需求和成本双扰动下三级供应链价格折扣契约

贾 磊

（福建江夏学院工程学院，福建福州，350108）

一、文献综述

经济全球化和信息技术的快速发展加剧了供应链运营环境的不确定性。机器设备故障、工人罢工、地震、海啸等突发事件，会导致原材料价格的变化、生产成本的变动、市场需求及生产提前期的变化等问题，给供应链带来不同程度的干扰。在供应链管理实践中，如何以最优的方案应对突发事件带来的影响成为亟待解决的问题。

契约是协调供应链的重要方法之一。早期关于突发事件下供应链契约协调的研究大多针对二级供应链的单因素扰动展开。Cachon G.P.针对常见的契约合同下的供应链协调进行了系统的研究。[1]QI X、BARD J F和YU G研究利用数量折扣契约来应对突发事件。[2]Xu等针对价格需求关系为非线性的情形进行探讨。[3]于辉、陈剑和于刚分别针对回购契约和批发价契约，提出在突发事件引起需求分布变化情形下二级供应链的应对策略。[4,5]一些学者对三级供应链在单因素扰动下的契约协调进行了研究:胡可松、王虹针对突发事件引起市场需求变化的单因素扰动，提出具有改进抗突发事件性的价格折扣契约；[6]庞庆华基于收益共享契约展开研究。[7]然而，供应链所处环境的复杂性决定了只针对某个单因素扰动进行研究具有局限性，因此学术界开始关注市场需求和生产成本等因素同时扰动情形下的供应链协调问题。在二级供应链方面，曹二保和赖明勇利用收益共享契约对突发事件展开系列研究；[8-10]吴忠和、陈宏和赵千则结合期权契约探讨二级供应链对突发事件的应对。[11]

现有文献主要集中于对二级供应链协调的研究，对多级供应链协调的研究还比较少。大多文献均假设供应链中只有供应商生产成本或市场需求等单个要素发生扰动，鲜有考虑供应链中多个要素同时发生扰动的研究。本文的创新之处为在突发事件引起市场需求分布和生产成本同时扰动的情形下，研究三级供应链价格折扣契约协调。通过调整价格折扣契约参数，使供应链具有抗突发性。

二、基准的价格折扣契约模型

Bernstein于2005年提出价格折扣契约。[12]根据价格折扣契约，制造商的批发价格和回购价格分别与产品零售价格的变化量（销售季节中产品实际的零售价格与契约中规定的初始零售价格之差）保持预先约定的线性或非线性关系。该契约在最大程度上促使零售商与供应链的最优决策趋向一致，从而达成供应链协调。

（一）研究假设

本研究中的三级供应链由单供应商（s）、单制造商（m）和单零售商（r）组成，供应商和制造商之间、制造商和零售商之间均存在价格折扣契约。在销售季节开始前，供应链中的节点企业分别根据价格折扣契约决定订货量、零售价格、批发价格和回购价格等。假设供应商、制造商和零售商间信息对称，且无明显风险偏好。

设零售价格为p，零售商向制造商订货的数量为q，制造商对零售商的批发价格为ωmr，供应商对制造商的批发价格为ωsm，零售商的单位持有成本为c1，制造商的单位持有成本为c2，供应商的单位持有成本为c3，单位产品残值为v，制造商的单位回购价格为bmr，供应商的单位回购价格为bsm，零售商由于单位产品缺货的信誉损失为，制造商由于单位产品缺货的信誉损失为，供应商由于单位产品缺货的信誉损失为。零售商面临的市场需求为D，分布函数为，密度函数为可微且严格增加，，期望需求

令根据供应链管理和数理统计的相关知识，可得:期望销量期末期望库存，期末期望缺货量

（二）模型构建

参照易雪辉等提出的价格折扣契约[13]作为基准模型，相关参数设置如下:

其中，是制造商的基准批发价格；是供应商的基准批发价格；0p为参考零售价格；为常量，且相应的回购价格为:

由公式（1）至公式（6）可以得到:

则供应链系统期望收益为:

由于是严格递增函数，是严格凹函数，因此供应链最优订货量*q唯一，同时满足

零售商期望收益为:

制造商期望收益为:

供应商期望收益为:

可以看出，在价格折扣契约下，零售商、制造商和供应商的期望收益均为供应链系统收益函数的仿射函数。因此，零售商、制造商和供应商的最优订货量均等于供应链系统的最优订货量*q。和的具体取值由节点企业的讨价还价能力决定，通过调整参数kmr和ksm的取值大小可以分配零售商、制造商和供应商的收益份额，因此整条供应链达到协调。

一般情况下，回购价格小于批发价格，则要求:

命题1 在“供应商-制造商-零售商”的分散化三级供应链中，对任何参考价格0p和满足公式（15）和（16）的任意kmr和ksm值，由公式（7）、（8）、（9）、（10）确定的价格折扣契约能够协调供应链。

三、市场需求和成本同时扰动对供应链系统的影响

在相对稳定的市场环境下，根据价格折扣契约，零售商在销售开始之前制定最优订货量*

q，制造商和供应商据此分别安排生产。若突发事件引起原材料成本变化，零售商、制造商和供应商的相关成本分别发生∆c1、∆c2和∆c3的变化。与此同时，市场的需求分布由G变为F。此时供应链的收益函数为:

其中，表示需求分布函数F下的期望销量。分别表示由突发事件引起的节点企业因打破原采购计划和生产计划等所带来的额外成本，其中分别表示时，制造商和供应商由于临时加班、外包等所增加的单位成本；2λ表示时，处理库存带来的单位成本。

设突发事件下的供应链系统的最优订货量为，即

引理1 （1）当

（2）当

证明:用反证法来证明引理1（1）。

假设当时，则公式（17）所示的供应链收益函数变为:

又由假设有:

由于F(q)严格递增，有此结论与原假设相矛盾，原假设不成立。因此当

同理，可证引理1（2），证明过程略。

引 理2 设q1为时满足的一阶最优 解，q2为时满足的一阶最优解。同时 ，q1和q2分 别 满 足 :，当突发事件引起市场需求和相关成本同时发生变化时，供应链系统的最优订货量应满足:

证明:当时，根据引理1（1），有供应链收益为:

设此时则:

由于故为严格凹函数。根据一阶条件，可以得到q1满足:

此处分两种情况讨论:

1.当时，有:

（1）若则由于F(q)是严格增函数，因此得:

（2）若则由于 ()F q是严格增函数，因此得:

2.同理可知，当时，有:

（1）若则

（2）若则

证明:根据引理1，可知此时供应链的最优订货量会大于或小于原计划订购量q*。若仍采用原价格折扣契约，则零售商的收益函数为:

制造商的收益函数为:

供应商的收益函数为:

此时，三级供应链中节点企业的收益函数均不是供应链系统收益函数的仿射函数，供应链协调被打破。

四、需求和生产成本同时扰动下协调供应链的应对策略

根据命题2，当需求分布和成本同时扰动，满足或时，若仍采用原价格折扣契约，则三级供应链的协调将被打破。此时需要对价格折扣契约进行调整。令:

其中:

当时，有:

当时，有:

命题3 满足公式（22）至公式（27）的价格折扣契约能够协调三级供应链。

证明:针对满足公式（22）至公式（27）的价格折扣契约，零售商收益为:

可以看出，零售商收益为供应链收益的仿射函数。

同理，当*q≥q时，制造商收益为:

当q＜q*时，制造商收益为:

分析q≥q*和q＜q*两种情况，可以发现制造商收益为供应链收益的仿射函数，供应链实现了协调。

五、算例分析

假设市场需求x=y(p)ε。其中:y(p)为与零售价格负相关的确定性函数，ε为独立于p的随机变量，h(ε) 为变量ε的概率密度函数，H(ε)是其分布函数。随机需求x的概率密度和分布函数分别为和，根据公式（11），有则最优订货量为:其中

设零售商、制造商和供应商的成本分别为c1=1、c2=2和c3=3，产品残值为v=0.5，单位惩罚成本分别为g1=0.5、g2=0.5和g3=1。设y(p) = 4 000p-2，在ε区间[2 ,4]上均匀分布，则分布函数计算可得:*8.93p= ，设，则根据公式（7）至公式（10），得:设出现扰动后，市场需求函数变为

若仍采用原价格折扣契约，计算可得若采用调整后的价格折扣契约，即: =0.18355X计算可得:

表1显示了突发事件前后采用价格折扣契约对供应链参数及利润的影响情况:

表1 突发事件前后采用价格折扣契约对供应链参数及利润的影响

可以看出，采用重新设计的价格折扣契约后，零售价降低，订货量显著提高，整体供应链的总利润也有所提高。同时，由于供应商、制造商和零售商的利润份额已由三者的讨价还价能力决定，供应链上各实体的分配利润都得到了提高。

六、总结

稳定环境下，价格折扣契约能够有效协调三级供应链（命题1）。当突发事件引起市场需求和生产成本同时扰动时，若扰动在一定范围内，系统最优订货量保持不变（引理2），供应链系统具有一定的鲁棒性；若扰动超过某范围，原价格折扣契约下的供应链协调将被打破（命题2）。通过重新设计契约参数，能够使突发事件引起需求和成本同时扰动下的三级供应链重新协调（命题3）。针对市场需求为指数需求函数的情形，通过算例分析验证了调整后价格折扣契约的有效性。

本研究建立在供应链节点企业均完全理性、风险中性、信息对称等假设前提之下。实际上，通常很难做到信息完全对称，各节点企业对待风险的态度也有一定差异，有各自的决策偏好，这些都值得进一步研究。

[1]Cachon G P.Supply Chain Coordination with Contracts[J].Handbooks in Operations Research & Management Science,2003,11(11):227-339.

[2]QI X,BARD J F,YU G.Supply Chain Coordination with Demand Disruption[J].Omega,2004,32(4):301-312.

[3]XU M H,QI X T,YU G,ZHANG H Q,GAO C X.The Demand Disruption Management Problems for a Supply Chain System with Nonlinear Demand Functions[J].Journal of Science and Systems Engineering,2003,12(1):82-97.

[4]于辉,陈剑,于刚.回购契约下供应链对突发事件的协调应对[J].系统工程理论与实践,2005(8):38-43.

[5]于辉,陈剑,于刚.批发价契约下的供应链应对突发事件[J].系统工程理论与实践,2006(8):33-41.

[6]胡劲松,王虹.三级供应链应对突发事件的价格折扣契约研究[J].中国管理科学,2007(3):103-107.

[7]庞庆华.收益共享契约下三级供应链应对突发事件的协调研究[J].中国管理科学,2010,18(4):101-106.

[8]曹二保,赖明勇.多零售商供应链应对突发事件的协调机制研究[J].中国管理科学,2009,17(5):53-60.

[9]曹二保,赖明勇.成本和需求同时扰动时供应链协调合约研究[J].管理科学学报,2010,13(7):9-15.

[10]曹二保,赖明勇.需求和成本同时扰动时多零售商供应链协调[J].系统工程理论与实践,2010,30(10):1753-1761.

[11]吴忠和,陈宏,赵千.需求和生产成本同时扰动下供应链期权契约应对突发事件[J].中国管理科学,2013,21(4):98-104.

[12]Bernstein F,Federgruen A.Decentralized Supply Chain with Competing Retailers under Demand Uncertainty[J].Management Science,2005,51(1):18-29

[13]易雪辉,唐小我.需求价格相关的非中心化三级供应链的协调研究[DB/OL].(2005-08-16)[2017-12-13].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/200508-116.