让学生欣赏数学中的美

周宏光

内容摘要： 本文用牛顿力学定律F=ma中的数学美作引子，先谈一组奇妙等式、两个数字黑洞的美妙，再谈数形结合中的数学美、体现在建筑中的数学美，用概率与统计例子看现实生活中横生的妙趣，最后用两个数理逻辑悖论体会数学中的美不可妙言。

关键词：欣赏 数学美

数学作为一种科学语言，是人类“现代文明”的重要组成部分，其重要性不言而喻。数学中包含的美无处不在，可以这样说，哪里有数学，哪里就有美。中学生熟知的F=ma，牛顿用一个数学公式，就把大自然中难以捉摸的力学现象，描述得那样的简洁、明了，进而推动了近代科学技术的大发展。我们可能体会不到牛顿发现这一伟大定律时内心对美的享受，但是一定能体会得到这一数学公式的美。自然科学中用数学推演、描述的事就太多、太多了，要说数学被誉为“科学之母”，在现代科技的发展中起着定海神针般的作用，一点也不夸张。

本文就从数学的角度探讨让学生欣赏数学中的美。

10个数字，构筑起一个无限真与美的王国，数学就是人造的宇宙。随着新课程的实施，审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中，人们不仅通过音乐、艺术，而且也通过自然美、社会美、科学美得到美的熏陶，美化精神境界。数学教学的目的之一，是应当培养学生对数学美的审美能力，这不仅有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于增长他们的创造发明能力。

一、奇妙的数字世界

请看下面这些有趣的等式：

122=144，换一下次序：212=441；

同样的数还有一串：1022=10404，2012=40401；

1122=12544，2112=44521；

1222=14884，2212=48841；

1132=12769，3112=96721；

还有更一般的形式：（100…02）2=100…04 00…04；

倒一下：（200…01）2=40…00 40…01

当学生们看到这些，会马上想到怎么这样美妙？这是为

什么？这种数究竟有多少？这种对称、和谐的“数学美”将很好地激发学生对数学学习的兴趣，埋下要探索的种子。还有更奇妙的“数学黑洞”精灵。 黑洞是物质密度极大，引力极强，任何物质（包括光线）经过它的附近，都要被它吸引进去，再也不能出来，因此它不发光，黑洞的名称由此而来。在数学中也有这种神秘的黑洞现象，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也逃不出去了，就像宇宙中的黑洞一样。

⑴123黑洞（即西西弗斯串）

数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，

例如，1234567890，

偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。

奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。

总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。

新数：将答案按 “偶-奇-总”的位序，排出得到新数为：5510。

重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。

重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。

结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。

（2）卡普雷卡尔黑洞（神奇的数字6174）

取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532-2358=6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。称之“黑洞”是指再继续运算，都重复这个数，“逃”不出去。把以上计算过程称为卡普雷卡尔运算，这个现象称归敛，其结果6174称归敛结果。

二、丰富多彩的图形世界

难以想象的是，看来严谨到近乎刻板的数学公式，竟然会与优美的几何图形（如曲线）相映成趣，交织成大自然一幅幅绚丽无比的图画。例如，公式C = 2лR，司空见惯的图形——圆，内含的周长与半径有着异常简洁、和谐的关系，一个传奇的数л把它们紧紧相连。河上架着的一座座桥，笔直地延伸不是省时又省力吗？可人们偏要修成“九曲桥”“拱形桥”，为的是它不仅合于力学原则，还有观赏价值。曲线不仅有柔和而流畅的外形，它还有丰富又深刻的内涵和意蕴——圆，完美无缺，无可非议；螺旋线蜿蜒伸拓，暗示着某种人生真谛；渐近线欲达而不能，激起人们不懈的追求。

比例与对称的数量关系，以其天造地设的美感令人叹为观止。“黄金分割”是最美、最巧妙的比例。世界上许多著名建筑的构图都融入了“黄金分割”的匠心。如，法国的巴黎圣母院、中国的故宫、希腊人建造的庄严肃穆的帕提侬神庙、埃及的胡夫金字塔等等。

几何图形的对称美成了造型艺术、建筑美学的基础。雪花的对称性就是大自然的杰作。在人类赖以生存的建筑群中，几乎处处都有美丽的对称形图案。古代皇宫中的壁画，无不含有极为壮丽的对称美。

三、妙趣横生的概率与统计

严谨的数学居然与游戏、赌博有密不可分的关系。为什么有的人买彩票能中大奖，而有的人却一无所获；抛一枚硬币，落下时正面朝上還是反面朝上，谁也没法回答；但大量重复上述实验，正面朝上与反面朝上的几率又各占一半，真是一个有趣的现象；轮盘赌博，扑克游戏充满了不确定性，而又有无比的吸引力，让许多人流连忘返；要对一批产品进行质量检验，可随机地抽取一部分样本进行检验，以此推断这批产品的质量情况；这种用样本估计总体的思想让人久久玩味，其乐无穷。同桌两人事先分别选定“奇数”和“偶数”，然后掷出两枚骰子，并依据骰子点数之和的奇偶来决定胜负，你说这个游戏对双方公平吗？这些问题，真是令人兴趣倍增。这难道还不美吗？

四、幽默的数理逻辑

n2+ n + 72491（n是自然数），以 n = 1，2，3，…代入都表示一个质数，那么一直无限代下去都对吗？不对，当 n 取 72490 时，代数式的值就成了一个合数。推理产生障碍，所以用此方法进行命题的一般性证明是靠不住的。然而，用“数学归纳法”就可以解决这一难题。“数学归纳法”以艺术般的结构布局，流畅的线条与鲜明的层次，令人信服地证明了一个又一个的“无限型命题”，充盈着无懈可击的推理美感。

然而，幽默的逻辑也会开人们的玩笑。有个“难题”称为“说谎者悖论”，困扰着形式逻辑世界长达2300多年。它具有最简单的形式：

⑴说谎者悖论：

“我说的这句话是谎话”———这是真话，还是谎话？

把它判作真话，则它是谎话。判作谎话呢？则它已申明了自己说谎话，因此成了真话。真话？则又成了谎话……这就是数学推理中的悖论，悖论中富有美妙、多样的情趣，极富幽默感。这是数学世界的喜剧。类似的例子还有很多。

⑵阿喀琉斯（Achilles）悖论

芝诺说，动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。

理由是追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离，因此被追者总是在追赶者前面。我们都知道动得最慢的物体迟早会被动得最快的物体追上，但是芝若说的又有那么一点道理。

虽然如柏拉图描述说， 芝诺这样的悖论， 是兴之所至的小玩笑，但其中的美妙太折也磨人的思维___这是怎么一事呀？

无数事实证明：当你以审美的视野转向数学世界时，一个巧思云集、群芳斗妍的科学“伊甸园”就呈现于你的眼前。数学始终是美的，简单美、统一美、对称美、秩序美奇异美等，无处不在，让学生欣赏数学中的美，它将激发学生对数学学科的喜爱，激发要去探索的冲动。