一类三维系统的分支分析

王永文 乔志琴 薛亚奎

摘要：为了丰富三维混沌系统的定性与分支理论，以具有三重零奇异平衡点的二次截断规范型系统为研究对象，研究了此系统在不同参数条件下的平衡点的存在性及其附近的稳定性与分支问题。使用数学分析的方法讨论了在不同参数条件下，平衡点所对应的特征方程实根的存在性，从而得到平衡点处丰富的局部流形情况，引出系统可能会产生的分支情形。利用卡尔丹诺公式仔细分析了平衡点为鞍焦点的参数条件，分析了产生一维Hopf分支的参数条件，通过计算得到超临界Hopf分支与亚临界Hopf分支的前提条件，结果表明系统具有丰富的稳定性与分支情况，可为以后证明产生连接鞍焦点的同宿环或异宿环的存在性和产生Silnikov型混沌证明提供理论前提。研究方法可推廣到对其他高维非线性系统的研究。

关键词：定性理论；鞍焦点；Hopf分支；超临界；亚临界

中图分类号：O175.12MSC（2010）主题分类：16S40文献标志码：A

收稿日期：20171225；修回日期：20180303；责任编辑：张军

基金项目：国家自然科学基金（11401541）；山西省自然科学基金（2015011009）

第一作者简介：王永文（1980—），男，山西繁峙人，硕士研究生，主要从事生物数学方面的研究。

通信作者：薛亚奎教授。Email：ykxue@nuc.edu.cn

王永文，乔志琴，薛亚奎.一类三维系统的分支分析[J].河北科技大学学报，2018，39（2）：135141.

WANG Yongwen，QIAO Zhiqin，XUE Yakui. Bifurcation analysis of a three dimensional system[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2018，39（2）：135141.Bifurcation analysis of a three dimensional system

WANG Yongwen，QIAO Zhiqin，XUE Yakui

（School of Science， North University of China， Taiyuan， Shanxi 030051， China）

Abstract： In order to enrich the stability and bifurcation theory of the three dimensional chaotic systems， taking a quadratic truncate unfolding system with the triple singularity equilibrium as the research subject， the existence of the equilibrium， the stability and the bifurcation of the system near the equilibrium under different parametric conditions are studied. Using the method of mathematical analysis， the existence of the real roots of the corresponding characteristic equation under the different parametric conditions is analyzed， and the local manifolds of the equilibrium are gotten， then the possible bifurcations are guessed. The parametric conditions under which the equilibrium is saddlefocus are analyzed carefully by the Cardan formula. Moreover， the conditions of codimensionone Hopf bifucation and the prerequisites of the supercritical and subcritical Hopf bifurcation are found by computation. The results show that the system has abundant stability and bifurcation， and can also supply theorical support for the proof of the existence of the homoclinic or heteroclinic loop connecting saddlefocus and the Silnikov's chaos. This method can be extended to study the other higher nonlinear systems.

Keywords：stability theory； saddlefocus； Hopf bifurcation； supercritical； subcritical

随着洛仑兹系统的发现，许多学者致力于研究各种非线性系统现象，其中包含广义的Lorenz系统[1]，吕系统[23]，陈系统[4]，Genesio系统[5]，Chua系统[6]等。除了利用李雅普诺夫指数证明一类系统具有混沌之外，更多学者利用Silnikov条件去构造自治系统出现混沌，陈关荣等[1]根据Silnikov准则构造了同时具有洛仑兹吸引子和陈吸引子的吕系统。ZHOU等[5]在Genesio系统里找到一条Silnikov形式的同宿轨，得到Genesio系统里存在马蹄混沌结论。河北科技大学学报2018年第2期王永文，等：一类三维系统的分支分析ZHOU等[7]构造了一类新的简单的具有连接鞍焦点的同宿轨的三维二次混沌系统。王炜等[8]对改进的PID控制系统求出具有Silnikov形式的同宿轨的解析表达式，从而说明具有混沌现象的发生。其他学者[918]也对不同的系统做了相应的分析。本研究主要在FRIEIRE等[19]讨论三重零线性退化的标准型开折的基础上，讨论以下一类三维自治系统：1=x2，2=x3，3=ax1+b2x2+cx3+A1x1x3+A2x1x2- x212 （1）的分支情况，其中a，b，c，A1，A2为参数，此系统比Genesio系统[5]更一般化。

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2018年4月Journal of Hebei University of Science and TechnologyApr. 2018