经验模态分解构造观测矩阵的方法

刘学文， 肖 嵩， 薛 晓

(西安电子科技大学 综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710071)

经验模态分解构造观测矩阵的方法

刘学文， 肖 嵩， 薛 晓

(西安电子科技大学 综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710071)

为了大概率地保持信号信息的完整性，观测矩阵被设计得倾向于随机矩阵．但这种随机性也导致有用的信息和无用的信息被接近等概率地测量，降低了感知效率．为了提高观测效率，提出了利用参考信号进行经验模态分解构造观测矩阵的方法——本征模函数循环矩阵．基于Geršgorin圆盘定理证明了该矩阵满足约束等距性条件．以信号降噪效果为衡量标准，仿真了该矩阵的信号降噪过程，结果表明，为参考信号添加一定程度的噪声后形成的观测矩阵，对降噪有更佳的效果; 对于含噪信号与参考信号在时域有错位的情况，虽然在时域上的降噪效果与理想情况有明显的降低，但仍能够更好地凸显信号的频域特征，具有实用价值．

观测矩阵;压缩感知;信号降噪;稀疏重构;循环矩阵

在压缩感知理论中，由于并不能预先知道K稀疏信号x在其稀疏变换域中K个分量的具体位置，因此，观测矩阵Φ往往被设计得更倾向于随机矩阵，使得测量具备普适性(测量通带宽)，才能保证x中的重要信息能被公平地测量到，才能大概率地保持信号信息的完整性．但是，随机性导致有用的信息并未被着重测量，而无用的信息被多次测量，这也是为了实现高精度重构，所需测量次数比K大很多的原因之一．同时，实际测量中因为压缩测量，能量不可避免地损失，而当能量损失到一定程度时，信息损失也不可避免．

理论上讲，由于高斯随机矩阵和伯努利随机矩阵中的元素都是独立同分布的，因此，与任何信号或者正交基的相关性很小．经过学者证明，对于任意信号，这两种矩阵具有接近最优的观测性能，但是其缺点在于存储复杂度和计算复杂度．多年来，研究者们提出了多种观测矩阵[1-2]，改进和优化主要面向:能够达到尽量少的观测次数;结构尽量简单、稀疏(降低存储和计算复杂度);易于硬件实现．改进型观测矩阵主要分为部分随机矩阵、结构化矩阵和确定性矩阵．典型的有:局部傅里叶矩阵[3]和局部哈达玛矩阵[4]系列，这一系列矩阵的构造方式是随机选取正交变换矩阵的某些行，其优势在于每个矩阵元素都有固定的计算公式;托普利兹矩阵和循环矩阵[5-6]系列，这一系列矩阵将线性系统中的卷积以及循环卷积计算应用于观测矩阵设计，结构化矩阵在满足观测要求和降低随机性方面进行了折中；基于编码理论的低相关性确定性矩阵[7]，确定性矩阵易于硬件实现，这一系列矩阵基于信源编码或信道编码中的数学工具，能保证设计的矩阵有很小的列相关性．但缺点在于受到复杂数学运算和各种约束，往往只能构造出维数比较小的矩阵．

研究表明，结合信号先验知识设计匹配的测量矩阵[8]，使得恢复性能有明显提升:如果已有信号模板(如主动探测等应用)或有大量的相似训练信号(如诱发脑电等应用)，则根据信号的特征指导观测矩阵的构造[9-10]; 又或以某个参量作为衡量标准，在观测过程中根据待测信号的变化进行自适应地调整，压缩感知的压缩性能应该可以得到提高．文献[11]提出在压缩感知编码中若能够使用边信息(与待处理信号类似的信号)，利用该信息构造观测矩阵，可以大大减少测量次数．在文献[12]中，以微分熵来表征压缩感知解的可信度，以微分熵下降是否最快来衡量在下一次迭代中所选的观测矩阵，该方法优化了观测矩阵，同等测量次数下比随机观测矩阵的重构性能有很大提高．在文献[13]中以两次迭代中观测矩阵的互相关性为指标，以梯度下降算法优化观测矩阵，用以提高高光谱图像的重构精度．

笔者借鉴利用信号特征来构造观测矩阵的思想[14]，提出利用信号经验模态分解(Empirical Mode Decomposition， EMD)后得到的本征模态函数(Intrinsic Mode Function， IMF)，按照循环矩阵[15]的形式构建压缩感知观测矩阵．经理论证明和仿真，验证了其能够以较少的测量次数达到精确的重构概率和重构精度．

1 IMF循环矩阵的理论基础

1.1 经验模态分解

EMD假定信号是由有限个IMF叠加而成的[16]，IMF包含了信号不同时间尺度上的局部特征．IMF同时满足:局部极值点和过零点的数目相等或至多相差1个;在任意时刻，局部极大值所形成的上包络线和局部极小值所形成的下包络线平均值必须为零．不同IMF在同时段内没有相同的频率，彼此正交．

1.2 压缩感知

压缩感知理论是在2004年提出的: 如果信号本身或在某个变换域是稀疏的，那么可以利用一个观测矩阵对其进行观测降维．若该观测矩阵与信号的稀疏变换基不相关，则通过求解最优化问题，可以根据低维的测量向量，高概率地精确恢复原始信号[17]．

1.3 IMF循环矩阵的构造

(1)

2 IMF循环矩阵的约束等距性

合理设计的托普利兹矩阵[18]和循环矩阵[19]被证明满足约束等距性(Restricted Isometry Property， RIP)条件，证明都是采用矩阵奇异值估计中的Geršgorin圆盘定理: 首先给出待证明矩阵Φ的格拉姆矩阵G=A*A(A*为矩阵A的共轭转置矩阵)．证明若G的每个对角元素都以很高的概率接近于1，且每个非对角元素以很高的概率受限，则矩阵Φ的任意k阶子矩阵的奇异值都介于 ((1-δk)1/2，(1+δk)1/2)，即矩阵满足RIP条件．

IMF循环矩阵基于循环矩阵理念设计，具备循环矩阵的形式．因此，文中同样基于Geršgorin圆盘定理来证明其RIP性质．首先给出以下引理[19]．

引理1(Geršgorin圆盘定理)m×m阶矩阵A的特征值都分布于m个圆盘di=di(ci，ri)的并集中，其中，ci=Ai， i，ci为圆盘的圆心；ri= ∑ |Ai， j|，ri为圆盘的半径；Ai， i和Ai， j分别表示矩阵A的对角元素和非对角元素．

引理2 对于预设的0<δd，δ0，δk<1，且δk=δd+δ0，若矩阵A的Gramian:G=A*A(A*为矩阵A的共轭转置矩阵)的所有对角元素都满足 |Gi， i-1|<δd，同时，所有非对角元素都满足 |Gi， j-1|<δ0/k，则矩阵A满足RIP(k，δk)．证明过程参见文献[20]．

基于上述4个引理，给出以下关于IMF矩阵RIP性质的定理及证明．

证明 如式(1)所示的IMF循环矩阵可以看作是由单个循环矩阵纵向拼接而成．为了简单起见，假设Φ的行数m正好可以被p整除，即q=m/p，此证明结果可以推广到m不被p整除的情况．

(2)

各IMF分量是正交的，E[(aij)2]=(σj)2，且根据IMF分量的特点可知，(σ1)2>(σ2)2>…>(σp)2，k0=n，故有

则Φ的格拉姆矩阵所有对角元素应满足的条件为

(4)

下面证明非对角元素需满足的条件:Gi，j(i≠j)是Φ第i列与第j列的内积．即

(5)

其中，1≤e≤f≤n．Gi，j(i≠j)中的每一项均有一个与其他项重复的Φ的列．为了使用引理4，取q为偶数的典型情况，将Gi，j(i≠j) 分解成两部分的和，每一部分均不存在重复的Φ的列，即Gi，j=Gi，j1+Gi，j2，因此

(6)

(7)

在引理4中，令t=δ0/k，k0=n/2，有

(8)

由于Gi，j=Gj，i，且不相同的非对角元素的总数为(n2-n)/2

(9)

在引理2中，假设δd，δ0，δk∈(0，1)，δk=δd+δ0，令δd=2δk/(2+21/2)，δ0= 21/2δk/ (2+ 21/2)，则

(11)

(12)

Pr(Φ不满足RIP(k，δk))≤exp(-c1/k2) ．

(13)

定理得证．

3 IMF循环矩阵用于信号降噪的仿真与分析

3.1 IMF循环矩阵在降噪中的应用

在IMF循环矩阵的构造中需要已知信号模板，这决定了其适用于图1(a)的应用场景:发射端设置一路检测发射信号的参考检测器1，用于构造IMF循环矩阵．利用该矩阵对回波信号检测器2中的信号进行观测，重构信号的过程即为降噪的过程．降噪过程如图1(b)所示: 参考检测器1检测到的信号中加入预置白噪声后得到xtn，对其进行EMD分解获得一组IMF分量，按照式(1)的形式构造循环矩阵．考虑到回波信号不可能与xtn在时域上严格对准，在仿真时设置一个时域误差δ: 采样点0～δ为随机噪声，采样点 (δ+1)～N为含噪回波信号．利用高斯随机矩阵和稀疏随机矩阵作为对比，重构算法是正交匹配追踪算法．

图1 IMF循环矩阵在降噪中的应用

3.2 仿真与分析

3.2.1 理想信号的重构及降噪效果

理想信号是指待处理信号与参考信号在时域严格对准．以4种不同频率的正弦波合成 1×N信号x，N= 256．在试验中，以稀疏随机矩阵和高斯随机矩阵为对比，其测量次数和重构算法的迭代次数 (m=8) 均与文中算法的一致．在理想信号的重构试验中，直接对x进行EMD分解，得到IMF分量后根据测量次数M构造循环矩阵．当重构信号与原始信号的误差小于10-6时，认为重构成功，得到的测量次数与重构成功概率如图2(a)所示; 在理想信号降噪试验中，用加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise，AWGN)函数对x添加高斯白噪声后作为待降噪信号，信噪比为 5 dB．IMF循环矩阵的构造过程为: 用AWGN函数对x预置不同程度 (5～ 20 dB) 的高斯白噪声作为参考信号，分别进行EMD分解，得到IMF分量后根据测量次数M构造循环矩阵．图2(b)给出了参考信号信噪比为 15 dB 时，不同观测矩阵的降噪效果．图2(c)给出了参考信号的不同信噪比对降噪效果的影响曲线．

图2 参考信号信噪比对降噪效果的影响

由图2(a)可知，在测量次数M=16时，IMF循环矩阵已经可以实现信号的100%重构．因为IMF分量包含了原始信号在不同时间尺度上的局部特征，比随机矩阵能更直接地测量信号的有用信息．由图2(b)可知，IMF循环矩阵在较少测量次数时即有很好的降噪效果．参考信号信噪比会影响降噪效果，由图2(c)可知，无预置噪声并非是最好的选择，而是存在一个最佳信噪比，且该最佳的信噪比与测量次数相关．因为在某个信噪比时，EMD分解后的IMF同时包含了信号和噪声的特征，因此，可以达到更好的降噪效果．

有文献证明，离散余弦变换(Discrete Cosine Transform， DCT)矩阵和小波基构造的稀疏测量矩阵对图像和语音等信号有较好的恢复性能．与随机矩阵不同，DCT矩阵、小波基矩阵与文中提出的IMF循环矩阵均为突出待观测信号局部特征的观测矩阵，在此进行横向对比．在试验中，原始信号N=256 有3种:4种不同频率的正弦波叠加而成的信号x；语音信号“windows logon.wav”中的一部分；随机正弦信号由idinput(N，‘sine’)生成．待观测信号信噪比为 -5 dB，参考信号信噪比为 15 dB．首先生成N×N维DCT矩阵、小波基矩阵和IMF循环矩阵，随机选择每个矩阵中的M行进行试验，试验结果如图3(a)所示;由于DCT矩阵基函数的频率性质，为了保证公平，选取DCT矩阵的前M行，小波基矩阵和IMF循环矩阵随机取M行再次进行试验，试验结果如图3(b)所示．试验中3种观测矩阵的重构算法迭代次数 (m=16) 一致．

图3 IMF循环矩阵与DCT矩阵和小波基矩阵的对比

由图3(a)可知，随机选取DCT矩阵的M行作为观测矩阵，由于有较多高频率的基函数被选中，因此，并未能显示其对语音信号具备的优越性．和小波矩阵一样，其对3种信号的降噪效果均不如IMF循环矩阵．但是由图3(b)可知，对于选择DCT中前M行(频率低的前M个基函数)作为观测矩阵时，其在较低测量次数的时候体现出对语音信号的绝对观测优势，但其能达到的信噪比对测量次数敏感．同时可以看出，DCT矩阵的余弦基函数决定了其对随机正弦类信号并不能达到好的降噪效果，而IMF循环矩阵恰恰对这类信号具有测量优势，与DCT矩阵的优势互为补充．

3.2.2 时域错位信号的降噪效果

对于回波信号不可能与xtn在时域上严格对准的情况，仿真中设置时域误差为采样点数δ=20．发射信号x由 200 Hz 的载波通过 50 Hz 频率调制(Frequency Modulation， FM)而成，用AWGN函数对x添加高斯白噪声后作为待降噪的回波含噪信号，信噪比为 -1 dB．参考信号信噪比为 20 dB，测量次数为80次，重构算法为正交匹配追踪算法．各仿真信号波形及频谱如图4所示．IMF循环矩阵的构造方法与上节中一致．随机矩阵对比实验中，回波信号没有时域误差．

图4 错位信号的降噪仿真结果

由图4可知，与理想情况相比，虽然IMF循环矩阵对与参考信号有错位的信号在降噪效果上有明显的降低，但能够很好地保留信号的频域特征，抑制干扰信号的频域特征，可以视为实现了有效降噪，且在波形和频谱图上体现出降噪效果要明显优于随机矩阵．

4 结 束 语

面向拥有待处理信号的先验知识的压缩感知应用，笔者提出了利用对参考信号进行经验模态分解得到的本征模函数构造观测矩阵的方法——本征模函数循环矩阵．基于Geršgorin圆盘定理证明了IMF循环矩阵满足RIP条件．仿真结果表明，为参考信号添加一定程度的噪声后再进行EMD分解，对于降噪有更佳的效果; 在含噪信号与参考信号在时域完全对准的情况下，IMF循环矩阵能够以较明显少于随机矩阵的测量次数达到更高的重构概率和重构精度; 与DCT矩阵相比，IMF循环矩阵在处理随机正弦类信号中具有优势;在含噪信号与参考信号在时域有错位的情况下，虽然降噪效果与理想情况有明显的降低，但是由频谱图发现，IMF循环矩阵能够很好地凸显信号的频域特征，为后续阶段的信号处理奠定了基础．

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Measurementmatrixconstructionbasedonempiricalmodedecomposition

LIUXuewen，XIAOSong，XUEXiao

(State Key Lab. of Integrated Service Networks, Xidian Univ., Xi’an 710071, China)

In order to maintain the integrity information on the signal in high probability, the measuremental matrix is designed to be a random one. But this randomness results in the fact that both useful information and useless information are near the equiprobably measured, which leads to a low sensing efficiency. To improve the sensing efficiency, this paper proposes a new method of measurement matrix construction based on Empirical Mode Decomposition of the reference signal. It uses the Intrinsic Mode Function to construct a cyclic matrix, which is proved to satisfy the restricted isometry property condition by the Geršgorin disc theorem. It simulates the signal denoising process and uses signal noise reduction as the measure. Simulation results show:it has a better effect on reducing noise by adding noise to the reference signal;when the noisy signal and the reference signal are dislocated in the time domain, the effect of noise reduction is significantly decreased compared with the ideal condition. However, the reconstructed signal maintains its frequency information well, which is helpful in practical applications.

measurement matrix; compressive sensing; signal denosing; sparse reconstruction; circulant matrix

2017-03-09

时间：2017-06-29

国家自然科学基金资助项目(61372069)；高等学校学科创新引智计划(111计划)资助项目(B08038)；河南省高等学校重点科研计划资助项目(15A510002)

刘学文(1983-)，男，西安电子科技大学博士研究生, E-mail：xdkdlxw@126.com．

http://kns.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20170629.1734.014.html

10.3969/j.issn.1001-2400.2018.01.007

TN911.4

A

1001-2400(2018)01-0035-07

(编辑： 李恩科)