银行间金融传导的沙堆崩塌模型

李易林

本文试图从Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型的角度解释银行间所存在的金融传导造成的金融崩塌。世界对2008年全球金融海啸的影响极其重视，学界在这之后试图得出一个一般化理论解释金融系统中的网络传导现象，即最初的美国次贷危机是如何造成全球经济衰退的，机制是什么，动力是什么。在前人的许多研究基础上，本文希望从一个全新的视角——物理学领域中自组织临界的动力系统例子、相交、平均场理论等——来模拟该金融网络传导与崩溃。

金融传导

金融理论 沙堆崩塌模型

模型基本要素

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型又称作Abelian沙堆模型，由Per Bak，Chao Tang和Kurt Wiesenfeld于1978年提出，是自组织临界的动力系统中第一个发现的例子，其模型本质是一种细胞自动机（ CellularAutomation）。下面介绍这个沙堆模型。

首先从一个简单模型开始，考虑一个3*3均匀分割的正方形网格平面，每个小格中最多容纳3颗沙砾，并假设沙砾都是完全相同的，若某个小格中沙砾数量n_i（n_i∈N）超过3颗，n_i≥4，则该小格的沙堆会发生崩塌，向四边的四个小格各扩散1颗沙砾，则变为n_it-4，其的四个相邻小格的沙砾数量都+1，此时若还存在沙砾数量超过3颗的小格，则继续上述崩塌过程。

继续扩展到Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型，考虑一个d维的边长为L的超正方体网格面，每个网格点r的沙砾数量为z（r），当z（r）超过某个特定阈值，就会出现崩塌现象：

z（r）→z（r） - 2d

z（r+n）→z（r+n）+l，n=±e1，±e2，…，±ed

其中{e_i）是单位向量。不失一般性，令z_c= 2d -1，則当z（r）超过z_c时，即沙堆的平均坡度θ> θ_c时，崩塌就会发生。

马尔可夫链（ Markov Chain）

马尔可夫链为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”盼性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。

模型结论与展望

本文所提出的沙堆模型是对金融传导网络拟合的一个尝试，并取个体银行的破产阈值为Y_c=（2d -l）y。出现的一个问题是y_r> y_c时，对于不同银行r1≠r2，现实情况中其破产的可能性是不同的，大银行往往能够得到中央银行等机构的支持，大银行的企业外资源要远远高于小银行，所以该沙堆模型中只能假设每个银行拥有同样的特点：可变现资产相同、社会资源相同、可承受风险能力相同。

其次，该模型的银行间关系用是否相邻来反映，因为在沙堆崩溃的过程中，一个网格面（点）的崩溃只能传导给相邻的网格面（点），所以只能认为这是发生直接联系的银行间才能出现的情况，而每两个银行间都能够用一个距离来衡量联系程度，可以将该距离定义为两个银行间的直接债务、间接债务所占总债务的百分比的加权平均，权重为间接银行间的距离，即

这样的一组方程组至少可以得到一组解。然而这种所谓的“距离”确是不可逆的，即银行i对银行j的距离并不需要与银行j对银行i的距离严格相等。本文一直希望克服这样的一个非对称性，构造一个对称的距离指标，这样的距离囊括了特定超立方体沙堆模型中的结构性质要素，从而这样的距离m_ij就存在一个阈值m_c，当两个银行的距离m_ij< m_c时，则对银行i施加的某个与银行的资产负债相关的负面冲击ε_i就会导致银行j的崩溃。

第三，该模型存在一个崩溃边缘。该崩溃边缘是指，举2维平面网格的例子来说，沙砾在该有限网格系统中是否能稳定留存：一个稳定的沙堆模型的边界是确定的，一旦其在冲击下向外扩散，则该模型相对于这些特定量的冲击是不稳定的，形象的来讲就是，需要依靠外部的力量去吸收这些多余的违约负债（沙砾）。阈值y_c=（2d -l）y衡量了一个冲击ε的“大”和“小”：若ε>y_c，则该冲击为大冲击，能够确定一组距离阈值{m_c}；反之为小冲击，也能够确定一组距离阈值{m_c}。这也是物理学中相变现象的应用。