中考命题须谨慎 试题导向要合理

钱德春

中考试题反映了命题者的价值取向、学科立意、学科素养和学科理解。命制一份结构良好、布局合理、导向科学、立意新颖的试卷，对命题者的能力、智慧和心理提出了较高的要求。2017年各地中考数学试卷的大多试题形式与结构等让人耳目一新，对课标的把握、教材的理解、学生心理的把控准确到位，较好地考查了数学知识、数学方法和数学素养，具有原创性、层次性、关联性，试卷导向明、质量高、效度好。

同时，笔者也发现一些不容忽视的问题：有些试卷对课程标准、教学内容和学生认知把握不准；有的试题存在“三假”现象，即假情境、假问题、假探究；少数试题拼凑痕迹较重，关联性、层次性不够；个别试卷的压轴题立意陈旧，甚至有抄袭现象；一些地区试题阅读量偏大，不利于学生思考。这些问题的出现，给同是命题者的笔者以提醒：中考命题须谨慎，试题导向要合理。基于此，本文拟通过具体问题的评析，对中考数学命题提出建议，仅供同行参考。

一、命题要基于课程标准，尊重学生认知

笔者发现，试题超标、高中知识下放的现象屡见不鲜。

1.试题内容超标。

案例1.【试题呈现】将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图1所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA、CB于M、N两点，若CA=5，AB=6，AD∶AB=1∶3，则MD+[12MA×DN]的最小值为 。

【评析与建议】试题通过证明△AMD∽△BDN得到MA×DN=BD×MD=4MD，故MD+[12MA×DN]= MD+[3MD]=[MD-3MD2]+[23]，当[MD=3MD]即MD=[3]时，MD+[3MD]有最小值为[23]。该方法的本质是基本不等式，即MD+[3MD]≥ 2[MD×3MD=23]。尽管问题也可用一元二次方程根的判别式来解决：设MD+[3MD]=k，则有MD2-kMD+3=0，此时[Δ]=k2 -12≥0，所以k≥[23]，即当MD=[3]时，MD+[12MD]的最小值为[23]。但无论哪一种方法都超出了《义务教育数学课程标准（2011年版）》[1]（以下简称《课标（2011年版）》）的要求。

2017年各地中考试卷中出现的类似情况不在少数。有的仍在考查分式方程产生增根、分式方程待定字母范围的讨论，有的考查二次项系数含字母的一元二次方程根的讨论，有的出现了解可化为一元二次方程的分式绝对值方程，有的出现了方程x+[12x]=3根的判定、解方程1=x2+（2x+[3x]）2中分母为二次根式和的有理化问题……这些问题均游走在《课标（2011年版）》的边缘。还有令人不解的是：某卷第20题“计算1+4+9+16+25+…的前29项的和”，是让学生推导公式12+22 +32…+n2=[n（n+1）（2n+1）6]吗？那就超出了学生的能力；如果要求学生记住公式，那么题目又有何意义？

学生的数学学习主阵地是课堂，而教学与评价的依据是课程标准和教材，因此，命题要充分发挥其导向作用，严格执行课程标准，尊重学生认知，侧重考查学生“基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验”和“发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力”。

2.高中知识下放。

部分试卷为追求所谓的新立意，将高中数学知识以阅读理解和新定义形式下放到初中试卷中考查。

案例2.【试题呈现】在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量[OP]可以用点P的坐标表示为[OP]=（m，n）。已知：[OA=（x1，y1）]，[OB=（x2，y2）]，如果x1×x2+y1×y2=0，那么[OA]与[OB]互相垂直。下列四组向量：①[OC]=（2，1），[OD]=（-1，2）；②[OE]=（cos30°，tan45°），[OF]=（1，sin60°）；③[OG]=[（3-2，-2）]，[OH=（3+2，12）]；④[OM]=（π0，2），[OD]=（2，-1）。其中互相垂直的是 （填上所有正確答案的序号）。

【评析与建议】向量法是数学中处理图形问题的重要工具。该题主要考查新定义与阅读理解。我们发现，上海卷也考查了向量问题：如图2，已知AB∥CD，CD=2AB，AD、BC相交于点E，设[AE=a]，[CE=b]，那么向量[CD]用向量[a]、[b]表示为 。两地试题除了考查方式不同外，其根本区别在于：《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》[2]中明确要求“在初中引进向量及其线性运算，重视向量的工具作用和对解析几何的奠基作用”，要求初中阶段的学生（六至九年级）“知道向量的要素及向量的表示，理解相等向量、相反向量、平行向量、零向量的意义”“掌握向量的线性运算，体会用向量解决简单几何问题的过程”。而其他地区“向量”是高中数学必修内容，使用的《课标（2011年版）》没有向量内容，因此，如果上海试题出现向量的简单问题尚属正常的话，那么，其他地区考查向量属于高中知识的下放，显然不太恰当。

高中知识下放的问题在各地中考试卷中屡见不鲜，如四川某市考查“导数”的阅读与运用，湖南某市考查复数的定义的理解与运用，山东某市考查坐标平面内“点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式”的理解与深度运用，凡此种种都是一种不好的命题导向。建议要依纲据本，在学生学习内容的范围内命题，避免“教师猜题押题，将大量高中知识下放到初中教学，学生机械套用，加重学习负担”的现象。

二、要设计真情境、提出真问题、引导真探究

《课标（2011年版）》指出，学生要“学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。将现实情境数学化，培养建模意识和归纳与抽象能力，是课堂教学和数学命题的应然目标。但从中考试题来看，情境设计不符合数学常识、不真实，探究缺乏创新性等现象比较突出。

1.情境选用不符合数学常识。

案例3.【试题呈现】可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源，据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量。将1000亿用科学记数法可表示为（ ）。

A.1×103 B.1000×108 C.1×1011 D.1×1014

【评析与建议】命题者提供的答案为C。笔者认为，情境选用不当。虽然教材规定：任何一个正数都可以写成a×10n（1≤a<10，n为整数）的形式，但通常情况下，如果一个数能表示成10n（n为整数），就没有必要再写成1×10n的形式。因此，“1×1011”的表示方式不符合数学常识。建议试题命制过程中的情境选择与设计要符合学科特点和共识。

2.问题设置不真实。

有不少试题所谓的现实情境，是为情境而设情境，不真实、不符合实际，可谓假情境。

案例4.【试题呈现】某水果店的原价为10元/斤的某种水果，在两周内经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同。

（1）求该水果每次降价的百分率；

（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用相关信息如表所示。已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x<15）的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？

[时间（天） 1≤x<9 9≤x<15 x≥15 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 80-3x 120-x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2-64x+400 ]

（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

【评析与建议】就题目设置而言，表格中的销量80-3x与120-x、储存40+3x与损耗费用3x2-64x+400等是现实问题吗？北京卷“情境真实、真正考查数学化能力”的特点就比较突出，可供广大命题者借鉴。

3.问题解决不是真探究。

“真探究”是提供真实的思维环境，让学生自主思考如何探究。一些中考试题人为设置好探究的路径，学生所谓的探究，只是按照试题的路径依样画葫芦，没有自主的、独立的思维。

案例5.【试题呈现】综合与实践

【背景阅读】早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”。它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中。为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为（3，4，5）型三角形。例如：三边长分别为9、12、15或[32]、[42]、[52]的三角形就是（3，4，5）型三角形。用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形。

【实践操作】如图3-①，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm。

图3

第一步：如图3-②，将图3-①中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平。

第二步：如图3-③，将图3-②中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF。

第三步：如图3-④，将图3-③中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平。

【问题解决】（1）请在图3-②中证明四边形AEFD是正方形。

（2）请在图3-④中判断NF与ND′的数量关系，并加以證明。

（3）请在图3-④中证明△AEN是（3，4，5）型三角形。

【探索发现】（4）在不添加字母的情况下，图3-④中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称。

【评析与建议】试题“实践操作”环节，让学生按照指定步骤进行操作，进而对操作得到的图形进行判定与性质的探究，似乎是在落实课程标准。然而，当学生作为一个自然人，面临一个真实情境时，这些探究路径与步骤需要自己摸索，没有谁预先设计好探究路径，所以笔者认为这类探究题是“伪探究”。《课标（2011年版）》指出：“动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”这个过程应该体现在平时的教学活动中。初学阶段给出探究路径、步骤，为学生搭建脚手架；在学生掌握了操作探究的基本方法后逐步“放手”，给出问题情境，让学生自己去思考、自己设计探究的方案。而操作探究类中考压轴题则应该提供开放的情境，给学生自主探究、解决问题的机会。

三、关注学科内涵，指向考查内容的本质

笔者对2017年全国90份中考数学试卷进行了统计，在每份试卷最后两题共180道试题中，与函数有关的试题共101题，以二次函数为背景的试题共76题，其中，纯函数的试题有10题，函数的实际应用有6题，其余都是“函数+图形”类试题，占以二次函数为背景的试题数的79%。“不少所谓的函数试题，函数只是背景，实质还是图形变换与几何计算，很少真正涉及函数知识与本质，笔者称之为‘伪函数题。”[3]

【评析与建议】客观地说，初中阶段是从形象思维向抽象思维过渡的阶段，从学生认知能力来看，考查与图形有关的试题以及知识、方法的综合运用与迁移能力无可厚非。但数学最终指向抽象，中考承担着为高一级学校选拔生源的功能，因此，中考压轴题的命制，还是要在关注学科内涵、指向考查内容的本质上下点功夫。

四、力求关联性与层次性，减少拼凑痕迹

好的试题一定是和谐、协调的，给人以美感，然而一些试题存在人为拼凑的痕迹。

1.内容缺乏关联，试题效度不高。

案例6.【试题呈现】下列命题中为假命题的是（ ）。

A.正六边形的外角和等于360°

B.位似图形必定相似

C.样本方差越大，数据波动越小

D.方程x2+x+1=0无实数根

【评析与建议】从试题看，该题将毫不相干的内容作为选择支拼凑在一起，没有知识关联，也没有逻辑关联。那么试题究竟想考查什么？如果学生错了，错在哪里？是什么原因致错？无从知晓。建议编制试题时适当考虑内容的指向性，提高试题的效度。

2.问题缺乏递进，方法铺垫较少。

案例7.【试题呈现】已知抛物线C1的顶点为A（-1，4），与y轴的交点为D（0，3）。

（1）求C1的解析式；

（2）若直线l1∶y=x+m与C1仅有唯一的交点，求m的值；

（3）若抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2∶y=n。试结合图形（图4）回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；② 三个交点；③四个交点；

（4）若C2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形。

【评析与建议】该题具有较好的问题背景，但问题（3）考查数形结合与图形直观，问题（4）是根据条件列方程求待定字母的值，尽管都用到分类讨论，但思考方向迥异、解题方法不同，两小题间既无结论的递进关系，也没有方法的铺垫，有拼凑之疑。一道好的试题，问题与题干之间、问题与问题之间，无论是内容还是结构都要具有良好的逻辑关系，凸显关联性、层次性和发展性。

五、坚持原创性，让压轴题具有强大的生命力

压轴题是一卷之魂。一方面，压轴题起着区分的作用；另一方面，压轴题是教师、学生、学生家长和社会的关注焦点。所以，原创性应该作为压轴题的基本要求。但一些压轴题有明显的由陈旧中考题改编的痕迹，个别地区的压轴题与上一年其他地区中考原题高度雷同。

案例8.【试题呈现】已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC。

（1）如图5-①，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图5-②，若点P是线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图5-③，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a∶b及∠AEC的度数。

【评析与建议】该题与江苏泰州2016年卷第25题几乎相同。比較两题发现，除了文字少数微调、对图5-③增加了“连接线段AC”外，整个试题从图形到条件、结论与2016年泰州题几乎完全相同。中考试卷承载着为高一级学校选拔生源的重任，压轴题只有坚持原创，才能够确保评价的客观、公平与公正，才能具有强大的生命力。

六、控制题量与阅读量，留给学生思考时间

史宁中先生在谈到数学教育中的数学核心素养时指出：“数学是需要思考的，不能单纯通过解题速度的快慢来评价一个学生学习的好坏。”[4]这里就涉及一份试卷的题量和阅读量的问题。

1.控制试卷总题量。

从试卷分析来看，各地试卷总题量没有统一标准，多的如北京卷共29题42小题，少的如山东日照卷共22题30小题。总题量多少为宜？还要看试题的难度与考查目的。从初中生角度来说，考试时间在2个小时内，题量应控制在26大题36小题内为宜。

2.控制阅读量。

《课标（2011年版）》对数学阅读的教学与评价提出要求。在教学中，“对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能”。在评价中，“根据评价的目的合理地设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能。例如，为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题”。

但有些试题的阅读量太大，不利于学生对问题本质的思考。如山东某卷第23题仅文字就达713个，还有几个图形、公式等，学生要结合等式和图形阅读，阅读量偏大，在有限的时间内完成解答比较困难。该市近几年都考查了阅读理解，阅读量都比较大，2009年试题超过1000字，2015年“小棒搭三角形”问题有707个字，2016年“矩形分割”问题有719个字。

【评析与建议】此类试题立意与目标较好，无须复杂运算、推理和书写过程，只要静心阅读、理解题意，运用数学学习经验就能顺利完成答题。但中考侧重对学习结果的评价，而数学阅读是一种学习过程，因此中考试题要把握好阅读量，力求试题简约，让学生有足够的时间思考，体现对学生的人本关怀。史宁中先生就高中数学核心素养问题在回答记者提问时谈到，“基于目前的状况，希望在不增加题量的前提下，适当延长考试的时间。”[5]这也是今后高考、中考命题的新导向。

写在最后

命题是一项劳心劳力的工作，需要考虑的因素太多，因而要绞尽脑汁；命题又是一件遗憾的艺术，无论当初的预设多么美好，回头再看，总还是能发现诸多不足。这也是笔者多年从事命题工作的体会。本文无意对他人挑剔与指责，旨在提醒自己，也与同行共勉：正是这种“劳心劳力”与“遗憾”，才体现命题工作的创造性与挑战性，凸显命题工作者的价值。我们只有不断完善自我，精益求精，才能应对挑战，让命题工作具有更高的价值。

（作者单位：江苏省泰州市教育局教研室）