反应扩散方程组不变区域的应用*

王庆庆

(华北电力大学数理学院，北京 102206)

1 问题的提出

考虑一般的反应扩散系统

(1)

其中：ε>0；Ω为R中的开区间；D(x,t)和M(x,t)均为定义在开子集U×V⊂Rn×Ω上的矩阵值函数，D≥O；v和f为U×R+到Rn的光滑映射.J Smoller[1]给出了方程组(1)的解的存在性判定性质：

引理1假设B是可容许的巴拿赫空间，v0(x)∈B,若0≤t≤T≤+∞，解的L∞模先验有界，则方程组(1)的解对于∀t(0≤t≤T)存在且v(x,t)∈B.

为了利用引理1判定反应扩散方程的解的整体存在性，引入不变区域的相关理论[1-3]：

定义1闭集Σ(Σ⊂Rn)称为方程组(1)的解v(x,t)的(正)不变区域，如果v(x,t)的初值和边界条件均属于Σ，且对于∀(x,t)∈Ω×(0,T]，满足v(x,t)∈Σ.

J Smoller[1]和K Chueh等[2]指出，不变区域Σ可由“半空间”的交集组成，即

(2)

其中Gi(v(x,t))为定义在Rn中开集U到R的光滑函数，且dGi(v(x,t))≠0(i=1,2,…,n).

不变区域本质上是给出解的L∞模先验有界，因此寻找方程组的不变区域对于研究解的整体存在性具有重要意义.

2 主要结果及其证明

引理2假设Σ由(2)式定义，若对于∀t∈R+和每一个v0(x)∈∂Σ(对i有Gi(v0(x))=0)，以下条件成立：

(ⅰ) 对于∀x∈Ω，dGi(v(x,t))在v0处是D(v0(x),x)和M(v0(x),x)的左特征向量；

(ⅱ) 若dGi(v0(x))D(v0(x),x)=μdGi(v0(x))，μ≠0，则Gi(v(x,t))在v0(x)处拟凸；

(ⅲ) 对于∀t∈R+，在v0(x)处有dGi(v0(x))·f(v0(x),t)<0.

则对于每一个ε>0，Σ是方程组(1)的不变区域.

证明见文献[1].

注1若方程组(1)是f稳定的，则引理2的条件(ⅲ)可放宽为：

(ⅳ)对于∀t∈R+，在v0(x)处有dGi(v0(x),t)·f(v0(x),t)≤0.

证明取Gi(v(x,t))=vi(x,t)-bi，则dGi(v(x,t))=(0,0,…,1,0,…,0)(第i个分量为1).因为D和M都是对角矩阵，所以dGi(v(x,t))是D和M的左特征向量.存在η(η∈Rn)，如果dGi(v(x,t))·η|vi(x,t)=bi=0，那么ηTd2G(v(x,t))η|vi(x,t)=bi=0，因此Gi(v(x,t))在vi(x,t)=bi处是拟凸的.又因为dGi(v(x,t))·f(v(x,t),t)|vi(x,t)=bi<0，所以Gi(v(x,t))=vi(x,t)-bi≤0，即vi(x,t)≤bi是方程组(1)的不变区域.再取Gi(v(x,t))=ai-vi(x,t)，同理可证明vi(x,t)≥ai也是方程组(1)的不变区域.

3 应用实例

例1Tyson模型是Belousov-Zhabotinsky化学反应中的一个典型模型，J J Tyson[4]和徐世英等[5]对其进行了详细的描述.Tyson模型的数学表达式为：

(3)

其中：u和v分别为化学反应中催化剂和反应物的浓度；0<ε≪1；0

Ut=DUxx+F(U).

(4)

另外，因为D是对角矩阵，M=O,所以可以应用定理1寻找方程组(3)的不变矩形.令Σ={(u,v):0≤u≤a,0≤v≤b}，1

注意到(-1,0)是D的左特征向量，令G(u,v)=-u，则

所以-u=G(u,v)≤0，即u≥0.相似地，令G(u,v)=-v，则

dG(u,v)·F(U)|v=0=-(u-v)|v=0=-u≤0，

所以v≥0.再令G(u,v)=u-a，则

所以u≤a.最后令G(u,v)=v-b，则

dG(u,v)·F(U)|v=b=u-v|v=b=u-b≤a-b<0，

所以v≤b.以上计算表明Σ是(4)式的不变区域.同理，可以构造出任意大的不变区域.根据引理1，只要保证方程组(3)的初值在可容许巴拿赫空间内，带此初值的Tyson模型对于∀t>0就存在整体解.

例2[6-7] 生物学中描述形态形成的一个反应扩散方程组为：

(5)

其中：a,δ,Y>0；u，v分别为活化剂和抑制剂的浓度.

Ut=DΔU+F(U).

(6)

图1 反应扩散方程组不变矩形Fig.1 Invariant Rectangle of Reaction-Diffusion System

接下来，利用几何构造的方法寻找(6)式的不变矩形，如图1所示.图1中绘制了向量场F(U)的零集合，“+”和“-”为F(U)中各函数在其零集合边上的符号.构造矩形ABCD,其中AB边和CD边平行于v轴，AD边和BC边平行于u轴，并且满足

δu-Yv|AD<0，δu-Yv|BC>0，

au-u3-v|AB>0，au-u3-v|CD<0.

若取Σ为矩形ABCD，则在∂Σ上F(U)严格指向Σ内部，满足定理1;因此Σ是方程组(5)的不变矩形.同理，可以构造任意大的不变矩形，只要保证方程组(5)的初值在可容许巴拿赫空间内，带此初值的方程组(5)就存在整体解.

由实例可以看出，寻找反应扩散方程组的不变区域为研究整体解的存在性提供了条件.另外，在利用比较定理时，不变区域提供了解的先验估计，在分析解的渐近行为等方面发挥着重要的作用.

参考文献：

[1] SMOLLER JOEL.Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations[M].2nd Ed.New York:Springer,1999：278-280.

[2] CHUEH K N,CONLEY C C,SMOLLER J A.Positively Invariant Regions for Systems of Nonlinear Diffusion Equations[J].Indiana University Mathematics Journal,1977,26(2):373-392.

[3] 叶其孝,李正元.反应扩散方程引论[M].北京:科学出版社,1990：32-36.

[4] TYSON J J.Some Further Studies of Nonlinear Oscillations in Chemical Systems[J].Journal of Chemical Physics,1973,58(9):3 913-3 930.

[5] 徐世英,张 蕊,刘赵淼,等.一维Tyson反应扩散模型的数值分析[J].北京理工大学学报,1999,19(5):622-626.

[6] ROTHE FRANZ.Global Existence of Branches of Stationary Solutions for a System of Reaction Diffusion Equations from Biology[J].Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications,1981,5(5):487-498.

[7] ROTHE FRANZ.Global Solutions of Reaction-Diffusion Systems[M].New York:Springer,1984：129-130.