星载微推进器推力测量中电容位移传感器极板不平行误差分析

王大鹏，金星，周伟静，李南雷

(1.航天工程大学 激光推进及其应用国家重点实验室，北京 101416；2.西安卫星测控中心，陕西 西安 710043)

0 引言

微小卫星具有研制周期短、质量小、发射方式灵活、成本低等优点[1]，是未来卫星技术发展的趋势之一[2]。满足微小卫星指向与定位精度的推力通常在微牛至毫牛量级[3]，精确测量微小推力是星载推进器进入工程应用的前提[4]。目前，国内外较通用的测量方法多是基于力的动力效应，将推力转化为推力测量台架的力学行为，如振动幅值或转动位移，间接地测量推力[5]，测量精度通常在1～10 μN量级，有的甚至达到10 nN量级[6]。

在已有的测量结构中，扭摆结构可消除星载推进器重力的影响，承重能力强、精度高，是普遍采用的测量系统[7-8]。测量时，推力通过扭摆系统横梁的稳态位移(转角)与力(或力矩)和位移(转角)的函数关系来计算。作为测量系统最关键的直接输出量，位移的测量误差直接影响到推力的测量误差。电容式位移传感器具有结构简单、灵敏度高、信噪比大、响应快、非接触等优点，同时精度可达到纳米水平，是常用的位移传感器之一[9]。电容式位移传感器依据理想化平板式变极距电容原理设计，工作时探头作为一个电极，被测导电对象作为另一个相对电极[10]。测量时由于横梁的转动，横梁与探头之间存在一定的夹角，由此会产生极板不平行位移测量误差，进而导致推力测量误差。为提高推力测量的精度，需要对极板不平行误差进行分析研究。目前已有的文献主要研究电容位移传感器的线性度、重复性、分辨率等参数的标定方法[11-12]，缺少对极板不平行误差分析及标定方法的相关研究。

本文针对以上问题，首先基于电容位移传感器的工作原理，从理论上分析了不同极板间距及夹角下传感器的输出特性。然后分析了横梁转动时极板不平行误差随扭转角变化的规律，确定了标定原理。最后进行了标定实验，对极板不平行误差标定结果与推力测量误差的关系进行了分析。

1 扭摆系统推力测量原理

典型扭摆系统结构如图1所示[13]。图1中，横梁为执行部件，通过挠性枢轴(用于提供回复力)与支撑梁相连。当推力作用于横梁上时，横梁在水平面由初始平衡位置开始转动，推力转化为横梁的位移(转角)，随着位移(转角)的增大，推力与横梁力逐渐趋于平衡。因此，通过测量稳态位移(转角)，由力(或力矩)与位移(转角)的函数关系来计算推力。

扭摆系统是典型的2阶质量- 弹簧- 阻尼系统，稳态时推力与枢轴回复力实现力矩平衡，稳态扭转角均值α与平均推力F呈如下线性关系[5,14]：

(1)

式中：k为枢轴的扭转刚度系数；l为推力的作用力臂。由于α的大小通常为微弧度至毫弧度量级，实际中通常以稳态线位移ΔD与位移测量臂长L的比值ΔD/L来间接计算α(由此产生的相对误差在10-13～10-7量级，大小可忽略不计)：

(2)

式中：ΔD=DⅡ-DⅠ，DⅠ、DⅡ分别为传感器在横梁初始平衡位置Ⅰ、稳态位置Ⅱ的输出值。由此可见，位移的测量误差大小直接影响推力的测量误差大小。

2 极板不平行误差产生及特性分析

测量位移时，传感器探头作为一个电极，横梁作为另一个电极。横梁在推力作用下产生角位移，引起传感器极板间距及水平夹角的变化，进而产生极板不平行误差。下面具体分析极板不平行误差的产生过程。

2.1 极板不平行误差产生

假设初始时刻宽为w的扭摆横梁在平衡位置Ⅰ与传感器探头平行，如图2所示，在推力作用下横梁转动到稳态位置Ⅱ，此时横梁与传感器中轴线的交点c转动到m点，规定横梁逆时针转角为正方向，则图中α>0°.

(3)

2.2 极板不平行误差特性分析

传感器探头中的电场屏蔽环电极保证了测量电场具有较高的均匀稳定性，计算时可忽略边缘效应的影响[11]。下面在分析电容位移传感器工作原理的基础上计算极板不平行误差的大小。

如图3所示，传感器探头的有效半径为R，轴向中心与目标的距离为d. 假设极板间电介质的介电常数为ε0，S为有效面积。

首先，当探头与目标平行(见图3(a))时，极板间电容值Cd(0)为

(4)

在电容上施加一个频率为f的交流电压，通过稳压电路保持电流I恒定，电容上的电压U与d呈线性关系：

(5)

式中：XC为电容容抗。测量得到U后，通过控制电路给U乘以一定的比例η，即可输出数字形式位移值D(0)=d：

(6)

(6)式中，ηI/(2πf)为固定值，因此传感器输出值D(0)与电容值Cd(0)为一一对应关系。

实际使用中，当测量目标与探头相对夹角α≠0°时，如图3(b)所示，此时极板间电容值Cd(α)可基于(4)式沿探头水平方向进行积分并作泰勒级数展开，省去高阶项求得：

(7)

令k(d,α)=1+R2tan2α/(4d2)，(7)式可简化表示为

Cd(α)=k(d,α)Cd(0).

(8)

(8)式中，k(d,α)>1，则Cd(α)>Cd(0)，结合(6)式可得D(α)

(9)

(9)式中，由于k(d,α)>1且为偶函数，则δ(d,α)<0且为偶函数，表明传感器参数一定时，α引起的测量相对误差大小由d及α决定，且相对误差大小与α方向无关。

若以图3(b)中的α方向为正方向，当R=3.5 mm时，求得不同d下δ(d,α)随α(计算步长为1′)的变化规律如图4所示。

由图4可见，当d不变时，δ(d,α)随|α|值的增大而逐步减小，且d越小，δ(d,α)减小的速度越快。表明极板间距越小，极板不平行误差对极板夹角变化越敏感。

3 极板不平行误差标定方法

标定前，首先根据标定要求确定待标定量。然后根据待标定量确定标定原理，设计标定实验装置。

3.1 待标定量

(10)

式中：w/2(1/cosα-1)为宽度余弦误差。综合(9)式和(10)式，DII可表示为

(11)

(12)

3.2 标定原理

(13)

(14)

(15)

即当L=0 mm时，保持极板间距不变，传感器测量值的减小量与旋转角方向无关，减小量的大小为宽度余弦误差与极板不平行误差之和；当L≠0 mm时，ΔD不是α的偶函数。

基于以上特性，通过ΔD关于α的对称性可调节L到零位置，从而避免了L难以精确测量的问题，同时还可以据此将极板调节到平行状态，解决极板的初始平行问题。

3.3 实验装置及实验步骤

设计的标定实验装置如图6所示，整个标定实验在光学平台上进行。该装置的原理为：通过调节模块改变测量目标与传感器探头之间的相对位置后，传感器探头与测量目标之间的电容值便发生变化。电容信号先经过前置放大器放大，再经过控制器处理形成数字位移信号输入计算机中，计算机接收、显示并存储位移数据。实验中计算机置于光学平台外，以减小操作计算机引入的干扰噪声。

调节模块由光学调整元件组成，直线位移台(分辨力10 μm)用于极板间距及位移测量臂长的调节，旋转位移台(分辨力2′)用于极板夹角的调节，倾斜位移台(分辨力2′)用于初始俯仰角归零调节。测量目标(铝块，宽度w=20 mm)与探头通过光学连杆固定在位移台上。待标定传感器量程Dr=1 mm，动态分辨力30 nm，极板半径RS=5 mm(包括电场屏蔽环)，有效测量半径R=3.5 mm.

4 标定实验结果及分析

由于α的调节步长越小，得到(α,D(α))数据点越多，标定精度越高，但调节步长过小，α调节精度受限且调节时间较长，综合考虑标定精度及α调节精度后，本文选择0.5°为调节步长。

4.1 实验结果

细调L，最终得到如图9所示具有对称性的传感器输出值，图中|D(α)-D(-α)|≤0.24 μm，可见D(α)=D(-α)，表明此时完成了L=0 mm的调节。

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表时传感器极板不平行相对误差标定值与理论值比较Tab.1 Comparison of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for

表2 不同下极板不平行误差标定值与理论值的相对偏差Tab.2 Relative deviation of theoretical and calibrated values of plate non-parallelism error for different

标定得到η(d,α)后，即可进行极板不平行误差分析。

4.2 极板不平行误差分析

(16)

根据标定结果η(d,α)=(1±17.4%)δ(d,α)对图11进行修正。η(d,α)=(1+17.4%)δ(d,α)时，整个α范围内极板不平行误差最大，对应的γp值分布如图12所示。由图11可得，α<0时γp>0，α>0°时γp<0，表明极板不平行误差的存在使得位移测量值在扭转角为负向时偏大，而在扭转角为正向时偏小。对比图11可知：当α接近最小值时，γp的最大值增大到3.25%，但未超过4%；当α接近最大值时，|γp|值逐步增大到0.04%，与传感器的线性度误差达到相同量级[11]，表明极板不平行误差是电容位移传感器响应位移测量精度的主要因素之一。

根据标定结果得到极板不平行误差与扭转角的变化规律后，下面进一步分析极板不平行误差对推力测量精度的影响。

4.3 极板不平行误差对推力测量精度的影响

根据(2)式，位移测量误差EΔD对应的推力测量误差EF为

(17)

结合(2)式，可得极板不平行误差对应的推力测量相对误差γF为

(18)

(18)式表明，极板不平行相对误差与其对应的推力相对误差大小相等，减小极板不平行误差能够直接提高推力测量精度。根据图12的结果，γp在横梁接近正向最大转角时最小，因此在测量位移时应选择与图2相同的位移测量方向，使得横梁稳态转角在远离传感器探头以减小γp，在该测量方向，|γp|<0.04%，结合(18)式，对应有|γF|<0.04%.

对于标定实验中的传感器，若推力作用力臂l=300 mm、枢轴刚度系数k=0.16 N/rad，则由(2)式及图12中的结果可得不同|γF|及对应的稳态转角α值，如表3所示(计算步长2′)。

表3 不同稳态扭转角下推力值及极板不平行相对误差Tab.3 Relative errors of thrust and relative non-parallelism at different steady-state torsion angles

表3只是传感器有效半径R=3.5 mm时α与|γF|的对应关系，实际中常会根据测量位移的大小选择不同R值的传感器。在扭摆参数不变时，同样测量689.8 μN对应的0.074°稳态转角，不同R值的传感器得到的|γF|理论值如表4所示。

由表4可知，传感器R越大，|γF|越大，且|γF|的增大倍数约为R增大倍数的2倍，表明在满足扭转角量程的前提下，应尽量选取R较小的传感器。根据(18)式可进一步推断出：对于689.8 μN大小的推力，若要推力测量精度达到微牛以下量级水平，要求|γF|<0.15%，R<7 mm.

表4 不同传感器有效半径下推力测量相对误差对比Tab.4 Comparison of relative error of measured thrust for different active measuring radii

以上分析均基于扭摆测量系统，对于其他测量系统，测量原理基本都是由测量装置中的弹性元件提供回复力与推力平衡，推力与弹性元件形变量也是线性关系，因此(18)式中的γF=γp仍然成立。对于部分由测量元件重力提供回复力的系统，如吊摆结构，测量原理[15]为

FLF=mgLmsinα，

(19)

式中：F、LF分别为推力及推力力臂；m、g、Lm分别为测量元件质量、重力加速度及重力力臂；α为扭转角。由于α取值为10-3rad，sinα/α-1的数值为10-7量级，可认为sinα=α，进而有FLF=mgLmα，同样有γF=γp. 综上所述，本文关于基于扭摆系统的分析结果也适用于其他结构测量。

5 结论

1)极板不平行误差与极板夹角及极板的间距大小有关，夹角值越大，间距越小，误差越大。极板不平行误差实际值与理论值的相对偏差与极板间距及极板倾角无关。

2)当横梁转动到接近传感器最大角度时，极板不平行误差显著增大。在远离传感器的最大角度时，极板不平行的相对误差逐步增大，数值上比远离传感器最大角度位置的相对误差小2个数量级。因此测量时应使传感器与横梁的稳态位置位于初始位置的对称位置。

3)极板不平行相对误差与其对应的推力相对误差大小相等。推力相对误差的增大倍数是有效极板面积增大倍数的2倍。因此，在满足量程的前提下，应选择有效极板面积较小的传感器。

本文的研究结果为测量结构参数设计、传感器参数及位移测量位置的选择进而提高推力测量精度提供了一定的依据。提高标定精度并采用拟合等方法处理标定结果，是下一步需要改进的地方。

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