拟反馈一般并不可得。因此，可引入误差变量zi+1=xi+1-ai(x1,x2,…,xi)，通过控制输入的作用，使得xi+1渐近收敛于ai(x1,x2,…,xi)，从而实现整个系统的渐近稳定，同时，通过设计CMAC神经网络在线逼近系统不确定性以及反步控制中各阶虚拟控制量的导数信息，使系统输出可渐近跟踪期望输出x1r，进而提高系统的控制精度。

图2 反步自适应控制器结构图

3.2 控制器设计

在设计控制器之前，先给出与系统控制律设计相关的定义和假设：

假设1期望的参考信号有界且一阶导数有界。

假设2矩阵可逆。

首先，考虑闭环系统（7）的第1个子系统，引入跟踪误差状态变量：

式中，a1为理想的中间级虚拟控制量。

设计CMAC神经网络在线逼近系统不确定性：

式中，1=w1-，w1为期望权值矩阵，为权值向量矩阵的估计，ε1为理想逼近误差，为误差权值向量矩阵，即估计权值向量矩阵与期望权值向量矩阵的误差。对z1求导，可得：

选取第一个子系统的理想虚拟控制量为：

由于Δ1期望权值w1未知，得不到理想的a1，因此用估计值代替期望权值w1。上式中k1和σ1为正实数；σ1tanh(z1)为设计的鲁棒项，用以抵消逼近误差ε1的影响。为避免控制量的不连续，用双曲正切函数tanh()代替符号函数sgn()。

将公式（12）代入至公式（11）可得：

选取Lyapunov函数：

对V1求导可得：

选择CMAC神经网络自适应权值调整规则为：，其中 0＜β1＜2 ，将其代入式（14）：

式中下标中的1表示第1步误差权值向量矩阵，i表示其中的i个列向量；v1表示第一步m维相联空间A中的向量；z1i下标中的1表示第1步得到的输出误差向量，i表示其中的i个元素，i=1,2,…,n。由于：

因此，公式（15）中项可写为：

公式（15）中项可写为：

可以得到：，将其代入公式（15）中：

由于a1不是最终的控制信号，因此需要第二步设计，对z2求导得：

设计CMAC神经网络在线逼近系统不确定性：

选取理想的中间级虚拟控制量：

由于Δ2期望权值w2未知，得不到理想的a2，因此用估计值w2代替期望权值w2。σ2tanh(z2)为设计的鲁棒项，用以抵消逼近误差ε2的影响。

将公式（20）代入公式（19）中：

选取Lyapunov函数：

选择CMAC神经网络自适应权值调整规则：，其中 0＜β2＜2。

对V2求导可得：

根据公式（16）、（17）同理推导可得：，将上式代入公式（22）中：

考虑闭环系统（7）的第3个子系统Δ3，定义虚拟反馈误差z3=x3-a2对z3求导，可得：

设计CMAC神经网络在线逼近系统不确定性：，其中

设计系统的控制输入为：

由于Δ3期望权值w3未知，得不到理想的控制输入u，因此用估计值代替期望权值w3。σ3tanh(z3)为设计的鲁棒项，用以抵消逼近误差ε3的影响。

将公式（25）代入公式（24）中：

选取Lyapunov函数：

选择CMAC神经网络自适应权值调整规则：，其中，0＜β3＜2。

对V3求导可得：

根据公式（16）、（17）可以同理推导得到：zT3w3v3=，将其代入公式（27）中：

当选择时有：

因为＜0，所以V3渐近收敛于零，即 z1，z2，z3渐近收敛于零，从而系统实际输出渐近收敛于期望输出yr。对小型无人直升机系统设计公式（12）和公式（20）作为虚拟反馈输入，公式（25）作为连续控制输入，采用式描述的CMAC神经网络在线逼近系统的不确定项，学习规则：，选择为设计的鲁棒控制项，用以抵消神经网络在线逼近误差εi(i=1,2,3)的影响，则当所设计的鲁棒控制项系数(下标i表示第i步得到的神经网络输出误差向量，j表示其中 j个元素），系统输出可渐近跟踪期望输出，且系统实际控制输入连续。

4 仿真验证与分析

选取小型无人直升机飞行仿真初始状态为稳定悬停状态，即V0=0 m/s，θ0=φ0=0°¬，飞行高度h0=100 m 。CMAC神经网络主要参数：学习速率β=0.2，泛化参数C=50，N=1 000；反步自适应控制器主要参数：σ1=0.2，σ2=0.1，σ3=2，k1=30，k2=10，k3=2。仿真目标为在未建模动态的影响下验证姿态角跟踪参考指令信号的响应性能。

取参考指令：，其他时刻为配平值。需要说明的是，为了避免跟踪指令发生阶跃突变，在参考指令信号后增加了一个时间常数为0.5 s的一阶惯性滤波器得到期望的跟踪指令。基于神经网络的反步自适应姿态控制器响应输出曲线如图3所示，左侧为纵向[θ,q,a1]的响应曲线，右侧为横向[φ,p,b1]的响应曲线，由仿真结果可知，反步自适应控制器能够快速、准确地跟踪参考指令，角速率p,q和挥舞角a1,b1以及图4所示的控制输入δlat,δlon信号均在合理的限幅之内，满足仿真目标要求。

图3 反步自适应控制器响应曲线

图4 纵向、横向控制输入曲线

设计小型无人直升机PID控制器，在相同的仿真条件下，PID控制器参数为：纵向kp=13.5、kd=3.6；横向kp=9.8、kd=4.3，仿真响应曲线如图5所示。从仿真结果可以看出，反步自适应控制器的跟踪的纵向最大误差小于 3.62°¬，横向最大误差小于 1.59°¬，而PID控制器的纵向最大跟踪误差小于6.89°¬，横向最大跟踪误差小于2.6°¬。所设计反步自适应姿态控制器动态响应效果较好，在快速性、准确性和稳定性上要优于PID控制方法所设计的姿态控制器。

图5 两种控制方法比较的响应曲线

图6 为系统模型参数摄动50%和120%的情况下跟踪参考指令信号：，其他时刻为配平值时的响应曲线。由图6可见，在模型参数摄动情况下，反步自适应控制器依然能快速跟踪指令信号，在具有跟踪实时性好、跟踪误差较小的同时还有较强的鲁棒性，并且控制输入δlat,δlon均在合理的控制输入限幅之内。

图6 模型参数摄动时的响应曲线

5 结论

本文提出了一种基于神经网络的反步自适应控制器设计方法以解决小型无人直升机飞行时模型严重非线性和参数不确定性问题。将所设计的控制器在小型无人直升机姿态控制系统中应用并进行仿真验证，仿真结果表明，所设计的控制器在有效抑制系统不确定影响的同时还具有响应迅速以及良好的指令跟踪性能，并且在模型参数摄动较大时，该控制器仍可以跟踪参考指令并表现出较强的鲁棒性。

参考文献：

[1]Krstic M，Kokotovic P V.Control Lyapunov functions for adaptive nonlinear stabilization[J].Systems and Control Letters，1995，26（1）：18-23.

[2]Francesc P，Faycal I，Jose R.Numerical issues in backstepping control：Sensitivity and parameter tuning[J].Journal of the Franklin Institute，2008，345（8）：891-905.

[3]Hsu C F，Lin C M.Fuzzy-identification-based adaptive controller design via backstepping approach[J].Fuzzy Sets&Systems，2005，151（1）：43-57.

[4]Nurkan Y，Yuksel H.Backstepping control of a vehicle with active suspensions[J].Control Engineering Practice，2008，16（12）：1457-1467.

[5]Ozbay U，Zergeroglu E，Sivrioglu S.Adaptive backstepping control of variable speed wind turbines[J].International Journal of Control，2008，81（6）：910-919.

[6]孙勇，章卫国，章萌.基于神经网络的反步自适应大机动飞行控制[J].系统工程与电子技术，2011，33（5）：1113-1117.

[7]刘少华，周志久，段征宇.战斗性机动飞行的智能反步自适应控制[J].飞行力学，2011，29（6）：22-25.

[8]Zou Y，Zheng Z.A robust adaptive RBFNN augmenting backstepping control approach for a model-scaled helicopter[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology，2015，23（6）：2344-2352.

[9]Chang Guanqing，Qian Hanbo，Fan Guoliang，et al.Adaptive fuzzy backstepping control for a miniature helicopter[C]//International Conference on Automation and Logistics，2010：451-456.

[10]Lin F J，Shieh P H，Chou P H.Robust adaptive backstepping motion control of linear ultrasonic motors using fuzzy neural network[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2008，16（3）：676-692.

[11]Kendoul F.Nonlinear hierarchical flight controller for unmanned rotorcraft：Design，stability，and experiments[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32（6）.

[12]周健，洪良，李文超.小型单旋翼无人直升机系统的设计与实现[J].西安工程大学学报，2014，28（5）：626-630.

[13]苏刚，陈增强，袁著祉.小脑模型关节控制器（CMAC）理论及应用[J].仪器仪表学报，2003（S1）：269-273.

[14]Pinzon Morales R D，Ohata Y，Hirata Y.Adaptive control of 2-wheeled balanced robot by cerebellar neuronal network model[J].Engineering in Medicine and Biology Society，2010：1589-1592.

[15]Kim Daijin.A design of CMAC-based fuzzy logic controller with fast learning and accurate approximation[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，125：93-104.