函数性质与最值问题

洪华明

摘要：利用函数性质解决最值问题是初中函数学习的一大难点，是初中数学教学最为头疼的问题之一。那究竟要如何利用函数的性质来解决最值问题呢？

关键词：函数性质；最值

一、利用一次函数性质求最值问题

一般来说，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像为一条直线，似乎与最值“无缘”。然而，在实际问题中，由于受自变量取值范围的限制，其函数图象局限于某一线段或射线，从而存在最值。何时获得最大利润？最大利润是多少？这是一个现实生活中的的最值问题。在解题过程中，需将实际问题转化为数学问题，通过一次函数的增减性可使问题得以解决。

要解决最值问题，首先要先掌握一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：

（1）当k > 0时，直线y=kx+b从左向右上升，y随x的增大而增大；

（2）当k < 0时，直线y=kx+b从左向右下降，y随x的增大而减小。

1、进货方案的设计

例1 、 某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售.如果设购进甲种酸奶为x（箱），全部售出这批酸奶所获销售利润为y（元）。

（1）求所获销售利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；

（2）根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？

【解析】（1） y=-0.8x+2500

（2） 根据题意，得：x≤300且10000-16x ≤6000，

解得：250≤x≤300

由（1）知y=-0.8x+2500，

∵k=-0.8<0，

∴y随x的增大而减小。

∴当x=250时，y值最大，此时y=-0.8×250+2500=2300（元）

所以当购进甲种酸奶250箱，乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利润为2300元。

2、养殖利润问题

例2、沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和鲍鱼，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨。根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表： （单位：千元/吨）

养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元。设对虾种苗的投放量为x吨。

（1）、求x的取值范围；

（2）、设这两个品种产出后的总产值为y（千元），试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值？最大值是多少？

【解析】 （1）18≤x≤20；

（2） 根据题意，得：

y=20x+30（50-x） =-10x+1500；

∵18≤x≤20，k=-10<0，

∴y随x的增大而减小。

∴当x=18时，y有最大值，且最大值是1320千元。

二、利用二次函数性质求最值问题

性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图像是一条抛物线，顶点是最高点或最低点，当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点，最低点的纵坐标就是函数的最小值。当a<0时，抛物线开口向下，顶点是最高点，最高点的纵坐标就是函数的最大值。

1、定价方案的设计

例1、商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件.设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。（1）当每件商品的售价是多少元时，每个月的利润刚好是2250元？（2）當每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

【解析】（1）x=65或x=85

（2）由题意：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800

y=﹣2（x﹣75）2+2450

∴当x=75时，y有最大值为2450元。

答：当售价定为75时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元。