函数的奇偶性、周期性、对称性三者之间的关系

2018-05-27 14:12赵文龙
中学课程辅导·教学研究 2018年6期
关键词:奇偶性周期性对称性

摘要:函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系,如果知道其中两个就能得出另外一个,这对我们研究函数的性质很有帮助。本文结合例题对此做一简要探讨。

关键词:函数;奇偶性;周期性;对称性;关系

中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2018)02-0112

函数的奇偶性、周期性和对称性三者之间有着必然的联系,如果知道其中两个就能得出另外一个,这对我们研究函数的性质很有帮助。

知识背景:1. 奇函数的抽象性质:f(-x)=-f(x);2. 偶函数的抽象性质:f(-x)=f(x);3. 周期函数的抽象性质:f(x+T)=f(x);4. 对称函数的抽象性质:若f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x),则函数图像关于直线x=a对称;若f(a-x)+f(a+x)=0或f(2a-x)+f(x)=0,则函数图像关于点(a,0)对称。

一、由函数的奇偶性和周期性得到函数的对称性

例1. 若函数是奇函数,周期为2a,求证:函数f(x)关于点(a,0)对称。

解析:∵函数f(x)是奇函数且周期为2a,∴f(-x)=f(x)且f(x+2a)=f(x),∴f(-x)=-f(x+2a),∴f(x)=-f(x+2a),即f(x+2a)+f(x)=0,∴函数f(x)关于点(a,0)对称。

例2. 若函数f(x)是偶函数,周期为2a,求证:函数f(x)关于x=a直线对称.

解析:∵函數f(x)是偶函数且周期为2a,∴f(-x)=f(x)且f(x+2a)=f(x),∴f(-x)=f(x+2a),即f(2a-x)=f(x),∴函数f(x)关于直线x=a对称。

二、由函数的奇偶性和对称性得到函数的周期性

例3. 若函数f(x)是奇函数,图像关于直线x=a对称,求证:函数f(x)的周期为4a.

解析:∵函数f(x)是奇函数且图像关于直线x=a对称,∴f(-x)=-f(x)且f(2a-x)=f(x),∴f(2a-x)=-f(x),∴f(2a+x)=-f(x),∴f(4a+x)=f(x),即函数的周期为T=4a.

同理:若f(x)函数是奇函数,图像关于关于点(a,0)对称,可求出函数的周期为2a。

例4. 若函数f(x)是偶函数,图像关于直线x=a对称,求证:函数f(x)的周期为2a。

解析:∵函数f(x)是偶函数且图像关于直线x=a对称,∴f(-x)=f(x)且f(2a-x)=f(x),∴f(2a-x)=f(-x),∴f(2a+x)=f(x),即函数的周期为2a。

同理:若函数f(x)是偶函数,图象关于关于点(a,0)对称,可求出函数的周期为4a。

三、由函数的周期性和对称性得到函数的奇偶性(有特定条件:周期是对称值的2倍)

例5. 已知函数f(x)的周期为2a,图像关于直线x=a对称,求证:函数f(x)为偶函数。

解析:∵函数f(x)的图像关于直线x=a对称,∴f(2a-x)=f(x),∴f(2a+x)=f(-x),又∵f(x)的周期为2a,∴f(x+2a)=f(x),∴f(-x)=f(x),即函数f(x)为偶函数.

例6. 已知函数f(x)的周期为2a,图像关于点(a,0)对称,求证:函数f(x)为奇函数。

解析:∵函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,∴f(2a-x)+f(x)=0,∴f(2a+x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2a,∴f(x+2a)=f(x),∴f(x)=-f(-x),即函数f(x)为奇函数。

以上结论较多,只要同学们知道函数的奇偶性、周期性与对称性三者之间有着联系,并掌握推导方法即可。

作者简介:赵文龙,安徽省来安县第三中学,高中一级教师,滁州市中青年骨干教师,来安县政府授予“来安县名教师”荣誉称号。曾在《数理天地》《中学生数理化》《学习方法报》报刊杂志上分别发表文章《三角函数变换的技巧》《不要小看反比例函数》《对两种变量的讨论》。

(作者单位:安徽省来安县第三中学 239200)

猜你喜欢
奇偶性周期性对称性
等腰三角形的对称性
巧用奇偶性,速解函数题
高中数学函数对称性的应用探究
高中数学函数对称性的应用探究
一般函数的周期性与三角函数相结合的两个重要结论
例谈函数奇偶性应用中的两类求值问题
磁场周期性问题的剖析
如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题
“平行四边形”知识梳理
巧用对称性解题