不等式选讲高考复习策略

袁海军

在新课标高考考试说明中，不等式选讲高考命题属于二选一选考题，分值为10分.通过近五年高考来看，无论文理科，选考内容题型都相对稳定，难度中档，重点考查含有绝对值的不等式的解法，含有绝对值函数的图像与性质及相关不等式的最值问题，考查利用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力.

不等式选讲的内容包括：不等式的基本性质和基本不等式、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式.应用方面：1. 会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用均值不等式、绝对值不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值.

2. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.

在2018年数学高考中，有关不等式选讲的主要考点有哪些？本人谈谈个人看法，希望对大家把握高考命题方向有所帮助.

一、含有绝对值不等式的图像与解法

题型一：解绝对值不等式|x-a|+|x-b|c（c>0）

例1. 解不等式|2x-1|+|x+2|<4.

解析：如何去掉绝对值符号呢？利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.

（1）当x<-2时，得-（2x-1）-（x+2）<4，即得x>-■，此时不等式无解；

（2）当-2≤x≤■时，得-（2x-1）+（x+2）<4，即得x>-1，此时-1

（3）当x≥■时，得（2x-1）+（x+2）<4，即得x<1，此时■≤x<1.

综上所述：原不等式的解集为（-1，1）.

注意：上面各式取交集即可.

题型二：解绝对值不等式|x-a|+|x-b|f（x）

例2. 已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3.

（1）当a=-2时，求不等式f（x）

（2）设a>-1，且当x∈[-■，■] 时，f（x）≤g（x），求a的取值范围.

解析：对于含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法分类讨论，构造相对应的分段函数，利用函数图像性质求解，体现了函数与方程和数形结合思想.

（1）当a=-2时，不等式f（x）

设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3，则

y=-5x，x<■-x-2，■≤x≤13x-6，x>1？圯其图像如右图所示，

从图像可知，当且仅当x∈（0，2）时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0

（2）当x∈[-■，■] 时， f（x）=1+a. 不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3.

所以x≥a-2对x∈[-■，■]都成立，故-■≥a-2，即a≤■.

从而a的取值范围为（-1，■].

点评：在绝对值不等式的解法中，|x|a的解集是（-∞，-a）∪（a，+∞），它可以推广到复合型|ax±b|c）和|ax±b|< f（x）（或“>”）的解法，还可以推广到含有两个绝对值符号的不等式，例如|x-a|+|x-b|c”）型，此类不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.

巩固训练1. 若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|

解析：利用绝对值不等式的性质进行求解.

不等式|x-5|+|x+3|

因为|x-5|+|x+3|≥|（x-5）-（x+3）|=8，所以a≤8.

二、含有绝对值不等式中的最值和参数范围问题

例3. 已知f（x）=|x+a|（a∈R）；

（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[-3，-1]，求a的值；

（2）若？坌x∈R，若不等式f（x）+|x-a|≥a2-2a恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12-2a）x+9-a2≤0，

可得-1，-3是方程3x2+（12-2a）x+9-a2=0的两个根，

所以■=-4，■=3解得a=0.

（2）因为f（x）+|x-a|=|x+a|+|x-a|≥|（x+a）-（x-a）|=2|a|，

所以要使不等式f（x）+|x-a|≥a2-2a恒成立，只需2|a|≥a2-2a.

∴当a≥0时，2|a|≥a2-2a解得0≤a≤4.

当a<0时，-2a≥a2-2a此时满足条件的a不存在.

综上可得实数a的范围是0≤a≤4.

巩固训练2. 已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a>0）.

（1）当a=1时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围.

解析：（1）当a=1时，得2|x-1|≥1，∴|x-1|≥■，解得：x≥■或x≤■.

所以不等式的解集為（-∞，■]∪[■，+∞）.

（2）∵原不等式解集为R，

∴ |ax-1|+|ax-a|≥1对一切实数x恒成立.

又∵ |ax-1|+|ax-a|≥|（ax-1）-（ax-a）|=|a-1|，

∴ |a-1|≥1，解得a≥2或a≤0，

又∵ a>0，∴ a≥2.

三、有关不等式恒成立问题

例4. 已知函数f（x）=|2x-a|+a，a∈R，g（x）=|2x-1|.

（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求a的最大值；

（2）若当x∈R时，恒有f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.

解析：（Ⅰ）g（x）≤5？圳|2x-1|≤5？圳-5≤2x-1≤5？圳-2≤x≤3；

f（x）≤6？圳|2x-a|≤6-a？圳a-6≤2x-a≤6-a？圳a-3≤x≤3.

依题意有，a-3≤-2，a≤1.

∴ a的最大值为1.

（Ⅱ）f（x）+g（x）=|2x-a|+|2x-1|+a≥|2x-a-2x+1|+a≥|a-1|+a，

当且仅当（2x-a）（2x-1）≥0时等号成立.

解不等式|a-1|+a≥3，得a的取值范围是[2，+∞）.

点评：含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法：1.“分离参数法”：运用“f（x）≤a恒成立？圯 f（x）max≤a，f（x） ≥ a恒成立 ？圯 f（x）min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.

2. 数形结合法：在研究不等式f（x）≤g（x）恒成立问题时，若能作出两个函数的图像，通过图像的位置关系可直观解决问题.

四、不等式的证明

题型一：用分析法、综合法证明不等式

例5. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=9，證明：

（1）ab+bc+ca≤27； （2）■+■+■≥9.

证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得（a+b+c）2=81，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=81，

所以3（ab+bc+ca）≤81，即ab+bc+ca≤27. 当且仅当“a=b=c ”时等号成立.

（2）因为■+b≥2a，■+c≥2b，■+a≥2c，当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立.

故■+■+■+（a+b+c）≥2（a+b+c），即■+■+■≥a+b+c.

所以■+■+■≥9.

点评：用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法即“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，综合法是分析法的逆过程，表述简单，条理清晰.它们通常结合起来运用，先以分析法寻求解题思路，再利用综合法表述解答或证明过程.此外，对于应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”同时成立的条件，还要掌握公式的正用、逆用和变形技巧.

题型二：数学归纳法、放缩法证明不等式

例6. 用数学归纳法证明不等式：

■+■+■+…+■>1（n∈N*，且n>1）.

证明：（i）当n=2时，■+■+■=■>1成立.

（ii）假设当n=k（k≥2）时，命题成立.

即■+■+■+…+■>1，则当n=k+1时，

■+■+…+■+■+…+■=（■+■+■+…+■）+■+…+■-■>1+■-■=1+■=1+■>1.

由（i）（ii）可知命题对一切大于1的自然数成立.

点评：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于证明与正整数有关的命题.证明过程的表述要求严谨而且规范，两个步骤缺一不可.尤以第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”，证明中一定要用到归纳假设.此法常与放缩法相结合，需要考生进行合理放缩才有效.

题型三：柯西不等式证明不等式或求最值

例7. 求函数y=5■+■的最大值.

解析：函数的定义域为[1，5]，且y>0由柯西不等式得

y=5×■+■×■≤■×

■=■=6■.

当且仅当■■=5■时，取“=”，即x=■时函数取最大值6■.

例8. 设x+y+z=1，求M=2x2+3y2+z2的最小值.

解析：由柯西不等式可知：

∵1=（x+y+z）2=（■·■x+■·■y+1·z）2≤（■+■+1）（2x2+3y2+z2），

∴M=2x2+3y2+z2≥■， 当且仅当■=■=■，且x+y+z=1，即x=■，y=■，z=■时，M有最小值为■.

点评：1. 用柯西不等式证明时，一般需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，然后根据柯西不等式的结构特征进行证明. 2. 利用柯西不等式求最值的一般结构为（a12+a22+…+■）（■+■+…+■）≥（1+1+…+1）2=n2. 在使用柯西不等式时，要注意右边为常数和等号成立的条件. 一定要切记检验.

以上例举了不等式选讲的高考命题考点及题型，近五年都是第24题位置，属于重点得分题.我们需要切实掌握其基本知识和基本方法，还要加强计算能力的训练提升，充分利用分类讨论、数形结合思想准确求解，在高考中拿下这一题的分数.

（本文系福建省教育科学“十三五”规划2017年度立项课题《基于数学核心素养的解题教学实践研究》（立项号FJJKXB17-206）阶段研究成果）