有关双等边三角形组合问题的探究

邱亭亭

在数学学习中，一定量的解题训练是必不可少的，但仅依靠“题海战术”进行解题训练是不可取的.“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，因此我们与其穷于应付烦琐过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去深入发掘题目的各个侧面，对与此相关的一系列问题都有一个系统的认识和把握.波利亚认为，学习数学的主要目的在于解题；解题是一种本领，是只能靠模仿和实践才能学到的本领；解题的关键在于找到合适的解题思路；学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系；直接从老师或书本那儿被动地不假思索地接受过来的知识，可能很快忘掉，难以成为自己的东西.

下面我们来看一道有关两个等边三角形组合的问题：已知△DAC与△EBC都是等边三角形，且AE，BD分别交CD，CE于M，N，AE，BD相较于点F.如图1.

结论1：CD∥BE，AD∥CE （易证）.

点评：可以根据60°的同位角相等进行證明.

结论2：△ACE≌△DCB，∠1=∠2，∠3=∠4，AE=BD.

证明：∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴AC=CD，CE=BC，∠ACD=∠BCE=60°.

∴∠ACE=∠DCB.

∴△ACE≌△DCB（SAS）.

∴ ∠1=∠2，∠3=∠4，AE=BD.

结论3： △ACM≌△DCN，AM=DN，CM=CN.

证明：由结论2知，∠1=∠2.

∵∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCE=60°.

∴△ACM≌△DCN（ASA）.

∴AM=DN，CM=CN.

结论4：△MCE≌△NCB.

证明：由结论2，3知，AE=BD，AM=DN，从而得出ME=BN.

由结论3知，CM=CN.

∴△MCE≌△NCB（SSS）.

也可以根据结论3利用“SAS”进行证明，在此不再重复.

结论5：连接MN，△MCN为等边三角形，MN∥AB.

证明：由结论3知，CM=CN.

又∵∠MCN=60°，

∴△MCN为等边三角形.同时，易得：MN∥AB.

结论6：连接CF，则CF平分∠AFB.

证明：过点作CG⊥AE于点G，作CH⊥BD于点H.

∵△ACE≌△DCB（由结论2知），

∴AE=BD.

∵CG为△ACE中AE边上的高线，CH为△DCB中BD边上高线，

∴CG=CH（全等三角形对应边上的高相等）.

∵CG⊥AE，CH⊥BD，

∴CF平分∠AFB.

点评：在证明结论6的时候，有两个难点：学生很难想到由点C向AE与BD两边作垂线段；学生也难想到利用全等三角形对应边上的高线相等，角平分线的判定来进行证明.这两个难点也是学生在做题过程中容易忽略的知识点.

反思：此题通过先研究两个等边三角形的相关性质以及等边三角形的线段的等量关系和证明方法，从中掌握分析问题的思路和解决问题的方法步骤，然后引申、拓展、总结、归纳，从而得到等边三角形中隐藏的相关结论.在此探索过程中，需要学生掌握通过观察、归纳、类比等获得的数学猜想正确与否的原理、策略与方法，以及结合演绎推理与合情推理发展推理能力.此题改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合，有助于学生加深对问题的理解，提高解题能力，形成创新意识.

总之，按照课程标准的要求，几何证明题，注重探究，重视对数学思想方法的考查，加强学生读图、审图、合情推理等能力的考查，强化图形分解的应用，侧重考查学生运用几何知识解决实际问题的能力.因此，培养学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力的提高的有效方式.