问渠哪得清如许——追寻数学试题巧解的入口点

安徽省枞阳县宏实中学 (246700)

周 胜 江保兵

在数学解题的过程中，简洁、高效的解法一直是数学学习者追求的目标.一道试题，一个简洁的解法会使我们眼前一亮，而不按套路出牌的“巧解”更使得我们备感兴奋与快乐.“巧解”是对问题本质、内在客观规律的深刻揭示，巧妙展现.“巧解”是怎么想到呢？如何去想？本文通过几个案例，归纳几种常见“巧解”思维的入口点，供大家参考.

例1 从1、2、3、4、5、6六个自然数中任取5个组成无重复数字的五位数，求所有五位数的和.

总之有a1×104+a2×103+a3×102+a4×101+a5(ai∈{1,2,…,5,6},i∈(1,2,…,5))就有相应的(7-a1)×104+(7-a2)×103+(7-a3)×102+(7-a4)×101+(7-a5).

评注：本例巧解来自试题结构的对称性.从对称性考虑，是巧解思维的一个入口点.

析解：考试中心给出的答案是：利用f(x)=sinx+tanx为奇函数的性质可知，当等差数列{an}关于0对称(即a14=0)时必有f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0.所以当k=14时，f(ak)=0.这样的解行吗？不行.这只是结论成立的充分条件，而不是必要条件！但在应试中，它确实是一个无可替代的巧解.

下面给出必要性的证明：假设a14>0，则f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)>f(-13d)+f(-12d)+…+f(0)+…+f(12d)+f(13d)=0.

同理，假设a14<0，则f(a14-13d)+f(a14-12d)+…+f(a14)+…+f(a14+12d)+f(a14+13d)

综上：当k=14，a14=0时，f(a1)+f(a2)+…+f(a27)=0，反之，逆命题也成立.

评注：本题解法又一次看到对称性的威力.f(x)=sinx+tanx为奇函数且为单调增函数的特点为我们的巧解提供了天然的土壤.

例3 某班进行乒乓球比赛.选手甲获胜的概率为0.6，选手乙获胜的概率为0.4.比赛采用5局3胜制，求选手甲获胜的概率.

两种解法都正确吗？

分析：解法1是无疑正确的.解法2乍一看正确，它直观，好懂.仔细一想，好像又是错误的：5局3胜制中不一定非要比赛5场.如果连胜3场，后面不用再比赛了.但计算的结果又是一样，这到底是怎么回事？

至此，我们终于明白了：这2种解法本质是一样的.从问题的实际意义来考虑，对于P(3)=p3=

例4 选派5位老师去A、B、C三地支教，每地至少派一位老师，其中甲不派往A地的概率为( ).

评注：本题如果运用常规做法，不仅运算量较大，而且让人难以理解.而此巧解关键是抓住了概率的本质，充分利用古典概型的“等可能”，可谓“四两拨千斤”.

例5 (2015年安庆市重点中学联考)

(1)求曲线C的方程；

图1

评注：本题如果按照常规的解几方法处理，其运算量过大.而上述巧解通过深刻的洞察题意，运用四点共圆的知识，不仅简化运算过程，而且突出了试题的本质.

[1]吴振奎.几个数学问题的巧解.中等数学.[J].1987(3).

[2]单墫.我怎样解题.[M].上海：哈尔滨工业大学出版社，2013.

[3]波利亚.怎样解题.[M].上海：上海教育出版社，2001.

[4]罗增儒.数学解题学引论.[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.