改进Chirplet时频原子的非线性调频信号分解

呙鹏程， 王 星， 程嗣怡， 汪 峰

(1. 空军工程大学 航空航天工程学院，陕西 西安 710038；2. 空军驻上海地区军事代表局，上海 200000)

改进Chirplet时频原子的非线性调频信号分解

呙鹏程1， 王 星1， 程嗣怡1， 汪 峰2

(1. 空军工程大学 航空航天工程学院，陕西 西安 710038；2. 空军驻上海地区军事代表局，上海 200000)

针对Chirplet时频原子对正弦类型的非线性调频信号的分解性能较弱的问题，提出一种改进的Chirplet时频原子．首先从理论上分析Chirplet时频原子对正弦类型的时频分布的失配问题，其次在Chirplet时频原子中加入正弦调频因子，使原子的时频曲线产生类正弦形状的弯曲性能，最后使用遗传算法代替匹配追踪算法，提高原子搜索效率．仿真实验结果表明，改进的Chirplet原子对于非线性调频信号的分解性能与Gabor、Chirplet和FMmlet原子相比，有了较大的提升．

时频原子;非线性调频信号;时频分布;遗传算法

随着低截获概率(Low Probability of Intercept， LPI)[1]雷达技术的飞速发展，LPI雷达信号具有高分辨、低截获、时宽带宽积大和抗干扰能力强等特点，在超视距雷达、火控雷达、制导雷达等雷达中逐渐得到应用[2]．其中非线性调频信号(Non-Linear Frequency Modulated Signal， NLFM)因具有距离旁瓣低以及不需要加权抑制时间旁瓣等优点[3]，已成为低截获概率雷达中常用的雷达信号类型．

文献[4]于1993年提出的时频原子方法被广泛用于通信、机械、医学等领域．近年来，国内外学者通过时频原子对雷达信号特征提取方面进行研究[5]，使用时频原子提取特征的前提是需要将雷达信号进行有效的原子分解，主要针对的是常规脉冲(Conventional Pulse，CP)、线性调频(Linear Frequency Modulated，LFM)信号、频率编码信号(Frequency Shift Keying，FSK)、二相码信号(Binary Phase Shift Keying，BPSK)以及多相码信号(M-ary Phase-Shift Keying，MPSK)，却较少提及NLFM信号，原因在于: 对于常规脉冲，其频率是不变的; 对于线性调频信号，其频率变化呈线性; 对于频率编码信号，其频率变化呈跳变，但每一跳变处频率是不变;对于二相码和多相码信号，其频率也是不变的，只是相位发生改变，因此使用Chirplet原子分解得到的效果较好，有利于从原子中得到反映信号的细微特征，然而，Chirplet原子对具有非线性时频分布的信号分解的效果较差，细微特征表征不明显; 为了满足分解残差的要求，会造成分解得到的原子过多，这将大大增加原子搜索的时间，并且在信号重构的过程中会产生较大的误差[6]．

针对上述问题，笔者提出一种改进的Chirplet原子(Improved Chirplet atom， IChirplet)来提高对非线性信号的分解能力．在Chirplet原子中引入正弦调频因子，使原子的时频曲线产生类正弦形状的弯曲性能，与使用较为广泛的正弦类型NLFM信号的时频分布相匹配．从理论分析和实验结果表明，IChirplet原子能较为有效地提高对NLFM信号的分解能力，扩展了Chirplet原子对信号分解的适用性．

1 非线性调频信号

非线性调频信号指的是脉冲内频率随时间呈非线性变化的信号，不含相位、幅度调制，并且频率调制主要以正弦调频的形式居多，其数学模型为

s(t)=Aexp[j2π(fct+mfsin(fmt)+θ0)] ,

(1)

其中，A为NLFM信号的幅度，fc为中心频率，fm为调制频率，mf为调制指数，θ0为初始相位．信号的瞬时频率为

fSFM=(1/(2π)) (dφ(t)/dt)=fc+Δfcos(fmt) ,

(2)

其中，Δf为调制频偏，mf=Δf/fm．

在时频分析理论中，基于平滑伪Wigner-Ville分布[7](Smoothed Pseudo Wigner-Ville Distribution， SPWVD)是一种可以反映信号时频聚集性能和时频关系的时频分析方法，因此在文中使用SPWVD时频变换来展示信号的时频特点．图1为NLFM信号的时域形式以及通过SPWVD变换的时频域形式．

图1 NLFM时域与时频域形式

2 改进Chirplet时频原子

2.1 Chirplet原子对非线性调频信号的失配分析

Chirplet原子是继Gabor原子之后应用最为广泛的一类原子，在Gabor原子的基础上增加了一个一维调频参数，使得Chirplet原子对线性调频信号具有良好的匹配效果，其表达式为

(3)

图2 多段线性线段拟合正弦曲线

其中，γ=(s，u，ξ，c)，是原子参数集；s是伸缩尺度;u是位移因子，也即时间中心;ξ是调制因子，也即频率中心;c为线性调频因子，反映信号频率随时间变化，g(t)为高斯窗函数．

由Chirplet原子表达式可知，原子信号的频率与时间呈线性变化的规律，从而基于Chirplet原子的信号分解相当于使用任意斜率、不同长度的线段去逼近时频域上的信号能量曲线，因此该原子对线性调频信号具有较强的匹配能力，而对于非线性调频信号，图1(b)反映了其信号的时频分布呈正弦形式，在直接使用线性时频原子进行匹配时则可能会出现失配问题．图2给出由8个线性线段拟合正弦波形的示意图，假设图中每条线段代表一个Chirplet原子．由图可知，用8个线性线段拟合的正弦波形与原信号相比，波形形状存在较大的差异，从而重构的误差较大．若要降低拟合曲线的误差，使重构的信号更接近原始信号，则需要将8个线性线段分解成更多的线段，即需要更多的原子进行连接组合，在同一种跟踪匹配算法下，这又将消耗更多的时间进行原子搜索与匹配，以达到重构精度的要求．

2.2 改进Chirplet原子

根据傅里叶理论，周期或非周期函数都可以在一定区间内展开成为傅里叶级数的形式，即由无穷多个正弦或余弦或正、余弦结合的形式表示．因此，在图1中，如果将线段变换成为正弦或类正弦的曲线，使线性线段具有不同的弯曲程度，这将使用更少的线段取得较高的拟合精度，有效解决Chirplet原子的失配问题．结合Chirplet原子公式，在产生线性调频因子 (1/ 2c(t-u)2) 上，乘以一个正弦调频因子 (1+ sin(wf(t-u)+θf))，使Chirplet原子的时频分布不再保持直线，而是会根据因子的大小产生不同程度的弯曲，从而改善Chirplet原子对非线性调频信号的匹配性能．改进的Chirplet原子公式为

(4)

改进Chirplet的原子参数集r=(s，u，ξ，c，μ，wf，θf)，其中s、u、ξ、c的含义与Chirplet原子参数含义一致，g(t)为高斯窗函数．定义 (1+μsin(wf(t-u)+θf)) 整体为正弦调频因子，其中μ为正弦调频系数，wf为正弦调制角频率，θf为调制初始相位．当μ=0 时，IChirplet原子则转化为原始的Chirplet原子．

按照式(2)进而求得IChirplet原子的瞬时频率

其中，在瞬时频率中，c(t-u)·(1+μsin(wf(t-u)+θf))部分称为主弯曲因子，表示该部分主要控制着线性调频部分 (c(t-u)) 的弯曲程度，使线性调频部分具有类似正弦的弯曲性质，1/ 2c(t-u)2(μwfcos(wf(t-u)+θf)) 部分称为弯曲度改善因子，对主弯曲因子产生的弯曲程度进行调整．

基于IChirplet原子的信号分解相当于使用由正弦函数产生弯曲程度不同的曲线去逼近时频域上的信号能量曲线．在运用时频原子字典稀疏分解雷达信号时，选用原子的实部进行稀疏分解，IChirplet时频原子的实部可表示为

(6)

根据文献[8]提出的近似最优离散方法，将原子参数集r进行离散化为

r=(s，u，ξ，c，μ，wf，θf)=(aj，pajΔu，ka-jΔξ，la-2jΔc，ma-2jΔμ，a1-jΔw，hΔθ) ,

(7)

其中，原子参数集中a=2， Δu=1/2， Δξ=Δc=Δμ=Δw=π， Δθ=π/6．各参数范围为: 0

下面从原子的时频聚集性来反映原子对于调频雷达信号的匹配特点．

将Gabor原子、Chirplet原子以及FMmlet原子与IChirplet原子在时频域上进行对比，观察原子的时频曲线并分析原子的对调频雷达信号的匹配性能．其中FMmlet原子是文献[9]于2002年提出在Chirplet原子的基础上增加指数调频参数，使用任意斜率的指数函数来逼近非线性信号在时频域上的能量曲线，使Chirplet原子获得匹配非线性频率信号的性能，是Chirplet原子一项重要的改进．图3为4种原子的SPWVD图．

图3 4种原子的SPWVD图

由图3可以看出，Gabor原子频率不随时间变化; Chirplet原子的频率与时间呈线性变化; 改进原子FMmlet在时频域上显示出非线性的变化，时间与频率呈现弯曲曲线的关系，但在能量集中部分的弯曲程度不够明显; 与FMmlet原子相比，笔者提出的IChirplet原子的时频曲线弯曲性能较好，能量集中部分弯曲程度比较明显，这是因为正弦调频因子比FMmlet原子中的指数调频参数对曲线的弯曲改善性能更优．

易知在正弦函数中，角频率越大，函数周期越短，则函数“振荡”程度越大，因此正弦调频因子 (1+μsin(wf(t-u)+θf)) 中wf为正弦调制角频率，影响着线性调频的弯曲程度．图4为正弦调制角频率wf分别取0.5，1，1.5，2.0时，IChirplet原子时频的变化情况．当wf逐渐增大，正弦调频因子中正弦函数“振荡”的程度逐渐大，原子时频分布的弯曲程度也逐渐大．而从图1(b)可看出，NLFM信号的时频曲线各个部分的弯曲程度不一样，因此由wf产生不同弯曲程度的原子时频分布可以更适合匹配NLFM信号各弯曲部分，这也是wf变化的优势．

图4 wf取不同值下的IChirplet原子时频图

3 仿真分析

为验证IChirplet原子与其他3种时频原子对非线性调频信号的分解能力，仿真测试在个人电脑(Personal Computer，PC)上进行，实验环境为: 中央处理器(Central Processing Unit，CPU)主频为 3.30 GHz，内存为 4 GB，Win7、32位操作系统．NLFM雷达信号样本通过Time-Frequency Toolbox产生，参数设置如下: 中心频率为 120 MHz，采样频率为 500 MHz，脉宽为 200 μs，调制指数为5，调制频率为 14 MHz，初始相位为 5 rad．

传统原子搜索的主要算法为匹配跟踪搜索法，该算法在每一次分解中需要遍历字典中的所有原子，选择与原信号最匹配的原子进行分解，搜索过程中采用贪婪算法得到的精度虽然高，但是计算效率低，实时性不高．由于智能算法在寻优方面相对的高效性，采用智能算法可将搜索效率大幅度提升．因此，为加快原子搜索效率，将文献[10]的遗传算法代替原始的匹配跟踪算法，缩小原子库的搜索范围，减少贪婪迭代的次数，加速残差收敛进程．其中遗传算法的设置为:染色体对数为500对，遗传代数取50代．

根据原子分解的原理，定义每一次分解后的残余信号能量与原始信号能量的比值为残余能量比，用C(k)表示，即

C(k)=(En(k)/E)×100% ,

(8)

其中，En(k)表示第k分解后的残余信号的能量，E表示原始信号的能量．残余能量指的是某一原子对信号匹配上后信号能量减去该原子能量得到信号剩余的能量．在匹配过程中，原子对信号匹配的越好，信号残余能量越小，则残余能量比也越小．

图5 原子对信号的分解性能对比

图5展示了4种原子在分解过程中，残余能量比的变化情况．由图可知，随着分解次数的增加，残余信号的能量逐渐减少．其中，Gabor原子与Chirplet原子对于非线性调频信号的分解能力几乎一致，原因在于这两种原子的时频分布都是线性的，在匹配非线性信号时频分布的过程中，产生的性能以及发挥的效果相差不大．而FMmlet原子相对于具有线性时频分布的原子来说，分解效果有了一定的提高，而IChirplet原子的分解效果最好，原因在于FMmlet原子增加的是指数因子，其时频分布的弯曲程度和形式与NLFM信号的时频分布具有一定的差异，而IChirplet原子增加的是正弦调频因子，能够较好地匹配并分解具有正弦调频的信号样式，因此性能好于其他3种原子．

表1反映了不同原子在分解过程中到达不同残余能量比时所得到的原子个数、消耗的时间(单位为s)以及重构误差．从表中可以看出，在不同的残余能量比下，Gabor原子与Chirplet原子分解得到的原子数几乎是一样，这与图5分析的结果是一致的，而IChirplet原子由于匹配性能较好，分解得到的原子是最少的．虽然给出的IChirplet原子参数较多，在一定程度上比参数少的原子类型消耗的时间多，但由于智能算法对参数是同时进行搜索的，并且由于参数的范围大致一样，所以搜索的范围也基本相同，同时文中方法对NLFM信号的匹配程度强，在到达相同残余能量比的情况下，文中方法匹配得到的原子数比其他方法要少，即搜索的次数变少，因此这在很大程度上弥补了参数多的劣势．而重构误差可以反映原子中各参数分解的平均性能，从表1中在4种原子对信号重构误差对比可知，IChirplet原子参数的分解性能依然占有一定的优势．

表1 4种原子性能对比

图6 不同信噪比下IChirplet分解性能

实际情况中，信号不可能是纯净的，而是会被噪声污染的．为反映在不同信噪比下原子对信号的分解能力，分别给NLFM信号加上信噪比为 0 dB、5 dB、10 dB、20 dB 的高斯白噪声，并且定义信噪比下残余能力比为CSNR(k)，

CSNR(k)=(ESNR(k)/ES)×100% ,

(9)

其中，ESNR(k)表示加噪声下第k次分解的残余信号能量，ES表示原始纯净信号的能量．当噪声较大，分解次数少的情况下，加噪信号的能量依然会大于原始纯净信号的能量，这时信噪比残余能量比值会大于1．

图6展示了不同信噪比下IChirplet原子对NLFM信号的分解性能．可以看出，信号在 0 dB 下，由于噪声强度与信号强度一致，导致在分解次数较少的情况下，原子对噪声信号的分解还不够，从而信噪比下残余能量比处于较高的值．在信噪比处于 5 dB 以上时，原子的分解性能基本保持一致．随着分解次数增加，当分解次数到达50次时，4种信噪比下的残余能量比都处于5%以下．

4 结 束 语

文中提出了一种对非线性信号分解的改进Chirplet原子．与传统的Chirplet原子相比，改进Chirplet原子增加了正弦调频因子，改善原子时频分布曲线的弯曲性能，提高了Chirplet原子对非线性信号的分解性能，并且采用遗传算法代替跟踪匹配算法，提高搜索效率．实验结果表明了该改进原子相比于Gabor，Chirplet，FMmlet原子在分解性能方面有了较大的提高，并在 5 dB 信噪比以上可以保持稳定的分解能力．

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Non-linearfrequencymodulatedsignaldecompositionbasedontheimprovedchirplettime-frequencyatom

GUOPengcheng1，WANGXing1，CHENGSiyi1，WANGFeng2

(1. Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering Univ., Xi’an 710038, China; 2. Air Force Area Military Representatives Bureau in Shanghai, Shanghai 200000, China)

Regarding the deficiencies that the Chirplet time-frequency atom has weak decomposition performance to non-linear frequency modulation signal of a sine type, an improved Chirplet atom (IChirplet) is proposed. First, it is analyzed that the Chirplet atom has a mismatch with time-frequency distribution of the non-linear signal. Then, a sine frequency modulation factor is introduced into the Chirplet atom to make the atom time-freqency curve have sine similarity bending performance. Finally, the matching pursuit algorithm is replaced by the genetic algorithm to improve the efficiency of atom searching. Simulation results show that the improved Chirplet atom has better decomposition performance to the non-linear frequency modulated signal compared with the Gabor, Chirplet, and FMmlet atom.

time-frequency atom; non-linear frequency modulated signal; time-frequency distribution; genetic algorithm

2017-01-08

时间：2017-06-29

航空科学基金资助项目(20152096019，20145596025)

呙鹏程(1993-)，男，硕士，E-mail: 15229005072@163.com．

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20170629.1735.044.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2018.01.022

TN97

A

1001-2400(2018)01-0123-06

(编辑： 王 瑞)