联合分析法与综合法解决证明问题

高慧明

综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.这种证明方法叫做综合法.

对于综合法大家并不陌生， 实际上初中的平面几何题大多就是用综合法加以证明的.

特点：由因导果，综合法可用框图表示为：

P？圯Q1 → Q1？圯Q2 → Q2 ？圯Q3 →…→ Qn？圯Q

证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，即使Q成立的充分条件P1.为了证明P1成立，再去寻找P1成立的充分条件P2；为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件…，直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

求证：■≥■（a>0，b>0）.

要证 ■≥■，只需证a+b ≥2■，

只需证a+b- 2■≥0，只需证（■-■）2≥0.

由于（■-■）2≥0显然成立，因此原不等式成立.

这就是分析法.

分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.

特点：逆推证法；执果索因. 框图表示：

Q？坩P1 → P1？坩P2 → P2？坩P3 →…→ 得到一个明显成立的条件

应用举例：

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.

既然综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”，那么在证明过程中，就可用分析法寻找思路，用综合法表达. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 值得注意的是分析法也是思考问题的一种基本方法，在已知和未知之间的关系不明朗时可以通过从结论出发探究问题的思路.学科网

例1. 设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2.

证明：（用分析法思路书写）

要证 a3+b3>a2b+ab2成立，

只需证（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立，

即需证a2-ab+b2>ab成立.（∵a+b>0）

只需证a2-2ab+b2>0成立，

即需证（a-b）2>0成立.

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以（a-b）2>0显然成立，由此命题得证.

（以下用综合法思路书写）

∵ a≠b，∴ a-b≠0，∴（a-b）2>0，即a2-2ab+b2>0，

亦即a2-ab+b2>ab.

由题设条件知，a+b>0，∴（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b），

即a3+b3>a2b+ab2，由此命題得证.

例2. 若实数x≠1，求证：3（1+x2+x4）>（1+x+x2）2.

证明：（综合法）

3（1+x2+x4）-（1+x+x2）2

=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3

=2（x4-x3-x+1）=2（x-1）2（x2+x+1）

=2（x-1）2[（x+■）2+■].

∵ x≠1，从而（x-1）2>0，且（x+■）2+■>0，

∴ 2（x-1）2 [（x+■）2+■]>0，

∴ 3（1+x2+x4）>（1+x+x2）2.

讨论：若题设中去掉x≠1这一限制条件，要求证的结论如何变换？

例3. 已知a，b∈R+，求证aabb≥abba.

证明：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行. （综合法）

1）差值比较：注意到要证的不等式关于a，b对称，

不妨设a≥b>0，从而原不等式得证.

∵ a-b≥0，

∴ aabb-abba = abbb（aa-b-ba-b）≥0.

2）商值比较：设a≥b>0，

∵ ■≥1，a-b≥0， ∴ ■=（■）a-b≥1.

故原不等式得证.

注：1.比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号；

2.无论用分析法还是综合法， “变形”是解题的关键，是最重一步. 因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.

例4. 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：△ABC为等边三角形.

分析：将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B= A+C；A，B，C为△ABC的内角，这是隐含条件，明确表示出来就是 A+ B+ C=？仔；a、b、c成等比数列，转化为符号语言就是b2=ac.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.

证明：由A，B，C成等差数列，得2B= A+C，又A+ B+ C=？仔，所以B=■.

由a、b、c成等比数列，得b2 =ac.

由余弦定理得b2 =a2+c2-2accosB=b2=a2+c2-ac.

所以a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0，a=c，从而A=C.

所以A=B=C=■.

所以△ABC为等边三角形.

说明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转化成符号语言，或把符号语言转化成图形语言等.还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来.

例5. 已知a，b>0，求证：a（b2 +c2）+b（c2+a2）≥4abc.

证明：∵ b2 +c2≥2bc，a>0，∴ a（b2 +c2）≥2abc.

同理 b（c2+a2）≥2 abc，∴ a（b2 +c2）+b（c2+a2）≥4abc.

变式：已知a，b>0，求证：（ab+c2）（a+b）≥4abc，如何证明？

例6. 证明：■+■<■+■.

分析：本题直接入手困难，但可以去掉根号，证明变形后的不等式成立即可.

证明：欲证：■+■<■+■.

只需证：（■+■）2<（■+■）2.

即9+2■<9+2■.

只需证■<■.

只需证14<18.

而14<18显然成立.

∴ ■+■<■+■.

说明：1. 用分析法证明不等式时，省略掉“要证明”和“只需证明”的字样是错误的；

2. 在本例中，如果我们从“14<18”出发，逐步推退回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“14<18”入手，所以用综合法比较困难.

证法2：由上面证法，可以构造出所要证明的不等式.

∵14<18，∴ ■<■，即9+2■<9+2■.

故（■+■）2<（■+■）2，∴ ■+■<■+■.

证法2用的是综合法，它刚好是分析过程的逆过程.

说明：事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出成Q′立，就可以证明結论成立.

例7. 已知a≥2，求证：■-■<■-■

证明：要证■-■<■-■，

只需证■-■<■-■，

只需证2a-1+2■■<2a-1+2■■，

即证■■<■■，

只需证（a+1）（a-2）<（a-1）a，

即证a2-a-2

只需证-2<0.

因为-2<0显然成立.

所以■-■<■-■.

可以用综合法叙述.

例8. 已知？琢，？茁≠k？仔+■，k∈Z，且sin？兹+cos？兹=2sin？琢

……①，sin？兹·cos？兹=sin2？茁……②

求证：■=■.

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现？兹，因此第一步工作可以从已知条件中消去？兹.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系（sin？兹+cos？兹）2-2sin？兹·cos？兹=1，于是可得4sin2？琢-2sin2？茁=1. 把4sin2？琢-2sin2？茁=1与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论转化为cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁）再与4sin2？琢-2sin2？茁=1.比较，发现只要把cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁）中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.

证明：因为（sin？兹+cos？兹）2-2sin？兹cos？兹=1.

所以可得4sin2？琢-2sin2？茁=1. ……③

另一方面，要证■=■，

即证■=■，

即证cos2？琢-sin2？琢=■（cos2？茁-sin2？茁），

即证1-2sin2？琢=■（1-2sin2？茁），

即证4sin2？琢-2sin2？茁=1由于上式与③相同，于是问题得证.

说明：（1）用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：

P？圯P1 → P1？圯P2 →…→ Pn ？圯P′ ←…← Q2？圯Q1 ← Q1？圯Q

Q′？圯Qm

（2）在解决问题过程中，通常用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.

例9. 已知函数f（x）=2sin■cos■-2■sin2■+■.

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；

（2）令g（x）=f（x+■），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由.

分析：本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，解题的基本方法就是综合法.将三角函数式化为一个角的一个三角函数.

解析：（1）∵ f（x）=sin■+■（1-2sin2■）=sin■+■cos■=2sin（■+■）.

∴ f（x）的最小正周期T=■=4？仔.

当sin（■+■）=-1时，f（x）取得最小值-2；当sin（■+■）=1时，f（x）取得最大值2.

（2）由（2）知f（x）=2sin（■+■）.又g（x）=f（x+■）.

∴ g（x）=2sin[■（x+■）+■]=2sin（■+■）=2cos■.

∵ g（-x）=2cos（-■）=2cos■=g（x）.

∴ 函数g（x）是偶函数.

例10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2■，∠PAB=60° .

（1）证明AD⊥平面PAB；

（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；

（3）求二面角P-BD-A的正切值.

分析：（1）根据演绎推理的三段论模式，根据有关的已知定理进行推证，注意转化的思想；

（2）也得根据异面直线的角的定义这个大前提，作出两异面直线所成的角，再进行求解；

（3）根据二面角的定义，作出二面角的平面角，再进行具体的计算.学科网

（1）证明：在△PAD中，由题设PA=2，AD=2，PD=2■，可得PA2+AD2=PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB=A，所以AD⊥平面PAB.

解析：（2）由题设，BC∥AD，所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.

在△PAB中，由余弦定理得：

PB=

■=

■.

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB？奐平面PAB，所以AD⊥PB. 因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tan∠PCB=■=■.

所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为■.

（3）过点P作PH⊥AB于H，过点H作HE⊥BD于E，连结PE.因为AD⊥平面PAB，PH⊥平面PAB，所以AD⊥PH.又AD∩AB=A，因而PH⊥平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知BD⊥PE.从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.

由题设可得. PH=PA·sin60°=■，AH=PA·cos60°=1，BH=AB-AH=2，BD=■=■，HE=■·BH=■.

于是在Rt△PHE中，tanPEH=■=■.

所以二面角P-BD-A的平面角的正切值为■.

注：当然此题除了利用这种几何方法处理，也可以使用向量方法处理，实际上高中数学试题中的绝大多数题目都是通过综合法解决的， 综合法是最广泛的一种解决问题的方法.

题组练习：

1. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

2. 设a， b， c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：c2-a2-b2+4ab≥4■S.

3. A，B为锐角，且tanA+tanB+■tanAtanB=■，求证：A+B = 60°.

答案简析：

1. 提示： 设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为■，截面积为 ？仔（■）2，周长为 l的正方形边长为 ■，截面积为（■）2，问题只需证： ？仔（■）2>（■）2.

2. 略证：正弦、余弦定理代入得：-2abcosC+4ab≥2■absinC，

即证：2-cosC≥2■sinC，即：■sinC+cosC≤2，即证：sin（C+■）≤1（成立）.

3. 提示：计算tan（A+B）.