分形几何在图案设计中的应用研究

窦林贤

(安徽农业大学 经济技术学院，安徽 合肥 230041)

分形几何提供了用于描述一些不能用传统欧式几何描述的较为复杂的几何图形的一种方法，其不仅是现代数学的重要内容，同时也在多个自然与工程领域获得了广泛应用[1]。分形图案设计是分形几何的重要应用领域，主要是基于分形公式和计算机技术进行迭代生成的绚丽图案。虽然计算机分形艺术体现着数学与艺术的完美结合，但是在实际应用中仍需要不断挖掘和探索。

1 分形与分形几何

分形是著名的美籍法国数学家曼德尔布罗特首先提出的数学概念，他于1975年出版的第一部关于分形几何的专著成为分形理论产生的标志，并认为分形是局部与整体以某种方式自相似的图形。当前，最为流行的分形定义为具有自相似特性的现象、图象或物理过程。分形的分类方式有很多，根据生成算法可以将分形分为线性和非线性两种，其中非线性分形内容具有更多的内容和变化[2]。我们也可以基于算法过程中的随机因素，将分形分为确定性和非确定性两类。

以分形理论为基础的几何称为分形几何，其与传统的欧式几何具有较大的区别。欧式几何将规则的几何图形作为研究对象，其基本构成元素是点、线、面。分形对象并不具备基本元素，其本质是一种几何语言，是由基于算法和数学程序集合进行描述的，借助计算机技术进行描述的一些几何形态。由于分型几何将非线性不规则图形作为研究对象，因此研究的图形远比欧式几何复杂。另一方面，自然界中的物体大多不能划分为若干有规则的几何基本元素，因此分形几何在描述自然方面具有显著优势[3]。

2 分形图形的艺术特征

分形图形是根据分型几何原理，借助计算机技术生成的具有数学内涵和艺术特征的图形。随着分形图形研究的持续深入以及应用范围的持续扩大，人们对分形图形艺术特点的认识也更为深刻。

2.1 分形图形的结构特征

从图形的结构上来看，分形图形主要具有如下三方面的特征：一是自相似性，也就是分形图形进行局部放大后会与整体具有某种相似性。基于分形图形的生成过程，这种相似是嵌套的和无穷的，在大小、结构和造成等方面具有十分相近的特征[4]。也就是说分形图形中的任何独立部分都是整体的再现或缩影。二是图形结构的无限精细性，也就是将分型图形的任何部分进行放大，会发现图形的局部都包含着更为微小的相似结构，并且这种结构的划分从理论上讲是无穷的。另一方面，这些细微结构在“堆砌”成复杂图形时还需要遵循一定的规律，是按照一定的结构组合迭代生成的。三是不规整性，也就是分形图形并不具备欧式几何图形那种规整、光滑的形态，而以一种不规整的结构达到对自然物象的栩栩如生的描述。

2.2 分形图形的视觉特征

基于分形图形的特殊结构，必然导致其在视觉上具有如下艺术特征：一是分形图形的动态平衡性。一般而言，传统的图形都追求一种静态上的平衡，而分形图形中的每一个元素均不是孤立存在的，需要一种内在的动势来维系，如果任何一个元素发生改变，都将影响到图形本身的整体结构，从而构建出几乎完全不同的图形。因此，面对分形图形观赏者可以感受到一种生生不息、无限繁衍的动态变化。二是绚丽的色彩。由于分形图形是基于计算机技术生成的，其中的每一个点的色彩均由计算机通过迭代函数计算生成，同时，分形图形具有随机性和多变性，其色彩也更富于变化性和多样性，可以塑造出意想不到的色彩艺术效果。

2.3 分形图形的数字特征

由于分形图形是计算机通过迭代函数计算生成，因此具有明显的数字特征，具体而言，数字性又表现为以下几方面：一是分形图形生成过程中的随机性，这也是与其他艺术形式最明显的不同。一方面，随机性贯穿了分形图形的生成方法和过程，有助于放飞设计者的思维；另一方面这种随机性并不等价于完全放纵，仍需要遵循一定的艺术规则。二是分形图形的无标度性，也就是只要计算机有足够的运算能力和存储空间，分形图形就可以无限细分和发展。分形图形的这一特征有助于在图案的局部隐含更多的细节和结构，强化设计作品的丰富性，以充分激发观众的想象力。

3 分形图案的常用生成方法

3.1 递归生成方法

分形图案中的相当部分都是基于生成元描绘出来的，这里的生成元是利用递归方式生成分形图案时所需要遵循的递归操作规则，按照上述规则进行多次递归迭代操作所得到的图案就是分形图案。这种生成方法的优势在与仅需要简单的生成元或构成元素即可生成美观的分形图案，如果进一步经过人工组合和选择，就可以获得极具艺术魅力的分形图案。

3.2 L系统与迭代函数系统

许多自然界的生物体和非生物体都呈现出分形的结构形式，同时很多生物的生长过程也具有显著的分型特征，也就是重复的分支分裂产生更为细小的分支。L系统的引入形成了一类能够有效模拟上述自然现象的有效方法，能够有效模拟植物分支的拓扑结构以及对相应的几何形状进行描述。

3.3 基于迭代函数的图案生成方法

迭代函数系统最早是由Hutchinson提出，经过美国佐治亚理工学院的M.F.Barnsley等人的完善和发展，并最终命名为迭代函数系统。可以说，迭代函数是仿射几何与分形理论相互结合的产物，现今已成为分形几何领域的重要研究分支。在迭代函数系统中，主要以仿射变换为框架，使几何对象的整体和局部之间具有自相似结构，也就是几何对象一旦被选定，就利用若干仿射变换将整体形态变换到局部，然后一直进行迭代，就可以获得美妙的随机分形图案。

4 分形图形在图案设计中的应用与实现

在分形几何背景下，数学由抽象化的哲理转变为形象的感受，从而联通了数学和艺术设计两大领域，为图案设计提供了新的手法，注入了新的活力。

4.1 分形图形在平面图案设计中的应用

分形图形需要依据数学公式建模、利用计算机编程语言实现，与传统图形相比具有独特的造型和装饰性特征[5]。但是，分形图形的随机形态和机械化的特征，也要求其用于图案设计时必须要进行一定的艺术处理，如若不然就会与我们的设计创作背道而驰，使图案本身过于单调，影响作品本身艺术性的发挥。因此，好的分形艺术作品逻辑思维与艺术感受融合的产物，也就是依靠计算机运算迭代出华丽而不失规律性的图形，然后辅以设计者的创意思维，以满足人类的艺术和审美精神需要。

以招贴设计为例，分形图依靠其华丽的形态在吸引受众的眼球方面具有显著优势。如图1是我国首届“未来之星”大学生平面设计大赛的作品。该作品以分形频道宣传为主要目的，因此整幅图以Storm—Julia分形图为设计主体进行选择和裁剪形成。从整体上看，该图突出了地球与大自然的交流，表达了分形是诠释和描述大自然的几何学，而分形频道是介绍分形的理论平台，使观众明白分形与生活的关系。

图1 分形频道招贴设计

4.2 分形图形在包装图案设计中的应用

分形艺术是科学与艺术的结合，不仅具有计算机数字技术的特征，还具有神秘性与可信性以及那种超凡脱俗的艺术魅力。对产品包装设计而言，将分形图形用于产品包装图案设计，可以凭借其极具动态艺术特征的画面涵盖大量的视觉信息，达到手工几乎高不可及的艺术效果。此外，分形图形用于包装图案设计，还可以凭借图形本身的丰富性和变化特征，激发和释放设计师的创作灵感，引发其深入的创造性联想和思维活动。

4.3 分形在纺织品图案设计中的应用

分形图形凭借其使人耳目一新的设计优势，为纺织品图案设计带来了新的设计元素和设计思维。具体而言，利用分形原理和复平面分形系统产生的图案可以广泛应用于服装、服饰以及床上用品等各领域纺织品的设计，这种设计技术不仅可以获得品类丰富的花型和样式，缩短设计周期，还可以为纺织品及其下游产业创造出无可限量的发展空间。就纺织品图案设计而言，在投入生产时，分形图案首先要转化为花版的形式，然后将这些形式输入到控制器，然后根据不同的色彩进行分层分类储存，形成花版数据库，从而实现从设计构思到输入输出的自动化。由此可见，分形图形在纺织品图案设计中的大量应用，必将促进纺织品图案设计水平的迅速提高，从而为纺织业带来美好的发展前景。图2是基于Storm—Julia分形集进行内外部同时着色算法，并对其中的部分参数进行适当调整形成的分形图案，具有极强的装饰性特征，可以用于布包等丝织品的图案设计，具有良好的装饰性特征。

图2 分形纹样设计图

5 结语

在人类社会产生初期，科学与艺术之间具有十分密切的联系，两者同时产生并统一为一个有机整体，这种统一一直延续到文艺复兴时期，当时许多的艺术家也是科学家。此后，随着科学与艺术的逐步向精深化和复杂化发展，艺术和科学逐步分离。然而，计算机技术的诞生和发展为科学和艺术的再次携手提供了桥梁，分形图形就是上述携手的成果和见证。分形图形基于其独特的生成方式和艺术特征，可以广泛应用于装饰、服装、纺织、广告等行业的图案设计，有着十分广阔的发展前景。当然，要实现上述目标，需要科学家和艺术家共同携手投入该领域的研究，不断拓展分形图形的应用范围，实现科学与艺术的完美融合。

[参考文献]

[1]李润珍,武杰.分形几何的创立与复杂性研究——纪念波努瓦·芒德勃罗诞辰90周年[J].自然辩证法研究,2014,30(07):89-95.

[2]代沛涵,杨旭红.分形图案的归类及其在纺织品设计中的应用[J].现代丝绸科学与技术,2015,30(01):6-8.

[3]李再博,高莹莹.基于分形图的产品装饰设计与应用[J].设计,2016,(09):120-121.

[4]杜冰.从艺术视角浅析分形图案的价值[J].美术教育研究,2012,(12):91.

[5]惠红梅.分形艺术在平面图案设计中的应用分析[J].价值工程,2011,30(21):143.