第二类曲面积分一题多解

黄辉

[摘           要]  第二类曲面积分是高等数学教学中的重点，也是高等数学七类积分计算中最难的一种，就一道例题给出三种不同的解法，使学生加深对第二类曲面积分的了解，找到适合自己的方法.

[关    键   词]  第二类曲面积分;公式法;高斯公式;两类曲面积分关系

[中图分类号]  O172.2-4               [文献标志码]  A             [文章编号]  2096-0603（2018）27-0137-01

在高等数学中积分学占有重要地位，而第二类曲面积分的计算是高等数学七类积分计算中最难的一种，同时也是各高校期末考试试题及考研试题中的必考题型.因为在计算时既要考虑投影又要考虑曲面的侧，很多学生初学时往往掌握不好，本文就一道例题给出三种不同的解法，使学生加深对第二类曲面积分的了解，找到便于理解适合自己的解题方法.

例 计算I=■xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限部分的前侧.

分析一：直接利用公式法，即通过投影将第二类曲面积化成二重积分来计算.简单来说是“一换二定三算”.“一换”指换被积函数，将被积函数换成由曲面方程所表示的函数;“二定”指由曲面的侧来决定符号是“+”还是“-”;“三算”指计算投影在相应坐标面上的二重积分.

解法一：∑在xoy面上的投影为一条圆弧，即■zdxdy=0，

I=■xdydz+ydzdx，

由∑：x2+y2=1关于x，y的轮换对称性有

■xdydz=■ydzdx，

则I=■xdydz+ydzdx=2■xdydz=2■■dydz=2■dz■■dy

=2·3·■■dy■6■■·costdt=6■cos2tdt=6·■·■=■.

分析二：利用高斯公式来计算.需要注意的是使用高斯公式计算第二类曲面积分时，积分曲面∑必须是封闭的，如果∑不封闭，我们要先补面使之变成封闭的，然后才能应用高斯公式计算.补面时通常选取平行于坐标面的有向平面，并使该有向平面的侧与积分曲面的侧保持一致，即同指向所围成封闭曲面的外侧或内侧.最后计算原曲面积分时还要减去补的有向平面上积分.

解法二：作辅助平面∑1∶z=0（x2+y2≤1，x≥0，y≥0）取下侧;

∑2∶z=3（x2+y2≤1，x≥0，y≥0）取上侧;∑3∶y=0（0≤x≤1，0≤z≤3）取左侧;∑4∶x=0（0≤y≤1，0≤z≤3）取后侧，则∑+∑1+∑2+∑3+∑4构成封闭曲面，设其所围成的空间区域为Ω，由高斯公式有

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■（1+1+1）dv=3VΩ=3·■·π·3=■，

而∑1，∑2在yoz面和zox面投影为零，即

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■zdxdy=■0dxdy=0，

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■zdxdy=■3dxdy=3■=3·■π=■，

∑3在yoz面和xoy面的投影為零，而∑4在zox面和xoy面的投影为零，有

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■ydzdx=■0dzdx=0，

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■xdydz=■0dydz=0，

则I=■xdydz+ydzdx+zdxdy=■-■xdydz+ydzdx+zdxdy=■-0-■-0-0=■.

注：在使用高斯公式时除了要关注曲面∑是否封闭外，还要注意以下几点：（1）P，Q，R在Ω上具有一阶连续的偏导数;（2）如果在内有使P，Q，R一阶偏导数不连续的点，则应在Ω内先挖去该点，然后再应用高斯公式;（3）有向曲面∑要取向外侧，如取向内侧时要变符号.

分析三：利用两类曲面积分之间关系将第二类曲面积分转化

为第一类曲面积分进行计算，该解法须先求出曲面的法向量再表示出法向量的方向余弦.

解法三：∑∶x2+y2=1，则■={2x，2y，0}，从而

cosα=■，cosβ=■，cosγ=0，

则

I=■xdydz+ydzdx+zdxdy=■（x·■+y·■+z·0）dS

=■（■+y·■）dS=■■dS=■dS=S∑

=■·2π·3=■.

对第二类曲面积分的求解，主要就是利用公式法，高斯公式或两类曲面积分之间的关系，同时配合积分曲面的对称性、轮换性，被积函数的奇偶性等解题技巧，将积分式进行简化处理求出曲面积分的最终值.以上解题方法各有利弊，大家可以灵活选择一种适合自己且掌握起来相对容易的方法.

参考文献：

同济大学数学系.高等数学（同济七版）[M].北京：高等教育出版社，2017.