低快拍下模糊径向基神经网络波束形成算法*

冯晓宇 ，谢军伟 ，张 晶 ，王 博

（1.空军工程大学防空反导学院，西安 710051；2.陕西交通职业技术学院，西安 710018）

0 引言

自适应波束形成技术在雷达、声纳、无线传感器通讯、语音阵列信号处理及医学成像等领域的应用日益广泛［1］。但在工程实际中，期望信号指向误差、阵元位置误差以及阵元幅相误差等非理想因素都会造成波束形成算法的性能下降。快拍数作为一种重要的信号处理资源，对于波束形成器的性能有着极大的影响。实际中，在接收数据维数较大等情况下，接收数据的采样快拍数都不会很高。针对波束形成器的稳健性提高问题，近年来文献中提出了许多算法，如子空间投影算法［2］以及各种对角加载方法［3-5］等。但是这些波束形成器在低快拍情况下性能急剧下降，当快拍数低于阵元数时，部分算法完全失效。本文在对低快拍下MVDR算法协方差矩阵进行修正的基础上，引入模糊RBF网络逼近算法权矢量。舍弃矩阵求逆运算，改为采用神经网络实现从阵列协方差矩阵到最优权矢量的非线性映射过程。此外，通过搜索方法求得真实的期望信号导向矢量。最后，仿真验证了算法的有效性。

1 研究背景

1.1 LCMV波束形成

设L个互不相关的窄带信号入射到阵元数为M（L＜M）的等距线阵上，包括一个期望信号和M-1个非期望信号，入射角方向分别为 θ1，θ2，θ3，…，θL。对阵列接收数据进行采样，则第k次采样数据表示为：

式中，s1（k）表示期望信号的复包络，si（k），i=2，…，L表示非期望信号的复包络，a（θi）表示入射角为θi的信号导向矢量，N（k）为噪声矢量。当期望信号、干扰和噪声互不相关时，接收数据的相关矩阵的理论表达式为：

其中，Rs、Ri和Rn分别为期望信号、干扰信号和噪声的相关矩阵。上标H表示共轭转置。

波束形成器的输出可表示为：

其中，w表示权矢量。

实际中，阵列接收数据的协方差矩阵可通过快拍数得到：

线性约束最小方差准则（LCMV）实际上是求解如下约束问题：

低快拍情况下，期望信号、干扰和噪声相互间的相关性增加，互不相关的假设不再满足，则

1.2 径向基（RBF）神经网络结构分析

20世纪80年代末，J.Moody和C.Darken率先使用径向基函数方法这一高维空间差值技术，提出了神经网络学习的新手段。神经网络是一种包含输入层、径向基隐层和线性输出层的前馈反向传播全局逼近网络结构。图1为多输入单输出的RBF网络结构图［6］。

将常规的神经网络赋予模糊输入信号和模糊权值，可构成模糊RBF神经网络，从而实现了学习能力强的RBF神经网络与推理能力强的模糊系统的结合［7］。模糊RBF网络的可调参数包括隐层节点的中心、宽度和输出层权值，可采用梯度下降法进行网络参数学习。为获取满意的逼近度，采用误差的绝对值指标作为参数选择的最小目标函数，即

式中，N为逼近的总步数，e（i）为第i步网络的逼近误差。

2 低快拍下的协方差矩阵修正

在低快拍情况下采样协方差矩阵的失配主要表现为小特征值的扩散［8］，文献［9］中采用单位阵I和采样协方差矩阵的凸线性组合来估计协方差矩阵，。

最小化可得：

3 低快拍下模糊RBF波束形成算法

权矢量可看作是协方差矩阵的一个非线性函数，求解权矢量的过程涉及矩阵求逆运算，其运算量与阵元数呈平方关系。文献［10］将协方差矩阵以列向量的形式输入RBF神经网络，对其加以训练，逼近MVDR算法的权矢量，避免了矩阵求逆运算，降低了算法复杂度、减少了计算量。本文在协方差矩阵修正的基础上，在波束形成中引入学习能力强且推理能力强的模糊RBF神经网络求解权矢量，算法结构如图2所示。

假设阵元数为N，则输入层有N个节点、模糊化层有M个节点、模糊推理层有L个节点、输出层有N个节点。模糊RBF神经网络的输入层信号为阵列接收信号的协方差矩阵 R1，R2，…，RN。

其中，输入层各个节点与经过修正的协方差矩阵的各个分量R1，R2，…，RN相连接，将输入量传到下一层。对该层的每个节点i的输入输出表示为：

模糊化层的每个节点具有隶属函数的功能，采用高斯函数作为隶属函数。对第j个节点：

其中，cij和bj分别是第i个输入变量和第j个模糊集合高斯函数的均值和标准差。

模糊推理层通过与模糊化层的连接实现模糊规则的匹配，其每个节点的输出为该节点所有输入信号的乘积：

网络输出层每个节点的输出为该节点所有输入信号的加权和，即

式（17）中，N为输出层节点数，w为输出层与模糊推理层各节点之间的连接权矩阵。而f4就是逼近后的MVDR算法权矢量。模糊RFB网络逼近结构如图3所示。

调整输出层权值：

输出层权值学习：

式中，η 表示学习速率，α 为动量因子 η∈［0，1］，α∈［0，1］。

隶属函数参数调整：

隶属函数的参数学习过程：

在波达方向估计存在偏差，假定导向矢量及真实导向矢量失配的情况下，可通过搜索方法求得真实的导向矢量，由文献［11］可得如式（24）约束条件：

其中

假设阵列接收信号的角度θ从-90°～90°变化，取间隔为1°，可以产生181对训练样本数据，取一部分训练样本用来训练模糊RBF神经网络。采用K-均值聚类算法把训练样本分成k类，高斯函数中心c（k）取第k类的聚类中心矢量，取该中心与其他聚类中心的最小距离为高斯函数方差σ（k）。接着对模糊RBF神经网络进行学习，确定模糊推理层到输出层的连接权值，就此确定模糊RBF神经网络。经过训练学习之后的模糊RBF神经网络，将获得的MVDR算法的最优权矢量存储起来，之后模糊RBF神经网络就可以工作了。

4 仿真及实验验证

实验1 8阵元的等距线阵，期望信号入射角度为 0°，信号功率 10 dB，干扰角度为 -10°和 30°，噪声功率0 dB，快拍数20时3种算法归一化后的阵列响应方向图如图4所示。

低快拍数情况下，协方差矩阵和导向矢量出现失配，从而导致主瓣畸变、旁瓣升高等问题。低快拍情况下，MPDR波束形成器等价为MVDR波束形成器加期望信号导向矢量的扰动，这会引起MPDR算法性能的进一步下降。由图4可以看出，MVDR算法会出现性能下降，MPDR算法基本完全失效，而模糊RBF神经网络仍可快速逼近权矢量，形成阵列方向图。计算时间方面，MVDR及MPDR算法仿真耗时分别为0.963s及0.765s，本文算法仿真耗时为0.545s。

实验2 8阵元的等距线阵，期望信号入射角度为0°，假设期望信号存在Δθ=10°的角度指向误差，信号功率10dB，干扰角度为20°和60°，噪声功率0 dB，快拍数20时归一化后的阵列响应方向图如图5所示。从图5的方向图可以看出，低快拍下两种算法在干扰位置都形成了零陷，但由于导向矢量及协方差矩阵的失配，MVDR算法波束指向在误差方向上。低快拍情况下基于LCMV准则的两种算法都不具备对误差的稳健性。

5 结论

针对稳健自适应波束形成算法在低快拍数情况下性能下降明显的缺陷以及权矢量解算过程中协方差矩阵求逆运算量大的问题，对低快拍下最小方差无失真响应（MVDR）算法的协方差矩阵进行修正。在此基础上，引入模糊RBF网络逼近算法权矢量，通过神经网络实现从阵列协方差矩阵到最优权矢量的非线性映射，从而避免了矩阵求逆运算。此外，通过搜索方法解算导向矢量，使得改进算法能在存在期望信号指向误差时保持良好的波束赋形。仿真结果验证了相关结论。

参考文献：

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