带有输入时滞的Timoshenko梁系统的控制器设计与稳定性分析

韩如梦 刘东毅

摘要：为了研究输入时滞对Timoshenko梁系统稳定性的影响，镇定边界具有输入时滞和载荷的Timoshenko梁系统，利用Backstepping方法，设计了一种新的控制器来补偿输入时滞带来的影响，从而得到一个稳定的闭环系统。首先，给出一个与原时滞系统等价的无时滞系统；然后，构造一个Backstepping线性变换，并证明这个线性变换是有界可逆的；最后，通过这个变换将无时滞系统转化为一个稳定的目标系统，并设计出相应的控制器。结果表明，此无时滞系统与目标系统是等价的，其反馈控制律可以镇定原来的时滞系统。研究方法解决了输入时滞对弹性系统的负面影响，丰富了分布参数控制系统的控制器设计方法及其稳定性理论，在工程实践中具有一定的借鉴意义。

关键词：稳定性理论；Timoshenko梁；渐近稳定；反馈控制；Backstepping方法； 时滞； 载荷

中图分类号：O231.4MSC（2010）主题分类：34D20文献标志码：A

收稿日期：20171006；修回日期：20171228；责任编辑：张军

基金项目：国家自然科学基金（61573252）

第一作者简介：韩如梦（1993—），女，河北沧州人，硕士研究生，主要从事分布参数系统方面的研究。

通信作者：刘东毅副教授。Email：dyliu@tju.edu.cn

韩如梦，刘东毅.带有输入时滞的Timoshenko梁系统的控制器设计与稳定性分析[J].河北科技大学学报，2018，39（2）：125134.

HAN Rumeng，LIU Dongyi.Controller design and stability analysis of Timoshenko beam with input delay[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2018，39（2）：125134.Controller design and stability analysis of Timoshenko

beam with input delay

HAN Rumeng， LIU Dongyi

（School of Mathematics， Tianjin University， Tianjin 300354， China）

Abstract：In order to study the influence of input time delay on the stability of Timoshenko beam system and stabilize the Timoshenko beam system with input delay and load， by using the Backstepping method， a new controller is designed to compensate for the input delay， and then a stable closedloop system is obtained. At first， a delayfree system is given， which is equivalent to the original timedelay system. Then， a bounded linear transformation is constructed， and it is proved that the linear transformation is bounded and invertible. Finally， the delayfree system is transformed into a stable target system by the linear transformation， and the corresponding controller is given， which implies that the delayfree system is equivalent to the target system. Therefore， the original timedelay system can be stabilized by the feedback control law. The negative effect of input delay on elastic system is solved by this method， which enriches the controller design method and stability theory of distributed parameter control system， and has a certain theoretical significance in engineering practice.

Keywords：theory of stability； Timoshenko beam； asymptotic stability； feedback control； Backstepping method； timedelay； payload

在航空、海洋和土木等工程领域中，弹性结构通常起着关键性的连接和承载作用。在外部干扰和载荷等的作用下，这些结构会发生振动，给工程结构造成一定的危害。一直以来，很多学者的研究致力于弹性系统的控制器设计与稳定性分析。通过抵制时滞和外部干扰等不利因素来镇定系统[19]。Timoshenko梁系统考虑了剪切效应和旋转效应的影响，对于弹性杆的动力学行为有着准确的描述，是一种非常精确的系统模型。河北科技大学学报2018年第2期韩如梦，等：带有输入时滞的Timoshenko梁系统的控制器设计与稳定性分析很多学者对其产生了浓厚的兴趣。本文以一个边界上带有载荷和输入时滞的Timoshenko梁为研究对象，利用Backstepping方法，设计了一种新的控制器补偿时滞所带来的影响，使闭环系统达到渐近稳定。系统模型如下：ρwtt（x，t）-κ（wxx-φx）（x，t）=0，Iρφtt（x，t）-EIφxx（x，t）-κ（wx-φ）（x，t）=0，mwtt（1，t）+κ（wx-φ）（1，t）=u1（t-τ），Jφtt（1，t）+EIφx（1，t）=u2（t-τ），w（0，t）=φ（0，t）=0，w（x，0）=w0（x），wt（x，0）=w1（x），φ（x，0）=φ0（x），φt（x，0）=φ1（x），u1（θ）=f1（θ），u2（θ）=f2（θ），θ∈（-τ，0），（1）其中：下標字母表示对应相应变量的偏微分，x∈（0，1），t>0；函数fi（θ）在适当的空间是有界可测的，i=1，2；w（x，t）代表梁在其平衡状态下的弹性挠度；φ（x，t）代表总旋转角度；u1（t）和u2（t）分别代表边界控制力和力矩；ρ，κ，Iρ和EI分别代表线密度、剪切弹性模量、梁横截面的惯量矩和刚度系数。

當系统无时滞时，即τ=0，输出反馈控制律：u1（t）=-α1wt（1，t），u2（t）=-α2φt（1，t），（2）可以使系统（1）渐近稳定[10]。

当τ≠0时，即系统存在时滞现象时，在哪种反馈控制律的作用下，系统（1）也可以被镇定呢？这是本文主要考虑的问题。对于时滞系统，文献＼[11＼]针对αu（t）+βu（t-τ）这类控制器研究了一维波方程的稳定性并且得到了所谓的1/2法则。文献＼[12-14＼]设计了一类新的动态反馈控制器，证明了条件|α|≠|β|可以保证所得闭环系统的稳定性。基于Backstepping方法[1518]，本文设计了一类新的控制器。在该反馈控制律的作用下，所得闭环系统是渐近稳定的。

1控制器设计与稳定性结论

笔者通过Backstepping方法设计原系统的控制器并给出相关的稳定性结论，其主要思想是通过构造一个可逆的有界线性变换，将原系统的稳定性问题转化为目标系统的稳定性问题[1518]。

所以变换（4）是有界可逆的。 证毕。

最后，证明定理3。

证明由定理2易知，无时滞系统（3）与目标系统（11）和系统（12）是等价的。由引理2知，目标系统是渐近稳定的，故无时滞系统（3）也是渐近稳定的，即反馈控制律（13）可以使得原系统（1）渐近稳定。证毕。

3结论

基于Backstepping方法，针对边界带有载荷和输入时滞的Timoshenko梁系统设计了一个新的控制器，证明了原系统在这个反馈控制律作用下是渐近稳定的。研究重点在于控制器的设计与稳定性分析，难点在于目标系统的构造和线性变换的选取。本文考虑的控制算子是有界的，当控制算子是无界的时候，应该如何考虑？这类控制器是否可以应用到高维系统模型中？这都是将来要研究的问题。

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第39卷第2期河北科技大学学报Vol.39，No.2

2018年4月Journal of Hebei University of Science and TechnologyApr. 2018