小学数学“起点型核心知识”教学初探

魏光明 王俊亮

摘要：科学选择核心知识重组课程内容，优化起点型核心知识教学，有利于降低学生学习强度，促进他们进行深度学习，提升以思维力为核心的关键能力，实现知识增长与智慧生长的平衡。起点型核心知识教学应坚持儿童先行、引悟结合、整体建构的原则，坚持慎重初教、宁慢勿快和深度对话，重视其原点性和延展性，促使其多次元接纳、多节次繁殖、多向度生成和多领域融通。

关键词：核心知识；逻辑关系；小学数学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2018）04A-0061-05

核心素养是核心知识、关键能力、必备品格和价值观念的统一体。科学减少知识容量，紧扣核心知识（尤其是起点型核心知识）教学，引导学生探究和建构、理解和应用，有利于学生提升以思考力为核心的学习力，形成核心素养，获得可持续发展。本文拟简要阐述小学数学“起点型核心知识”的概念及其教学实践。

一、小学数学起点型核心知识概念界定

我们常说的核心知识，是指那些适用范围广，自我生长和迁移能力强，明确的、结构性的、不可或缺的、处于基础和中心地位的知识。核心知识具有内在逻辑的连贯性和一致性，具有很强的吸附、解释、生长和应用功能。小学数学核心知识，概括起来说包括基本原理、基本关系、基本方法、基本问题四大方面。从数学整体看，核心知识是一些基本思想和基本方法；从四大领域看，核心知识是一些基本原理和基本关系；从知识序列来看，核心知识是一些知识发生发展过程中的起点、节点和拐点；从知识的某个段落来看，核心知识是一些基本问题。[1]

如果说核心知识是知识大厦的框架，起点型核心知识则是这座大厦的根基。小学数学起点型核心知识是指那些处于某个知识领域、某个知识序列、某个知识段落或者某个教学单元起点位置的核心知识，是具有相对意义的原点性知识，是一些重要的“先行组织者”，是知识中的“干细胞”，在基本思想、基本方法、基本原理、基本关系、基本问题上指向这些内容的初次集中教学，具有多次元的基础性、多节次的关联性、多向度的生成性、多领域的融通性。

二、基于逻辑关系确定起点型核心知识

在众多知识中，准确遴选起点型核心知识是有效教学的前提。我们可以通过绘制知识之间的逻辑关系图，分析和筛选其中的核心知识，确定处于起点位置的核心知识。限于篇幅，本文选择小学数学知识之间三种逻辑关系进行分析，以探讨确定起点型核心知识的方法。

（一）基于纲目关系确定起点型核心知识

知识之间的纲目关系，是指知识沿着一条主线（纲线）生长，在主线的每一个节点下，又按照大致一致的结构排列知识点。纲目式的知识生长，是一种顺生长，即数学知识点沿着起点型核心知识打下的基础，一般按照从左往右、从上到下的自然顺序建构。在这样的关系中，最左上角的核心知识一般是起点型核心知识。比如，乘法意义即是整数乘法板块的起点型核心知识。

（二）基于包含关系确定起点型核心知识

知识之间的包含关系，就是数学所说的从属关系，知识点之间存在上下位的关系。图1所示的“数系”知识点之间的关系，就是典型的包含关系。学生在建构类似数系知识这样的结构体系时，通常采用的是一种逆生长的知识生长方法，即从一个最末端的知识点出发，溯源而上，逐步逼近上位知识点的生长方法。这个认识过程实际上也是人类对数系的认识史。a—l表示的是学生对数系概念逐步逆流建构的顺序。在这样的关系中，最先学习的核心知识点即是起点型核心知识。

（三）基于交叉关系確定起点型核心知识

在一些相关联的知识点之间，它们相互衍生，彼此之间形成相互交汇融合的知识衍生、转化关系，我们称之为知识之间的交叉关系。交叉关系的核心知识是一种多次生长关系。在这样的关系中，处于起始位置的核心知识点一般是起点型核心知识。

三、起点型核心知识教学原则、策略和基本要求

教学中，我们应遵循基本的教学原则，采用合理的教学策略，明确清晰的教学要求，着力提高起点型核心知识的教学实效。

（一）起点型核心知识教学的主要原则

一是要坚持儿童先行，让儿童的学习先于教师的传授，儿童想法的表达先于成人想法的表达，利于教师及时关注学生全员参与的深入程度和教学反馈的覆盖范围，了解学生真实的学习困难和快乐，洞察错误背后的迷思与误解；二是要坚持引悟结合，鼓励并引导儿童主动地进行同化或顺应，创造性地把新学知识与已有经验建立关联，让知识具有个人意义，进而创造性地解决实际问题，形成创造性的经验和智慧；三是要坚持整体建构，深度发掘起点型核心知识的内核、整体结构和丰富内涵，长线设计并研发有助于整体思考的学习素材、整体互动的学习场景，使儿童形成对知识的深刻理解，建构起有生命力的、可迁移的知识，进而悟得数学课程的知识体系和学科思想。

（二）起点型核心知识教学的基本策略

一要坚持慎重初教，把教材与学生都吃透，遵循“刻板印象”的原理，在首次教学中让学生获得正确的知识、有效的方法、合理的策略，以保证在后续教与学的过程中能够顺利建构新知识。二要坚持宁慢勿快，密切关注学情，遇到困难，要耐心寻找突破口，宁可牺牲教学进度，也不强行灌输，宁可完不成教学任务，也要让学生把该学的知识理解到位，力求夯实基础与提升素养并重，引领学生充分经历数学知识的形成与应用过程。三要坚持深度对话，要打破点对点、单向、线性的对话方式，扩大话语圈，了解儿童的隐性学情，倾听儿童的真实内心，从而及时地把圈外的儿童和认知的误解拉入到话语圈中来。要让藏在儿童思想深处的数学误解或迷思得以显现、澄清和消除，改变儿童被动、消极的学习状态，放飞他们的思维，舒展他们的心灵。

（三）起点型核心知识教学的基本要求

1.重视起点型核心知识的原点性

起点型核心知识是一些具有“干细胞”性质的知识，可以不断生长出与之关联的新知识。重视其原点性需要注意三点：第一，起点数学概念要强调本质内涵。比如，初学平行四边形，要突出其对边“平行”，由平行衍生出来的对边相等、对角相等则要淡化。第二，起点数学技能要强调共性通法。比如测量，测长度、测面积、测体积、测角度，其共性通法是用基本单位逐一去量。学生第一次学习用厘米去量物体边或线段的长度时，要强调几厘米长的物体边或线段有几个1厘米那么长，后续学习用1平方厘米、1平方分米等面积单位去测量物体表面或平面图形的面积，学生就有了方法论的基础。第三，起点数学方法要强调普遍规则。比如，一年级学生初次接触分类方法，教师可以通过提问“我们为什么把这些东西放在左边，把另外一些东西放在右边呢”，引导学生感悟、发现分类的标准或规则，即“一类是文具，另一类是水果”，进而弄清分类不是把物体随意放在一起，需要强调其相同属性。

2.重视起点型核心知识的延展性

由于各种原因，学生并不能很好地建构或接受某些起点型核心知识，这就需要我们对其进行延伸与拓展性教学，对其进行进一步的激活与唤醒，进行必要补充与丰富，帮助学生对其进行“固着”与“完善”，使后续教学更为顺畅有效。同时，延展性教学最大的意义在于，在丰富的数学背景中让学生体会起点型核心知识在“变化”中保持着本质内涵的“不变”。延展性教学要突出三个举措：第一，思路上要突出拓展延伸。如，可以通过将圆转化为新的图形，比如平行四边形、梯形、三角形，进而从新的视角推导出圆的面积计算公式。具体操作时，可以适度降低难度，为学生准备好画有等分线的圆，及时将学生引向这一内容教学的最近发展区域。第二，内容上突出思想领悟。比如，圆的面积计算方法的探求，本质上是让学生知晓、领悟和掌握探索陌生知识时，可以将陌生的内容，即圆的面积计算，转化为他们熟悉的相关平面图形的面积计算。在学生了解多种“转化”思路，发现圆可以转化成长方形、平行四边形、梯形、三角形，虽然拼成的图形不同，但都是化陌生为熟悉。比较这些殊途同归的思路，学生对知识体系中平面图形面积计算的理解会更为深刻，对转化思想的领悟会更深一层。第三，形式上突出自主探究。还是以圆的面积计算为例，我们可以设计和组织探究活动，让学生自主地剪、拼、观察、比较和推理，按照各自不同的转化方向，推导出圆的面积计算公式。在此基础上，引导学生再次进行比较，他们会发现转化成的图形虽然不同，但是推导出的圆的面积计算公式完全一样。这样的学习过程，既提高了知识建构的效度，又渗透了“不完全归纳”的数学思想，有利于提高学生自主探究的能力。

四、起点型核心知识的独特价值

作为知识框架的承重点与生长点，起点型核心知识在学生知识体系建构中具有独特的价值。

（一）起点型核心知识具有原点生发价值

起点型核心知识作为干细胞式的知识，其首要的价值在于生发。浩瀚庞大的图形与几何知识体系，其源头是一个小小的点，由点生发开去，聚点成线，移线成面，组面成体。如果说整个数学知识体系是一片广阔的森林，那么它就是由一个个起点型核心知识生长出的一棵棵茂盛的知识树组成的。起点型核心知识一方面生发出与之相关联的知识体系，另一方面又作为其基础，支撑着其他后续知识的生长。当学生理解和掌握了某一个起点型核心知识，就可以沿着这个知识点的内涵与外延派生出去，形成一个知识序列；当学生理解和掌握多个起点型核心知识，还可以在众多的知识点的交叉处生发出新的知识体系。值得关注的是，当学生学习遭遇困难时，可以回到起点型核心知识这个知识生发点，寻找知识、技能、方法突破的脚手架。

（二）起点型核心知识具有立体枢纽价值

随着知识的不断丰富，学生会逐步建构属于自己的数学知识体系。如果把数学知识体系看成是一个立体交叉的巨无霸路网，核心知识就是其中的主干通道，而起点型核心知识则是连接知识主干道与主干道之间，主干道与次主干道之间的枢纽。从这个意义上说，一个起点型核心知识建构得清晰明确，理解得深刻到位，运用得灵活巧妙，这个知识枢纽与其他知识点的連接就会畅通无阻，解决相关问题就能信手拈来。反之，如果某个起点型核心知识建构不实，概念模糊，方法不清，技能不熟，解决相关问题就会磕磕绊绊。加强起点型核心知识教学，保证知识枢纽的畅通，对于学生建构知识体系、后续学习边缘交叉学科具有基础性、决定性的作用。

（三）起点型核心知识具有多元引领价值

小学数学起点型核心知识的引领价值首先体现在知识层面。以“整数乘法”为例，乘法的意义对后续小数乘整数、分数乘整数等具有意义引领价值；两位数乘两位数的竖式计算对多位数乘法具有方法引领价值，学会了两位数乘两位数，后续学习多位数乘法就水到渠成。其次，引领价值体现在技能层面。以“测量”为例，二年级“用厘米量物体的长度”中“从0开始”“大刻度减小刻度”等方法，对后续教材以及生活中诸多测量内容都具有“原初”的引领价值。最后，引领价值还体现在思想方法层面。日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，深深铭记在头脑中的唯有数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等。这些都随时随地发生作用，使他们终身受益。”由此可见数学思想方法对于学生的成长与整个人生的重要意义。

五、起点型核心知识在知识体系建构中的作用

核心知识体系建构通常有四个步骤：一是建构核心概念，吸附知识“固着”。要反复地回到学习原点的核心概念，增强其吸附新知识的能量和生长力，为后续知识的学习提供生长点。二是搭建知识链条，引导知识聚集。引领学生将核心知识点连接起来，形成知识链条，促进知识迁移、理解、生长和聚集。三是形成知识群块，激活知识联系。引领学生将知识以数字的、符号的、图表的等不同形式进行“多元联系表示”，激活知识链条间的联系，形成知识群、知识块，促进知识多向吸附和生长。四是内化知识体系，实现知识生长。沟通知识群块之间的联系，并将外显知识群块内化为认知结构，使学生能够依据知识之间的逻辑关系和迁移条件，将核心知识所承载的知识和技能自觉地从一种情境迁移到另一种情境，将新知识通过同化和顺应自觉地纳入原有的认知结构，形成新的更具吸附力和生长力的知识系统和认知结构。[2]

在知识体系建构的四个步骤中，起点型核心知识作为“干细胞”依次发挥了多次元接纳、多节次繁殖、多向度生成和多领域融通作用。

（一）起点概念，多次元接纳

起点型核心概念具有强大的解释功能，能够在丰富多样的数学情境和生活情境中，发挥其统领作用，并在具体情境中生长出一个个知识接纳点，接纳多次元概念的吸附与固着，形成概念“吸附—固着—接纳”的良性循环。在学生的学习过程中，一旦遇到合适的“最近发展区域”，起点型核心知识就会自然而然地吸附上去，自主生长，自动接纳。此时，后续知识就会内化为学生知识体系的一部分，也就是我们所说的，知识为学生所理解和掌握了。

（二）枝式生长，多节次繁殖

知识并不是沿着单一方向生长的。起点型核心知识内涵的丰富性，会使其进行多向的迁移和生长，形成“簇状”“丫状”的“知识枝条”。这些知识枝条，一方面便于起点型核心知识与更多的知识、技能、思想方法接触，产生更多的吸附、固着和接纳，使得知识枝条在不断繁殖中，或新生，或向上长，或在扩容中变得粗壮，不断丰富和完善学生的知识结构；另一方面，也在与其他起始概念的接触中，使得各个起点型核心知识内涵更丰满，界限更清晰，意义更明确，支持学生深层次地理解和掌握知识点、知识链、知识枝条。

（三）网团发展，多向度生成

随着更多的起点型核心知识的介入，知识枝条在基本思想、基本方法、基本原理、基本关系、基本问题的观照影响下，相互间产生多向度的交汇联结，会形成“网格状知识团”。我们将其称为知识网团，这是对前期研究中知识群块概念的发展。知识网团的发展，是以丰富多样、各自内涵清晰的起点型核心知识为内核，以知识枝条相互间多向度的交汇联结为主要形式展开的。起点型核心知识作为内核，沟通了不同概念各自产生的知识枝条间的多个向度的联系，这些概念也会因为吸纳了新的内容而更为饱满，知识网团则随着知识点、知识枝条的生长而呈現整体“膨胀”，促进学生认知结构的不断生长与完善。

（四）区域开放，多领域融通

在学生的知识体系中，知识点各自独立而又相互作用，按照关系的紧密程度，会形成多个知识网团。这些知识网团既会独立生长发展，又会把区域开放给其他知识网团，形成多领域互融式的发展。知识网团之间的领域互融，大致上会经过“浸润—融通—形成新的知识特质”的过程。在这个过程中，起点型核心知识保证了不同概念各自原有内涵，又在新的知识特质中被赋予新的内涵增值，外延拓展，促进学生的知识体系不断拓展，认识结构不断完善。我们发现，当学生在某个知识序列沿着起点型核心知识的生长方向，学习后续的节点型、拐点型核心知识时主要运用并自觉丰富本网团知识，不同知识网团之间的干扰少，学生的学习成绩通常会比较好。随着知识网团间的联系个数增加，联系紧密度加大，因为起点型核心知识建构不足而出现的知识枝条上知识点的缺失、知识点之间关联度降低等问题，会阻碍学生知识网团的协调同步发展，进而导致学生的学习成绩下降。

六、起点型核心知识对比教学案例与简单分析

贯穿小学数学核心知识教学研究始终的一个观点是：由于各种原因，目前数学课程内容容量大，课堂教学密度高， 学生负担过重，导致大量学生厌学。对此，我们积极响应《国家中长期教育改革和发展规划纲要》中“适度减少学科课程比重”的要求，倡导精选核心知识重组课程内容，凸显“核心知识”尤其是起点型核心知识的引领与架构作用，探索深度参与、少教多学、减负增效的核心知识教学改革之路。下面，结合两个核心知识的对比教学作简要解读。

对比教学一：“用量角器量角”

实验班采用只有一圈刻度的量角器教学，对照班采用传统的有两圈刻度的量角器教学。实验结果表明 ：只有一圈刻度的量角器，排除了内圈外圈的干扰，只需要把角的顶点和中心点重合，角的一条边和量角器的0刻度线重合，就可以根据另一条边指向量角器的刻度直接读出角的度数。这样的教学，突出了这一知识的内核，即“用角的计量单位去测量角的大小”，排除了干扰因素“根据角的开口特点，选择不同的度量方法”，更有利于学生理解角的度量的实质，掌握角的度量方法，同时呼应先前学习的测量知识与方法，提高学习效果，改善学生学习的质态。[3]

对比教学二：“圆的周长计算”

执教教师把全班分成知识基础和思维能力大致相当的三组，让实验C组的学生将圆周率直接用π表示参与计算，实验B组的学生将圆周率取3参与计算，对照A组的学生将圆周率取3.14参与计算。实验数据表明：圆周率直接用π表示或者取近似值3参与计算，既不影响学生对圆周长概念的理解，也不影响学生对周长计算的方法的运用，却明显降低了学习强度，提高了周长计算的正确率。而圆周率取值3.14，由于计算繁琐，错误率和出错人数占比均很高。

结合其他对比教学，我们发现，准确分析起点型核心知识的内涵，剔除非本质的、细枝末节的干扰内容，可以实现减量不减质的目标。综上所述，科学选择和处理教学内容，精选起点型核心知识进行教学，有利于降低学生学习的强度，促进其进行深度学习，加深对教学内容的理解和掌握，提升以思维力为核心的关键能力，实现知识增长与智慧生长的平衡，提高教与学的实效。

参考文献：

[1]魏光明.走近数学“核心知识”教学[J].江苏教育，2011（1）.

[2]魏光明，王俊亮.基于小学数学核心知识教学的课堂实践[J].江苏第二师范学院学报，2014（2）.

[3]魏光明，刘正松.儿童数学，能否简约一些？[J].人民教育， 2007（23）.

责任编辑：石萍

An Exploration of Primary School Mathematics Initial Core Knowledge Instruction

WEI Guang-ming & WANG Jun-liang

（Mochouhu Primary School， Nanjing 210017， China）

Abstract： Teachers should scientifically select the core knowledge to restructure curriculum contents and optimize the initial core knowledge instruction， which is conducive to lowering students intensity of learning， to promoting their deep learning， to strengthening the key ability centering on thinking， and to realizing the balance between knowledge increase and wisdom growth. Such teaching should stick to the principles of children priority， guiding and inspiring combination and holistic construction. Also， teaching should adhere to the principles of emphasizing initial teaching， appropriate speed of teaching， and deep dialogue. Meanwhile， teaching should pay attention to the initial point and extension to drive them to accept multiply， to reproduce in many nodes， to generate multi-dimensionally， and to integrate in different fields.

Key words： core knowledge； logic relation； primary school mathematics