函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

摘要：函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。本文结合例题对此做一简要探讨。

关键词：函数；奇偶性；周期性；对称性；关系

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）02-0112

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系，如果知道其中两个就能得出另外一个，这对我们研究函数的性质很有帮助。

知识背景：1. 奇函数的抽象性质：f（-x）=-f（x）；2. 偶函数的抽象性质：f（-x）=f（x）；3. 周期函数的抽象性质：f（x+T）=f（x）；4. 对称函数的抽象性质：若f（a-x）=f（a+x）或f（2a-x）=f（x），则函数图像关于直线x=a对称；若f（a-x）+f（a+x）=0或f（2a-x）+f（x）=0，则函数图像关于点（a，0）对称。

一、由函数的奇偶性和周期性得到函数的对称性

例1. 若函数是奇函数，周期为2a，求证：函数f（x）关于点（a，0）对称。

解析：∵函数f（x）是奇函数且周期为2a，∴f（-x）=f（x）且f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=-f（x+2a），∴f（x）=-f（x+2a），即f（x+2a）+f（x）=0，∴函数f（x）关于点（a，0）对称。

例2. 若函数f（x）是偶函数，周期为2a，求证：函数f（x）关于x=a直线对称.

解析：∵函數f（x）是偶函数且周期为2a，∴f（-x）=f（x）且f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=f（x+2a），即f（2a-x）=f（x），∴函数f（x）关于直线x=a对称。

二、由函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性

例3. 若函数f（x）是奇函数，图像关于直线x=a对称，求证：函数f（x）的周期为4a.

解析：∵函数f（x）是奇函数且图像关于直线x=a对称，∴f（-x）=-f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=-f（x），∴f（2a+x）=-f（x），∴f（4a+x）=f（x），即函数的周期为T=4a.

同理：若f（x）函数是奇函数，图像关于关于点（a，0）对称，可求出函数的周期为2a。

例4. 若函数f（x）是偶函数，图像关于直线x=a对称，求证：函数f（x）的周期为2a。

解析：∵函数f（x）是偶函数且图像关于直线x=a对称，∴f（-x）=f（x）且f（2a-x）=f（x），∴f（2a-x）=f（-x），∴f（2a+x）=f（x），即函数的周期为2a。

同理：若函数f（x）是偶函数，图象关于关于点（a，0）对称，可求出函数的周期为4a。

三、由函数的周期性和对称性得到函数的奇偶性（有特定条件：周期是对称值的2倍）

例5. 已知函数f（x）的周期为2a，图像关于直线x=a对称，求证：函数f（x）为偶函数。

解析：∵函数f（x）的图像关于直线x=a对称，∴f（2a-x）=f（x），∴f（2a+x）=f（-x），又∵f（x）的周期为2a，∴f（x+2a）=f（x），∴f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数.

例6. 已知函数f（x）的周期为2a，图像关于点（a，0）对称，求证：函数f（x）为奇函数。

解析：∵函数f（x）的图像关于点（a，0）对称，∴f（2a-x）+f（x）=0，∴f（2a+x）=-f（-x），又∵f（x）的周期为2a，∴f（x+2a）=f（x），∴f（x）=-f（-x），即函数f（x）为奇函数。

以上结论较多，只要同学们知道函数的奇偶性、周期性与对称性三者之间有着联系，并掌握推导方法即可。

作者简介：赵文龙，安徽省来安县第三中学，高中一级教师，滁州市中青年骨干教师，来安县政府授予“来安县名教师”荣誉称号。曾在《数理天地》《中学生数理化》《学习方法报》报刊杂志上分别发表文章《三角函数变换的技巧》《不要小看反比例函数》《对两种变量的讨论》。

（作者单位：安徽省来安县第三中学 239200）