操作 感知 推理

孙洁

图形的运动是现实生活中广泛存在的现象，同时也是探索一些图形性质的手段。苏科版教材的特点是注重借助图形的运动来认识和研究图形，例如“图形的平移”“轴对称和轴对称图形”，等等。八年级下册第九章在此基础上，立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验，从观察生活中的旋转现象开始，以中心对称为主线，展开对平行四边形、矩形、菱形、正方形以及三角形中位线的研究。“中位线性质”这一课时通过图形的运动，探索、发现并确认三角形中位线的一些性质，有助于学生发展几何直观和空间观念，培养学生的推理能力，提高学生研究图形性质的兴趣，帮助学生从中体会到研究图形性质可以有不同的方法。

教材共分3个部分来探索三角形的中位线。一是剪纸拼图；二是对上述操作得出的图形进行猜想，直观感知三角形的中位线；三是用演绎推理的方式证明三角形的中位线定理。

一、剪纸拼图，建立三角形与平行四边形的联系

教材直接呈现问题：“怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个平行四边形？”在实际教学中，笔者发现，如果直接将该问题抛给学生，对本校八年级的学生来说是有难度的，他们很难想到去取三角形的两边中点然后连接。而如果直接将教材上的操作步骤告诉学生，让学生按步骤一步一步地“依葫芦画瓢”，又不免落入“伪操作”的境地。

因此，笔者将该操作分解為以下几个任务型问题：

问题1：怎样将一张直角三角形纸片剪成两部分，使这两部分能拼成一个矩形？

问题2：为什么得到的图形是矩形？

问题3：你能将这两部分换一种运动方式得到一般平行四边形吗？

问题4：你能将一般三角形纸片剪成两部分，使这两部分拼成一个平行四边形吗？

学生已经学习了矩形的判定方法，知道要构造矩形必须要找到直角，而要能够拼合，必须要有相等的边，故只需取某一边的中点。如图1，取AB的中点D，过D点将纸片折叠，使A点与C点重合，再沿折痕将直角三角形剪成两部分，如图2，将△AED绕D点旋转180°即可。

此时呈现问题2：为什么得到的图形是矩形？学生们都能够根据三个直角来说理，但所有的学生都忽视了E、D、F三点是否共线的问题。于是笔者接着追问：你认为你得到的图形一定是个四边形吗？要说明它是个四边形，必须要说明什么？

到这里，学生已经解决了拼形问题。笔者继续追问：你认为点E应该是什么点？为什么？你能将这两部分换一种方式得到一般的平行四边形吗？学生在刚才操作的基础上很快解决了这两个问题：点E是AC的中点，只需将△AED绕E点旋转180°即可。

至此，学生已经能够轻松解决教材最初提出的问题“怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使这两部分拼成一个平行四边形”了。于是让学生独立操作完成该问题，并将理由说给同桌听听。

本环节通过任务型问题串的方式层层深入，由特殊到一般，引导学生说理，让学生在操作中思考，在动手中动脑，感受数学的严谨性。

二、感知确认，发现三角形中位线性质

在刚才的操作过程中，学生发现要将三角形剪拼成平行四边形，需要一条重要的线段，而这条线段与三角形的第三边似乎存在着某些特殊的关系，于是有必要来研究它。这样就很自然地得出了中位线的定义——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并对中位线的性质做出了直观的猜想和感知。事实上，从上面的操作中，我们已经说明了四边形DBCF是平行四边形，学生已经能够在此基础上根据这个图形说明DE与BC的数量关系和位置关系。这实际上是苏科版教材运用图形运动发现并确认图形性质的一个典型案例，但由于教师与学生都习惯了三段式的演绎推理的证明方式，往往都是利用图形的运动进行猜想和发现，却忽视了有的性质利用图形运动也能够进行确认。比如教材中的“垂径定理”“切线长定理”“垂线段最短”“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”，等等。所以，在教学中，教师应该有意识地强化运用图形运动感知并确认图形性质的训练。

三、演绎推理，证明三角形中位线定理

教师提出问题：你有其他方法证明三角形中位线定理吗？学生有了刚才操作的经验，发现要说明中位线与第三边的数量关系与位置关系，只要寻找到平行四边形即可。如图4，可以作辅助线“过C点作CF∥AB，交DE的延长线于F点”，这样就把对三角形中位线性质的研究转化为用平行四边形的性质来证明。在这个转化的过程中，学生能够感悟图形的运动带来了作辅助线的灵感，演绎推理的思路来源于图形的运动。

当然，我们也可以继续探究中位线定理证明的不同方法，拓宽学生的思路，培养学生的推理能力。如：要证明一条线段是另一条线段的一半，你有哪些方法？常见的思路有两种：加倍和折半。加倍的方法就是延长DE到F点，如图5，使EF=DE，连接CF，这样就构造出来2DE，只要再证明四边形BDFC是平行四边形即可；折半的方法就是想办法构造出BC的一半，常规思路是取中点，但这样会出现三个中点，对解决中位线问题并无帮助，如图6，可以过E作EF∥AB，过E点作ED′∥BC，这样可得平行四边形ED′BF，可证△AD′E≌△EFC，得AD′=EF，而由平行四边形性质可得EF=BD，所以AD′=AD，即D′是AB的中点，D′E与DE重合，即证。

苏科版教材中“三角形中位线性质”的教学过程表明：操作、感知、说理是学生发现并证明图形性质的重要途径。在这个过程中，学生能亲身经历“用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论”的完整推理过程，感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对提升学生数学素养是非常有利的。

课标指出，空间观念、几何直观、推理能力的培养与发展是一个长期积累的过程，教师应利用多种途径、多种方式，通过多样化的活动来提升学生的几何素养。探索活动是进行合情推理的过程，有助于学生理清思路、发现结论，也有助于发展学生的创新意识和创新精神，演绎推理的证明有助于发展学生的逻辑思维能力。在数学教学中，注重操作猜想、探索发现和演绎推理的有机结合，有利于实现“增强学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力”的课程总目标。