垂径定理牵手勾股定理

2018-05-09 06:08唐雪锋
数理化解题研究 2018年5期
关键词:油面典例油槽

谢 勇 唐雪锋

(湖北省枣阳市兴隆一中 441218)

典例(人教版数学教材九年级上册第83页练习第1题)如图1,在⊙O中,弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的距离为3 cm.求⊙O的半径.

解过点O作OE⊥AB,E为垂足,连接OA.

在Rt△AEO中,∵OE2+AE2=OA2,

∴⊙O的半径为5 cm.

规律解题过程中涉及垂径定理和勾股定理.在图1中,OA是半径,我们把OE叫做弦心距(即圆心到弦的距离),AE叫做半弦,求解与垂径定理相关的圆类计算问题时,通常需要把相关数量集中到由它们所组成的直角三角形中,运用勾股定理解决.

思考1 将条件与结论互换位置思考.如图2,⊙O的半径为5 cm,CD为直径,弦AB⊥CD于点E,OE=3 cm,求弦AB的长.

点评典例是已知半弦、弦心距,求圆的半径问题,而本题是已知半径、弦心距,求半弦的问题.探究几何问题的一种常用方法就是象这样,将已知条件与结论互换位置思考.另外,比较图1和图2,发现在解决有关弦的问题时,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.

思考2 变换条件思考.如图3,在⊙O中,弦AB的长为8 cm,点C在⊙O上,且OC⊥AB,垂足为点E,若CE=2 cm,求⊙O的半径.

点评和典例相比,它们均是在同一个直角三角形中运用勾股定理计算求解.所不同的是,本题构建的是弦长、半径、弦心距等数量间的方程模型,这和课本第82页的例题解法是一样的.

思考3 将静止图形动态化思考.如图4,⊙O的直径为10 cm,弦AB的长为8 cm,E是弦AB上的一个动点,那么OE的长的取值范围是____.

分析求OE的长的取值范围,实际上就是找OE的最大值和最小值,弦上的点与圆心的距离的最大值就是该圆的半径,而最小值是弦心距.

点评动态化思考图形,可多取几个点E,并将它与圆心连接起来,比较后,会发现其中蕴含着垂线段最短的数学道理.

小结如图5,在⊙O中,OC⊥AB于点D,AB=l,OA=R,OD=d,CD=h,根据OA2=AD2+OD2及OC=OD+CD,当知道l、R、d、h中的任意两个量时,就可以求出剩余的两个量.

拓广探索如图6,在圆柱形油槽内装有一些油,截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为____分米.

解取油面AB上升1分米到达A′B′的位置,过点O作OC⊥AB于点C,交A′B′于点D,连接OB,OB′.

∴AB=6,A′B′=8,CD=1.

由勾股定理,得OB2=OC2+CB2,OB′2=OD2+DB′2.

而OB=OB′,OC=OD+CD=OD+1,

∴(OD+1)2+32=OD2+42,解得OD=3.

∴MN=2OB′=10(分米).

故答案填10.

点评这是一道与圆有关的实际应用题,求解关键是从中构建如典例1那样的基本图形,综合运用垂径定理和勾股定理构建方程求解.

参考文献:

[1]姜晓翔.基于“自主变式” 引发“生本探究”[J].中国数学教育(初中版),2016(10):15-17.

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