利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题

陕西安康学院数学与统计学院 (725000) 罗珊珊

1.极点与极线的概念

定义1[1]给定二阶曲线，如果两点P,Q(P不在Γ上)的连线与二阶曲线Γ交于两点M1,M2，且(M1M2,PQ)=-1，则称点P,Q关于二阶曲线Γ互为共轭点.特例，当点P为M1M2的中点，则点Q为无穷远点.

定义2[1]定点P关于二阶曲线的共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做P点关于此二阶曲线的极线；P点叫做这条直线关于此二阶曲线的极点.特例，如果P点在二阶曲线上，则点P的极线就是此二阶曲线在P点处的切线.

2.圆锥曲线的极点和极线

定理3[2]定点P(x0,y0)关于二次曲线Γ:Ax2+2Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的极线L的方程为：L：Ax0x+B(x0y+xy0)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0.

3.极点和极线理论的应用

例1 (2009高考数学海南、宁夏卷理科13题)已知抛物线Γ的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线L与抛物线Γ相交于A,B两点，若AB中点为(2，2)，则直线L的方程为 .

方法1：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有

设AB：y=x+b,代入(2，2),得b=0,则L：y=x.

例2 (2009高考数学广东理科21题)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(Cn=1,2,3)从点P(-1，0)向曲线Cn引斜率为kn(kn>0)的切线Ln，切点为Pn(xn,yn),求数列{xn}，{yn}的通项公式.

方法1：Cn:(x-n)2+y2=n2表示圆心在(n，0)处，半径为n的圆.

设切线方程为Ln:

方法2：Cn:(x-n)2+y2=n2表示圆心在(n，0)处，半径为n的圆.

在Rt△PPnCn中，由射影定理得：

[1]周振荣,赵临龙.高等几何.华中师范大学出版社，2013.

[2]赵临龙，一道高考数学题推广的修正.中学数学教学，2013.1:23-24.