基于Adams的塔式提升机柔性多体动力学仿真研究

0 引言

随着塔式提升机向着大型化、重载化方向的发展，对塔式提升机性能要求提出了更高的期望。要求其能够实现快速启停、稳定运行、准确定位，并且将其振动幅值控制在合理的范围内[1]。由于塔式提升机是一种间歇式的工作机械，具有起、制动频繁，惯性冲击大等特点。根据其的运行的工况特点，实现轻载高速、重载低速、安装就位能够微动调节是对塔式提升机性能的基本要求。但是随着大型塔式提升机的出现，提升载荷的不断增加，起重臂的不断加长以及在提升、回转运动加减速过程中起制动时间的缩短，惯性载荷引起的振动问题已经严重的危及到塔式提升机工作的安全性和可操作性。因此，研究塔式提升机在惯性载荷下的振动响应问题的重要性也逐渐凸显出来。文献[2,3]基于柔性多体系统动力学分析理论，采用虚位移原理在回转平面内建立了塔式提升机的动力学模型，对考虑刚柔耦合效应的塔式提升机回转制动过程进行分析。在对回转制动分析过程中考虑了大范围刚体运动与构件弹性变形的耦合作用，进而获得了与塔式提升机动力特征相符合的结果。文献[4,5]基于柔性多体系统动力学理论采用拉格朗日运动方程建立了履带提升机的多体系统动力学模型，建模过程中考虑吊臂的弹性变形对整机回转运动动态性能的影响。对履带提升机在不同的加减速度条件下的回转工况进行分析，获得了吊臂的侧向位移响应曲线和吊重的摆动曲线。

本文针对塔式提升机起、制动过程中起重臂产生大变形的问题，通过建立塔式提升机整机柔性多体系统动力学模型，对塔式提升机起、制动过程进行仿真，获得起重臂在回转平面内的振动特性。对起重臂进行瞬态动力学分析以期获得塔式提升机起、制动过程中起重臂的振动的规律。在塔式提升机回转机构施加不同的回转起、制动规律曲线对其振动特性进行研究，为塔式提升机的结构设计和制动策略的选取提供理论基础。

1 柔性多体系统动力学

利用机构动力学仿真软件Adams进行柔性多体系统动力学仿真分析时，柔性体的运动采用相对方法进行描述。由于Adams是通过模态叠加法来获得柔性体在每一瞬时弹性变形后的方向和位置，同时又假设柔性体的变形相对于其连接坐标系是线弹性变形，而连接坐标系同时也在做大范围非线性整体平动和转动。

1.1 柔性体标记点的运动学分析

1）柔性体上标记点的位置描述

图1为柔性体变形前后P点相对于局部参考坐标系B和大地坐标系G的位置矢量。变形前柔性体上一点P变形后到达P'点。节点P的瞬时位置矢量表达可表示为[6]：

x表示从大地坐标系G指向柔性体局部参考坐标系原点B的位置矢量。SP表示从局部坐标系B的原点指向变形前点P的位置矢量，为实常数矢量。uP为节点P的平动变形矢量，GAB表示从局部参考坐标系B到大地坐标系G的变换矩阵。在Adams中方向角是通过刚体固定的旋转序列所产生的欧拉角（ψ，θ，φ）来确定[7]。因此，欧拉角（ψ，θ，φ）也是柔性体的广义坐标，用来描述柔性体的方向。将柔性体平动变形矢量uP采用模态叠加法可表示为：

其中，ΦΡ是与节点P的平动自由度相对应的模态矩阵，是一个规模为3×M的矩阵，M为其模态阶数。q为模态坐标矢量，其中qi（i=1，…，M）为柔性体的第i个广义模态坐标。

图1 柔性体变形后点Ρ'的位置矢量

综上所述，Adams中柔性体位置坐标可以采用（x，y，z）来进行描述，方向坐标可以采用欧拉角（ψ，θ，φ）来描述。通过计算柔性体每一瞬时的弹性变形，可描述其变形运动。

2）柔性体上标记点的速度描述

将式(2)中柔性体上标记点Ρ的位置矢量对时间进行求导，可以得到P点相对于大地坐标系G的瞬时平动速度，如式(4)所示：

定义如下所示操作：

由式(4)、式(5)可以推导的出式(6)所示关系：

式中G为柔性体相对于大地坐标系G的角速度。引入则有：

3）柔性体上标记点的方向描述

为了满足角度约束，当柔性体变形时必须实时地计算出柔性体上某一标记点的瞬时方向。随着柔性体发生变形，标记点相对于局部参考坐标系B将会产生一个小角度的旋转。同式(3)中对柔性体的平动变形矢量up的描述相类似，这些小角度的弹性转动变形可以通过模态叠加法来描述[8]，如式(8)所示：

是与节点P的旋转自由度相对应模态矩阵。是一个规模为3×M的矩阵，M为柔性体的模态阶数。标记点J相对于大地坐标系G的方向描述是用欧拉变换矩阵GAJ来表示的，该矩阵可以表示成如下式(9)中三个矩阵的乘积，即：

GAB表示从局部参考坐标系B到大地坐标系G的变换矩阵；BAP表示由于节点P的弹性变形引起柔性体方向改变的变换矩阵；PAJ表示当标记点位于柔性体上时的实常数变换矩阵；其中，矩阵BAP是由于弹性变形引起的微小转角的方向余弦矩阵，如式(10)所示。式中I为单位矩阵，采用式(5)形式可表示为：

4）柔性体标记点角速度描述

柔性体上标记点J的角速度，由柔性体的角速度以及弹性变形引起的角速度之和组成，即：

1.2 柔性体运动控制方程的建立

柔性体运动控制方程采用拉格朗日第一类方程的形式[9]：

式中：L为拉格朗日函数；F 为能量耗散函数；是约束方程；λ为对应于约束方程的拉格朗日乘数；ξ为柔性体的广义坐标；Q为广义作用力，即将外部作用力映射到柔性体广义坐标ξ上；式(12)柔性体运动控制方程的建立需要分别写出系统的动能T、势能V、耗散能F以及约束。其中，对应于动能T需要写出柔性体的质量矩阵Μ(ξ)，对应于势能V需要写出柔性体的刚度矩阵K(ξ)、对应于耗散能F需要写出阻尼矩阵D。

将式(7)中柔性体上标记点处的速度表示成柔性体广义坐标ξ对时间的导数，得到如式(14)所示形式：

则柔性体的动能可以表达成为如式(15)所示形式[10]：

式中mp、Ip分别为节点P的质量和惯性张量，采用柔性体广义质量矩阵Μ(ξ)和广义坐标ξ代替式(15)中节点的平动速度v和转动角速度，可以得到柔性体的动能表达式如(16)所示：

将式(16)中的质量矩阵Μ(ξ)写成3×3分块矩阵，如式(17)所示：

分块矩阵的下标t、r、m分别代表平动自由度、转动自由度和模态自由度。将式(12)的柔性体运动控制微分方程，以柔性体广义坐标ξ的形式表示为[11]：

ξ、为柔性体广义坐标及其对时间的一阶、二阶导数；M是柔性体的广义质量矩阵；是柔性体的广义质量矩阵对时间的导数；是柔性体广义质量矩阵相对于其广义坐标的偏微分；K为对应于柔性体广义坐标的广义刚度矩阵；fg为柔性体的广义重力；D为柔性体的模态阻尼矩阵；为柔性体约束方程；λ为柔性体约束方程中的拉格朗日乘子；Q为柔性体的广义主动力。

2 塔式提升机整机结构模态分析

2.1 模态分析理论基础

在对机械系统进行模态分析分析之前，首先必须建立机械系统的运动微分方程。采用牛顿定律和拉格朗日方程等来建立系统的振动方程。对于具有微小位移的多自由度线弹性振动系统，其运动微分方程一般如下所示[12]：

子宫内膜炎是哺乳动物生产后比较常见的并发症，如果对该疾病无法做到及时、有效的治疗，会严重影响动物的配种，易诱发动物流产、不孕等。近年，动物子宫内膜炎的发病率呈现上升趋势，通常临床上在动物产后进行产后康的注射，但是治疗效果并不理想，如果使用鱼腥草、益母草、当归等中草药配伍形成的热毒康制剂进行注射治疗，其治愈率高达80%以上。如果鱼腥草与青霉素配伍对患有慢性子宫内膜炎的动物进行注射，效果也比较显著。

式中[M]、[C]、[K]分别为系统的整体质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；X、F(t)分别为系统中的广义坐标列阵及其激振力列阵。忽略阻尼的影响则多自由度系统的自由振动方程可表示为[13]：

设式(20)具有如下形式的解：

A为振幅列阵，将式(21)对时间求二阶导数可得：

将式(22)代入式(20)中可得：

式(23)是以振幅A为未知量的齐次线性代数方程组，其中矩阵K、M通常为已知的实常数矩阵。根据线性代数理论可知，上述方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零，也即：

式(24)称为多自由度系统的特征方程或者频率方程，将其展开得到关于的N次代数方程组，方程组的根称为特征值。要求出使上述式(24)方程组有非零解的的值。必须要有满足要求的的特征值，与相对应的非零解A称为与对应的特征矢量。每一个特征值和与之相对应特征矢量A统称为一个特征对。通过对特征值开平方可以得到多自由度系统的无阻尼固有圆频率通常，N阶多自由度系统的无阻尼固有圆频率互不相等，将其从小到大排列如式(25)所示：

2.2 塔式提升机整机结构模态分析

在对所建立的塔机整机有限元模型进行模态分析过程中，采用mmns为单位制。其承载构件结构采用型号为Q235的普通碳素结构钢。

利用Ansys网格划分后整个塔式提升机有限元模型中节点总数有10445个，单元总数为10849个，关键点共290个，共创建线模型692条。模态分析过程中采用分块兰索斯法（Block Lancos）提取塔式提升机前16阶模态。其前16阶无阻尼固有频率计算结果如表1所示。

表1 塔机整机结构无阻尼固有频率

图2 平头塔式起重机整机结构各阶模态

从理论上来讲，塔式提升机的各阶模态振型对系统的振动响应都有贡献。但在实际问题中，常常是固有频率较低的几个振型的贡献起主要作用，尤其是在激振力中高频成分较少时，或者系统自由度数目甚高的情况下更是如此[14]。因此，本文仅列出塔式提升机整机结构的前四阶低频振型，就能够很好的反映塔式提升机整机结构的典型振动工况特点。

3 塔式提升机起制动过程仿真

利用在Adams环境中建立的塔式提升机柔性多体系统动力学模型，进行塔式提升机回转起、制动过程仿真分析。根据塔式提升机回转工况特点，仿真过程中对回转机构施加不同的回转角速度曲线，通过测量回转平面内塔式提升机尖端相对回转中心的侧向变形来衡量塔式提升机的振动情况。

3.1 驱动函数的选取

由于塔式提升机在起动和制动过程中工作状态的突然改变，整个塔式提升机将承受巨大的惯性作用力的冲击，从而引起整机结构的强烈振动。为了模拟塔式提升机从静止状态到起动后到达高速匀速运行的起动工况，以及塔式提升机由高速运行状态经过匀减速停机制动的过程。通过使塔式提升机回转臂角速度分别按照匀加速和匀减速起制动规律运行，来模拟塔式提升机起动和制动工况。

图3所示为Adams中提供的Step函数示意图。仿真过程中将图3所示坐标横轴作为时间t，坐标纵轴作为角速度，进行塔式提升机起动过程分析，基本操作如下：

首先，将h0设置为零，即塔式提升机从静止状态开始起动；其次，将h1设定为塔式提升机匀速运行时的角速度max；通过调整x0、x1来确定起动过程的起始时刻和终止时刻。

图3 STEP函数示意图

仿真过程中设定起动过程持续时间为4s，采用Step函数描述塔式提升机回转起动过程中角速度随时间变化曲线，即=4.5d×STEP(time，0.5，0，4.5，1)。如图4所示，塔式提升机起动时刻设定在t=0.5s，起动过程持续4s，其最大回转角速度为4.5°/s。

3.2 柔性塔身起动过程仿真

图4 STEP函数实现角速度曲线

根据柔性多体系统动力学理论，利用Adams进行柔性多体动力学仿真，通过对系统中各个柔性体仿真参数的设置，实现大范围刚体运动和柔性体弹性变形耦合作用的精确动力学分析。在Adams环境中通过将塔身属性设定为Full Coupling，在仿真过程中可精确的计及塔身变形对整机性能的影响。

图5所示为同时考虑塔身和塔机上回转臂柔性时，在回转平面内塔机尖端相对于其回转中心的横向变形曲线。Adams仿真过程中塔身部件和塔机上回转部件阻尼比均设定为0.6。起动持续时间分别设定为4s、5s、6s，起动过程从t=0.5s时刻开始，分别到t=4.5s、5.5s、6.5s时刻结束。由图5中测量可知，起动过程中最大变形量依次为1381.14mm、1229.79mm、1079.98mm，分别发生在t=4.5s、5.0s、5.42s时刻。图6所示为同时考虑塔身和塔机上回转臂柔性时，由于塔身发生扭转弹性变形从而引起整个塔身绕塔式提升机回转中心Z轴的转角扭转振动。由图6可知对应于不同的起动持续时间4s、5s、6s，塔身顶部转角最大值分别为3.62°、3.23°、2.85°，且塔身最大转角分别发生在t=4.38s、4.88s、5.3s时刻。

图5 塔机尖端横向振动

图6 塔身回转部接口节点转角

图7所示为塔式提升机起动过程中，起动持续时间分别设定为4s、5s、6s时的塔式提升机回转角速度曲线，起动过程从t=0.5s时刻开始，分别于4.5s、5.5s、6.5s时刻结束。图8所示为对应不同的起动持续时间内，塔式提升机尖端相对于回转中心在回转平面内的横向变形曲线。由图可知对应于起动持续时间分别为4s、5s、6s，其塔机尖端在回转平面内的最大横向变形分别发生在t=3.1s、3.4s、3.66s时刻，最大变形量分别为1445.996mm、1086.648mm、836.673mm。由图6、图8分析结果可知，塔式提升机在回转起动过程中，由于惯性载荷的作用，塔机起重臂发生较大的弹性变形，从而引起整个塔式提升机的弹性振动。图8给出塔式提升机在不同起动持续时间下的振动情况，由图可见，为了减小振动的最大幅值，可以适当的延长起动时间，但是这样会导致塔式提升机起动变慢，不利于塔式提升机工作效率的提高。

图7 起动过程角速度曲线

图8 塔机尖端横向振动变形曲线

3.3 柔性塔身制动过程仿真

图9所示为采用柔性塔身对塔式提升机回转制动过程进行仿真时所施加的回转制动角速度曲线。由图9可以看出制动从t=1s时刻开始，制动持续时间分别设定为4s、5s、6s，相应的制动终止时刻依次为t=5s、6s、7s。仿真过程中整个塔式提升机回转角速度从最大角度速度4.5°/s，经过不同的减速持续时间最终趋于静止状态。图10所示为同时计及塔身和塔机上回转臂变形时，对塔式提升机柔性多体系统动力学制动过程进行仿真所得结果。由图可知对应于不同的制动持续时间4s、5s、6s，塔式提升机尖端横向变形的最大值依次为1432.196mm、1287.4156mm、1116.6267mm，其最大变形量分别发生在t=5.06s、5.46s、5.8s时刻。

图9 塔机回转制动曲线

图10 制动过程中塔机尖端横向变形曲线

图11所示为柔性塔身在制动过程中的扭转振动曲线。图11中测量曲线选择塔身顶部，通过测量其绕Z轴即塔式提升机回转中心处的转角振动情况来反映柔性塔身模型的振动情况。由图11可知对应于不同的制动持续时间4s、5s、6s，柔性塔身转角幅度最大值依次发生在t=4.82s、5.32s、5.76s，其对应最大转角依次为3.52°、3.14°、2.76°。

图11 塔身回转部接口节点转角

图12所示为塔式提升机制动过程中施加的不同的回转制动曲线，其制动持续时间分别为4s、5s、6s，其制动时间均从t=1s时刻开始，分别于t=5s、6s、7s时刻结束。图13所示为对应于不同制动持续时间下，塔式提升机尖端横向变形在回转平面内相对于其回转中心的横向变形曲线。如图12所示，制动持续时间分别为4s、5s、6s时，塔式提升机尖端横向变形最大值依次为1440.94mm、1085.92mm、838.966mm，分别发生在t=3.6s、3.9s、4.16s时刻。

显而易见，紧急制动工况下塔式提升机起重臂将承受强烈的惯性力的冲击作用，从而产生较大的弹性变形，严重时可能导致倒塔等恶劣事故，因此必须对于塔式提升机回转运动紧急制动时间作必要的限定，确保塔式提升机安全工作。

图12 塔机制动角速度曲线

图13 制动过程中塔机尖端横向变形曲线

4 塔式提升机回转运动制动策略研究

通过对塔式提升机回转制动过程的仿真，采用柔性塔身对塔式提升机制动过程进行分析，塔机上回转臂均视为柔性体。由仿真结果可知，塔式提升机的长臂结构在回转制动过程中，由于受到惯性力的冲击作用，其回转臂将发生严重机械变形，从而引起整个塔身和起重臂在回转平面内的扭转振动。为了能够更好的对塔式提升机回转机构施加恰当的制动曲线，在此对塔机制动策略进行研究，从而最大限度的减小起重臂的振动幅值。图10～图13分别给出了塔式提升机，在不同制动持续时间下塔机尖端的横向振动情况。由图可见，通过延长制动持续时间可以减小塔式提升机的振动，然而过长的制动时间将会导致塔式提升机制动角度的增大，不利于塔机的快速就位。根据塔式提升机起重臂变形振动滞后的特点，提出了分级制动策略对塔式提升机回转制动过程进行研究。

其中，1号为匀速制动曲线，对应于图14中的红色实线，其角速度从4.5°/s逐渐减小到零，制动时间从t=1s时刻开始，到t=5s时刻结束，总的制动持续时间为4s，即高速段、匀速段、低速段时间所分配的时间的之和。此外，2、3、4号曲线分别为分级制动曲线，以2号曲线为例其角速度从4.5°/s经过高速段减速（从t=1s时刻到t=2.5s时刻）、匀速段（从t=2.5s时刻到t=3.5s时刻）、低速段（从t=3.5s时刻到t=5s时刻），制动时间分配如表2中2号表格所示，各段制动持续时间分别为1.5s、1s、1.5s。表2中的制动时间分配与图14中的曲线编号分别相对应，总的制动持续时间均设定为4s，即制动过程从t=1s开始，直到t=5。

表2 塔式提升机回转制动策略

图15所示为采用表2中所列的4种不同的回转制动策略下测得到塔式提升机尖端横向振动曲线。由图中可知，分别采用表2中1、2、3、4四种制动策略情况下，塔式提升机尖端横向变形的最大值依次为1440.9447mm、1707.4577mm、1309.6395mm、1133.3784mm，其变形的最大值发生的时刻分别为t=3.6s、5.38s、2.82s、3.06s。

图14 塔机回转制动策略

通过2～4号三种分级制动策略仿真结果的对比可知，随着表2中高速段减速持续时间的延长，塔机尖端横向变形量最大值逐渐减小。通过1～4号四种制动策略的对比可知，同采用单级减速制动曲线分析结果相比，在分级制动中采用合理的制动时间分布，能够有效的控制塔机尖端横向振动幅值的最大值。如在制动持续时间相同的情况下，将制动持续时间设定为4s，采用3号、4号分级制动策略时塔式提升机尖端横向变形最大值，同采用1号单级制动方案所测的幅值最大值较小。通过对比1号和2号制动策略的仿真结果可以看出，2号中制动时间的不合理的分配导致其最大振幅同采用1号单级制动振幅相比较大。由此可知，在制动时间的分配上应尽量避免在高速情况下急停车，待塔式提升机回转速度降低到一定速度时再将整个回转运动完全终止，从而避免塔式提升机产生强烈的振动。

5 结论

根据塔式起重机回转工况特点，在回转机构处施加不同的回转角速度曲线，通过测量回转平面内塔式起重机尖端相对回转中心的侧向变形，来衡量塔式起重机的振动情况。详细阐述了塔式起重机回转运动驱动函数的选取以及Adams中函数的使用方法；其次分别就塔式起重机回转起动过程、制动过程进行仿真分析，并分别采用刚性塔身和柔性塔身时塔式起重机尖端横向变形的振动情况进行讨论；最后对塔式起重机回转制动策略进行研究，并指出回转运动分级制动过程中，合理的制动时间分配能够有效的控制塔式起重机尖端横向振动幅值的最大值。

参考文献：

[1]韩雅楠,李刚,罗晓明.基于Simpack的重载操作机刚柔耦合动力学分析[J].动力学与控制学报,2010,8(3):267-272.

[2]兰朋,陆念力,孟晓平.考虑刚柔耦合效应的塔机水臂回转制动分析[J].中国工程机械学报,2003,6(1):304-308.

[3]兰朋.柔性梁杆系统运动弹性动力学分析的高效方法及应用[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2003:94-98.

[4]WANG JINJIE, GUOHUA CAO. Lateral response of cableguided hoisting system with time-varying length: Theoretical model and dynamics simulation verification[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part C: Journal of Mechanical Engineering Science,2015,19(5):441-450.

[5]WANG JINJIE,et al.A novel driving strategy for dynamic simulation of hoisting rope with time-varying length[J].International Journal of Modeling Simulation and Scientific Computing,2013, 4(3):135-142.

[6]蒋红旗,王繁生.起重机吊臂结构有限元模态分析[J].振动与冲击,1999,18(3):77-80.

【】【】

[7]钟飞,史青录.基于的挖掘机式冲击器工作装置模态分析[J].机械研究与应用,2012,4(3):37-42.

[8]Peza-Solís J F, Silva-Navarro G, Castro-Linares R. Passivity analysis for a single flexible-link robot[C].International Conference on Electrical Engineering,Computing Science and Automatic Control,cce. IEEE, 2010:1-6.

[9]MA XINGGUO,YOU XIAOMEI, WEN BANGHUN. Multi-body Dynamics Simulation on Flexible Crankshaft System[C].12th IFToMM World Congress, Besançon (France),June18-21,2007.

[10]SUSHENG G,CHANGSHENG. Research on dynamic characteristics of portal crane’s boom system under lifting dynamic load[J].Hoisting and Conveying Machinery.2012;7:014.

[11]ZHAO, CHUN HUA, SHI JUN CHEN, JIN ZHANG. Study on Dynamic Performance of Tower Crane Based on ADAMS Multi-Flexible-Body[J].Advanced Materials Research,2012479,1504-1509.

[12]黎育红,聂凌霄.基于虚拟样机的多体系统动力学仿真[J].武汉大学学报工学版,2010,43(6):757-761.

[13]吴胜宝,章定国.大范围运动刚体柔性梁刚柔耦合动力学分析[J].振动工程学报,2011,24(1):1-7.

[14]张永德,汪洋涛,王沫楠.基于Adams与Ansys的柔性体联合仿真[J].系统仿真学报,2008,20(17):4501-4504.