微积分总览

苟银霞

【摘 要】微积分是高等数学中研究函数的微分、积分及有关概念和應用的数学分支。主要包括极限、微分学、积分学。由于它的博大精深，以及现在市场、学校充斥着形形色色教材、习题，这样容易让初学者迷失方向，微积分是什么，主要解决什么等等一系列的问题更让人迷惑，因此给出微积分的总览是必要的。

【关键字】微分 积分 函数 思想。

一、微积分总览

众所周知，微积分在整个高等数学的占有相当重要地位，关于微积分的课本、习题集更是琳琅满目。基本上所有的教材降到微积分都是在重复古人无限细分取极限的思想，这样，就让学生听得满头雾水，其实，微积分就是研究两个成对函数之间的关系。

1.微积分的实质

在以下的例子中，我们设 表示路程（位移）， 表示速度，符号 也表示速度，用 表示平均速度。文中所指的积分在没有特殊说明的时候都是指不定积分。

若物体做匀加速运动，那么 、 之间的微积分关系是怎样的呢？

第一，分关系（已知 求 的过程，即已知位移求速度。）

根据物理知识，初速度为0的匀加速运动位移为 ，而 ，显然，运动过程中的平均速度为 ，在任一点处的瞬时速度 ，也就是说微分只关心瞬时情况，在数值上与平均变化率的极限相等。

第二，分关系（已知速度求位移）

设匀加速运动中，初速度 ，任意时刻的末速度为 ，则 与图2中曲线下方图形的面积相等。也就是说积分在某一时刻的值等于对应曲线下方图形的面积。

因此，我们不难得出，微分的本质是“无限细分”，积分的本质是“无限求和”。二者是互逆运算。

2.微积分的思想

在许多高等数学教材中，所呈现的是一套经过逻辑加工的完美数学体系，往往忽视了其中所隐藏的奥秘。微积分之所以重要，在于它所蕴含的数学思想与数学方法，两者相辅相成，缺一不可。

第一，“极限思想”。极限的思想出现在微积分里是必要的，因为我们要用代数去衡量“无限”的量本身是无法实现的，只有借助极限的思想，才能够把“无限”的量代数化，在微积分里我们不难看到以下几个事实，一是，增量无限趋于0；二是，割线无限趋于切线；三是，曲线无限趋于直线。这里面全都涉及到“极限思想”，可见，“极限思想”在微积分里的作用不可小觑。

第二，“以直代曲”的思想。在不定积分与二重积分的定义中，以曲线无限趋于直线，从而“以直代曲”，使得积分的计算得以实现，此外，定积分求曲线弧长、求几何体的体积的计算公式都是“以直代曲”的结果。“以直代曲”用线性化方法解决非线性化问题是微积分的另一精髓所在。值得指出的是并非任何情况下都可以“以直代曲”，根本原因在于在“以直代曲”的过程中，并不是用等价无穷小去代替的，在具体的问题中还需注意能不能转化。

第三，“有限化无限，无限化有限”。一是，通过有限认识无限，如无穷求和 ，我们假设有限项的部分和 ，用等比数列求和公式有 ，当 时有 ，因此，我们认为该无限项的和是1。二是，用无限确认有限，如曲边梯形的面积问题，面积是一个有限数，而我们采用的是无限细分的方法，把一个有限的量转化成了一个无限项和的形式，从有限到无限，进而求出它的精确值。

3.微积分的精髓

微积分作为高等数学的主要分支，是以函数为主要的研究对象，其中有很多著名的定理，如“罗尔定理”、 “柯西定理”、“拉格朗日中值定理”以及“微积分基本定理”等等一列系的定理推论。它们把函数、函数的导数、函数的积分联系起来，使三者可以互相转化，成为一个有机整体。

二、小结

微积分作为数学的主要分支，它的价值不在于掌握死板的知识理论，更重要的是理解其中所隐藏的奥秘——数学思想与数学方法，这些思想方法是在累积了前人大量成果的基础上慢慢沉淀、总结出来的。如何利用微积分在学习、生活中实现目标最大化、效果最优化才是重中之重。

参考文献

[1]刘里鹏.《从割圆术走向无穷小——揭秘微积分》，科技出版社，2009.

[2]蒋金弟.《高等数学教学中学生数学思维能力的培养》，文化与教育技术，2010.

[3]邵光华.《作为教育任务的数学思想与方法》上海教育出版社，2009