立足课堂合作学习教学，培养学生数学核心素养

黎隽

[摘 要] 数学课堂教学是师生共同探究数学问题、锻炼数学思维、养成数学核心素养的主阵地，合作学习是久经论证与考验的一种高效的学习方法，而核心素养是新一轮课改直接的教育目标指向. 如何立足课堂，运用合作学习，实现培养学生的数学核心素养，本文略阵管见.

[关键词] 课堂教学；合作学习；数学核心素养？摇

在过去十余年的课改大环境里，在数学教学实践中，教师多以三维目标的实现来设计教学，同时，在传统的教学理念里，合作学习这一学习形式也没有得到应有的重视. 新一轮课改即将开始，随着“核心素养”这一教学指标的提出，毋庸置疑，如何将数学核心素养的培养落实到具体的数学教学细节中去，从而实现公民核心素养的培养，将是每一个数学教育工作者应该思考并实践的问题.

数学学科核心素养的界定

数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它属于公民的文化素养范畴，主要指主体通过数学的学科学习和实践活动而获得的技巧或能力. 从我国当前对学生核心素养的研究文献中，我们可以清楚发现数学素养为学生文化修养的重要组成部分. 要成为一位合格的21世纪公民，从文化层面上讲，它要求学生理解基本的数学概念和原理，具备一定的抽象和推理能力；能针对实际问题进行数学建模，并能利用直观想象、数据分析和数学运算等技能解决简单的实际问题；会用数学语言表达和交流，具有良好的数学思维习惯. 具备数学核心素养的人通常在数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算及数据分析等方面表现出较强的能力. 鉴于数学核心素养表现出来的主要特点，参考相关专家、课题组的研究成果，可以将数学学科核心素养的内容概括为六个方面的核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算及数据分析.

课堂合作学习模式的构建

合作学习（cooperative learning）是目前世界上普遍被采用的一种学习方法，其学习效率可以说久经论证与验证. 在这里，我们认为，凡是以教育心理学、认知心理学、现代教育技术学为理论基础，以问题的探究与解决为教学目标，以师生合作、生生合作、师师合作为合作教学的基本模式，以小组活动或全员互动活动为基本教学形式的一系列教学活动，都可称之为合作学习. 那么，作为一位数学教师，如何去设计一节合作学习的课堂，才能更好地落实学生核心素养的培养呢？经过课题组的研究、实践与总结，下面提供一种数学课堂合作学习浸润学生数学核心素养的模式，以供广大数学教育工作者参考.

该模式旨在数学课堂教学中，教师以数学问题为主题设计教学，以合作学习形式组织教学. 课堂上，教师通过组织学生合作探究解决问题，在合作学习过程中实现培养学生数学核心素养的教学目标. 此模式的主要阵地是课堂，学生是课堂的主体，教师作为组织者、引导者和参与者. 它主要包括以下四个环节的设计.

1. 明确核心素养渗透点，确定核心问题，着力教学设计

教师首先针对教学重点、难点了解一节课的教材内容存在哪些学科核心素养渗透点，然后根据核心素养渗透点确定好一节课的核心问题. 核心问题犹如射击的靶心，它是一节课的目标与方向的设计依据，核心问题的确立不仅要建立在对教材与大纲的理解上，更要建立在教师对该内容所蕴含的学科核心素养的理解上.

关于核心问题的确定，一般可以将课开型设计为单核课堂或双核课堂，即一节课有一个核心问题或两个核心问题. 比如概念教学，为了让学生对概念的定义及理解有充分的时间去合作学习与思考，加深认识便于运用，一般可设计成单核课堂；而定理公式教学，一般可设计成双核课堂，即课堂由定理、公式的推导证明和应用解题两个核心组成. 当然，组织合作学习要有效可行，教师还需提前对学习者特征进行分析，了解学生的现有水平与实际情况. 理论上，学生的现有数学学习水平决定设计核心问题的难易多寡，只有这样才可以实现有效的合作学习，达到渗透培养学生数学核心素养的目标.

2. 主导课堂，引导学生利用合作学习的形式探求核心问题的方法

核心问题的解决意味着一节课重点的落实及难点的突破，所以此环节至关重要. 教师根据设计核心问题的不同，可引导选择不同的探求方法，比如给出思路引导自主学习、利用学习小组组织合作探究、限时训练加即时互评等. 教师在备课时，此环节要备好常规方法，同时对学生合作学习中探究出的未知方法，教师也要有心理上的准备，适时给学生以表演的舞台，让核心问题的处理变得更加灵活与开阔.

3. 在核心问题解决之后，组织交流和分享学习方法、体会的活动

“你有一个苹果，我有一个苹果，我们交换彼此还是各有一个苹果；你有一种思想，我有一种思想，我们交流思想，便各自拥有两种思想.”倘若在一节课的核心问题得到解决后，教师能再给出时间，让学生进行自主地分享与交流，这种合作学习的环节所产生的学习效率必定事半功倍. 本环节可视为课堂小节，它可以由教师组织学生进行自主小結课堂所得，也可以由教师根据课堂重点进行点评，总结一节课问题的通常解法及注意事项. 不管哪一种形式，教师都要注意在对一节课画龙点睛的同时，不忘评价学习小组的合作学习表现或引导学习小组成员对一节课的表现进行组内自我评价，师生交流与分享，给学生提供发现问题和不断进步的机会.

4. 布置课外合作作业，促进学生课外合作学习，在课外浸润公民数学核心素养

课外作业是课堂学习的延伸，是检验学生学习效果的重要手段，也是促进学生形成学科素养的重要环节，所以适当适时地布置学习小组在课外合作完成适量的作业，是课外合作学习模式的向导与前奏，对合作学习的效能具有极其重要的意义与作用. 本环节不可或缺.

综上四个环节可用以下图表清晰地概括出来：

课题组成员经大量的教学实践尝试，我们发现，该模式更强调合作学习方法的灵活运用与培养学生核心素养目标的实现，是目前较好的一种合作学习的课堂教学模式. 以下是一节数学课堂教学实例片段，在教学实践中，教师以恰当的方式去主导课堂，完成教学任务的同时，浸润了学生的数学核心素养，取得了较好的教学成果.

立足课堂合作学习教学，培养学生数学核心素养的课堂教学实例

高一数学必修四第三章第一节

《两角差的余弦公式》教学案设计

1. 课例设计理念？摇

本节课内容为人教版必修四第三章第一节，其教学任务是通过已知的平面向量和三角函数的知识，探索推导出两角差的余弦公式，并通过简单地运用，使学生初步理解公式的由来、结构、功能及其运用，一课时完成. 三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，也是前面所学知识的继续与发展，其核心素养渗透点为：逻辑推理和数学运算.

2. 学习者分析

（1）学生已经学习了平面向量和三角函数的知识，从日常教学所反映的学生特点来看，学生对类比和分类讨论的思想有所体会，但是认识比较肤浅，还不能真正灵活地运用. 同时，学生对推理证明也有一定的基础，但还不能用严格的定义去证明，此时是培养学生推理能力的一个契机.

（2）在学习方式上，高一学生不太喜欢老师单独说教，希望老师创设合作学习的环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会；希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，而小组合作学习交流，恰能使他们获得施展自己才能的空间.

3. 合作学习导学设计思路

（1）核心问题：两角差的余弦公式的证明及运用.

（2）学习目标：在教学过程中培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力.

（3）学习形式：小组合作、师生合作学习.

（4）教学重点：两角差的余弦公式及公式的灵活应用；

教学难点：余弦公式的探索、推导和证明.

（5）学习过程

①问题引入（3分钟）

教师引入：大家都已经知道，cos45°=，cos30°=，而cos15°=cos（45°-30°），大家猜想一下，cos15°等于多少呢？容易证明猜想是错误的，也就是不会等于cosα-cosβ.

教师问：那么会是多少呢？

设计意图：通过问题的提出，吸引学生的兴趣，鼓励学生小组讨论，大胆地进行猜测. 在与学生的交流中，让学生体验如何用反例进行反驳，同时搞清错误的原因，避免以后犯类似的错误，培养学生逻辑推理素养.

②探究新知（17分钟）

A. 通过几何画板，观察，比较，发现，提出正确猜想：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

B. （学生拿出小纸片，小组合作，在圆上做出角θ=α-β）

探究1：如何用角α和β的正弦与余弦值来表示cos（α-β）？

探究2：运用三角函数线探索cos（α-β）的表达式.

归纳：我们发现，通过割补法很难得出两角差的余弦值，那现在应该如何考虑？由于该方法的证明耗时多，在课堂上不宜探究证明，引导留至课外作业进行合作探究，让学习延伸课外.

探究3：能否利用向量的方法探究cos（α-β）公式？

设计意图：引导学生关注两个向量的夹角θ与α-β的联系与区别，让学生通过观察，联想到α，β的终边与单位圆的交点分别为A（cosα，sinβ），B（cosβ，sinβ），同时发现cosθ=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ.

这是合作学习浸润学生推理素养的重要环节，所以本环节一定要充分发挥学习小组合作学习的作用，要给学生充分的时间进行合作交流，以培养学生在合作学习中的推理能力.

C. 得出新知：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

③巩固提升（10分钟）

略.

设计意图：公式证明结束之后，紧接着应对公式的运用进行巩固，最好的办法就是运用实例进行演练. 在这里，教师主要通过两个既简单又具代表性的题目对公式的应用进行巩固，效果很好，还可以加入例题的变换条件，如由差角到和角的变换，让学生理解和差角本质一致性的内涵，在拓展学生思维的同时，培养学生的数学抽象、数学运算等核心素养.

④课堂小结（5分钟）

A. 知识点：

cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.

B. 思想方法：探索問题时从特殊到一般，再从一般回到特殊；公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明；类比的思想；分类讨论的思想.

设计意图：本环节要特别注意组织学生进行交流，分享自己的学习所得，锻炼学生表达能力的同时，养成学习的自信. 对于一堂课的总结，应该从知识和方法这两方面进行，特别是方法上的总结，对学生今后的发展及自学能力的培养是至关重要的. ？摇

⑤布置作业

略.

设计意图：此环节要顾及学生的差异，设置选做题，针对学生素质的差异进行分层训练，能使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高. 同时要注意布置自主作业和课外合作学习作业，使课堂合作学习在课外得到延续，也使合作学习有充足的时间与空间，为培养学生的学科核心素养提供必要条件.