让学生在探究中乐享数学

翁雯雯

摘要：随着课程改革的推进，调动学生积极主动参加探究性活动已经成为课堂教学的普遍追求。课堂教学如何开展探究性教学活动？下面从我的一节教学设计“等差数列的前n项和”谈谈自己的做法。

关键词：学生；探究；数学

一、教材分析

本节课的主要内容是探究等差数列的前 项和公式，以及对公式的应用。学生之前已经学习了等差数列的定义和性质，这是本节课内容的知识基础。求数列的前 项和是数列中的常见问题。探究公式的环节，主要采用了创设情境、问题驱动的方式，让学生经历发现问题、分析问题、解决问题的过程。这一过程涵盖了数学推理、逻辑推理、數学模型等核心素养，涉及了首尾配对法、倒序相加法等数列求和方法。

通过本节课的学习，学生不仅能得到等差数列的求和公式，还能体验推导公式的过程，培养其中的数学思想，强化数学核心素养。

二、教学目标设置

1、知识与技能：掌握等差数列前 项和公式的推导方法；掌握公式的运用。

2、过程与方法：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、综合等逻辑推理的能力；通过对公式不同角度的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观：在公式探索的过程中，激发学生探究的兴趣和欲望，增强学生学好数学的心理体验。

重点：探索并掌握等差数列前 项和公式，学会用公式解决问题。

难点：等差数列前 项和公式推导思路的获得。

三、教学过程设计

创设情境，提出问题

200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

问题1、这是一个什么类型的问题？高斯的算法妙处在哪里？这可以叫什么方法？该方法应用了数列的什么性质？

预设：同桌相互交流，多名同学回答相互补充。这是一个等差数列 前100项的和的问题。前后配对的和都是101，共50对。这方法可以叫首尾配对。该方法应用了等差数列的性质：若 ，则 。

问题2、高斯问题项数是100项，正好配对，如果是奇数项，该如何配对？或者推广到更一般的情形， 该如何计算？

预设：先独立思考，再小组合作交流。

生1：对项数 进行分类讨论，当 为偶数时，直接配对，当 为奇数时，也是配对，剩下中间一项。解答过程如下：

当 为偶数时，

；

当 为奇数时，

（解答中，发现寻找中间项非常困难，可将中间项看成首项和末项的等差中项。）

生2：当 为奇数时，将前 项配对，再与最后一项相加。

问题3、无论 为奇数或为偶数，其结果都是一样的，有没有其他解法？

启发：将求和问题转化为三角形图案（图一），在该图案右侧倒放一个全等的三角形图案（图二），补成一个平行四边形，则每一行都为 。

生3：倒序相加。

得

所以，

（二）深入探究，理解公式

问题4、设等差数列 ，首项为 ，公差为 ，求等差数列 的前 项和公式。

预设：先独立思考，再小组合作交流。发现用倒序相加法很快能得出公式。

?得

所以，

如果代入等差数列得通项公式， ，

也可以用首项 与公差 表示，即

几何理解：用梯形面积公式来理解等差数列前 项和公式。

（三）公式应用，强化理解

例1、根据下列条件，求等差数列 的前 项和 。

（1） ；

（2） 。

练习1：已知等差数列 前10项和是310，

前20项的和是1220.求等差数列 的前 项和 。

练习2：等差数列 中， ，

求公差 及前 项和 。

四、教学过程反思

在数学核心素养的指导下，教学设计看中数学问题下的思维活动，课堂教学着重分析和思维的提高。通过本节课的教学设计，我认识到培育逻辑推理素养因围绕问题展开。问题是数学的心脏。教师应精心设计有效准确、具有启发性探究性的问题，让学生经历观察、类比、分析、归纳等一系列探究过程，让学生分析问题、理解问题，并最终解决问题，从而深刻领悟逻辑推理方法。本节课，根据教学难点，设计了一系列由易到难、从特殊到一般的问题环，激起学生探究精神。其次，培训核心素养要在宽松、活跃的氛围下进行。逻辑推理过程需要大胆质疑、合作交流，积极参与课堂教学活动。因此，教师应多鼓励学生思考研究，发挥想象，提出创造性想法，展示学生的才华。