向量法在立体几何中的应用

董秋理

立体几何一直是高中数学的一个难点，解决这个难题的最好工具就是空间向量。向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式“双重身份”，具有线性运算、数量积，既有有向线段表达式，又有坐标表达式，是解决立体几何问题的一种重要工具，向量本身的这些特点决定了它与立体几何、解析几何、三角函数等内容的自然融合，是知识的“交汇点”。

一、平面法向量的坐标的求法

一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，推导平面法向量的方法如下：

在给定的空间直角坐标系中，设平面 的法向量 [或 ，或

]，在平面 内任找两个不共线的两向量 。由 ，得 且

，由此得到关于 的方程组，解此方程组即可得到 。如例2中求平面 的法向量。但是有时候并不能确定该设哪一个分坐标为 ，如果设得不合理，就会出现矛盾，这种情况是因为所求的法向量在某个坐标平面内或者平行某个坐标平面。所以一般情况还是先不赋予某个分坐标的值，待列出方程组后再根据实际需要赋值，而且不一定非得赋予1，其它数值也可以，只不过赋予1運算简便，但一般不赋予 ，以免出现 而矛盾。

例1， 在例1的条件下，求平面 的法向量和平面 的法向量

解：设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，

， ，由 即 解得 故 .

， ，由 即 ，令 ，则 .

平面 的法向量也可以从图中找一个垂直于该平面的向量，这里用解方程组的方法或得，只是为了举例说明求法向量的通法。另外，若设 则出现矛盾，故一般在列出方程组后根据实际需要再赋值。

二、空间向量在求解立体几何题中的应用举例

（一）空间向量在求空间距离中的应用

1.点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离

基本原理：如图，设 是平面 的法向量，点 是平面 外一定点，点 是 内任意一点，则点 到平面 的距离为

.

直线与平面的距离、平面与平面的距离均

可以转化为点到平面的距离求解。当求直线与

平面的距离时， ， 两点分别表示直线上的任意一点和平面上的任意一点， 表示平面的法向量。

2.求异面直线间的距离

如图，已知 为两异面直线， 为 的公垂线段， 分别为 上的任意两点， 是公垂线 的方向向量，则

，即异面直线 间的距离是

这个公式和上边的类似，这里的 是两异面直线间的公垂线的方向向量，而 分别为两异面直线上的任意两点。这样，这个公式和上边的公式可以统一为一个。

（二）空间向量在证明垂直、平行中的应用

要证明两直线垂直，只需证明这两条直线所对应的方向向量的数量积为 ；要证明直线垂直平面，只需证明这条直线所对应的方向向量与平面内不共线的两向量的数量积均为 ；要证明两平面垂直，只需证明一个平面内的一个向量垂直另一平面，或者证明两个平面的法向量的数量积为 。

要证明直线与平面平行，只需证明这条直线所对应的方向向量平行平面内的一个向量，或者证明这条直线所对应的方向向量垂直于平面的一个法向量；要证明平面与平面平行，只需证明这两个平面所对应的法向量平行，或者证明一个平面的法向量垂直另一个平面。

（三）空间向量在求空间角中的应用

1.求异面直线所成的角：利用两异面直线方向向量所夹锐角或直角求异面直线所成角，注意是锐角，

2.求直线与平面所成的角

设AB是平面 的斜线，AC是平面 的垂线，

AB与平面 所成的角 ，向量 与 的夹角 如图，则 。

3.求二面角

如图3，设向量 与 分别是二面角 中的两个半平面 ， 的法向量，则向量 与 的夹角 的大小就是所求二面角或其补

角的大小。

如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一是判断两个半平面的法向量方向：如果一个半平面的法向量的方向是指向它所对应半平面的内侧，另一个半平面的法向量的方向是指向它所对应半平面的外侧，则向量 与 的夹角 的大小就是所求二面角的大小，若均指向内侧或者均指向外侧，则互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，向量 与 的夹角 的大小与所求二面角的大小相等，若方向相反，则互补。

向量法的思维过程较简洁，规律性较强，解答比较容易，但需要正确建立空间直角坐标系及正确确定点的坐标。