拨开云雾见月明——源于一节随听课对一道数列题的讲授而引发的探究

广东省云浮市新兴县新兴理工学校 (527400)

陈伟彬

偶尔随听了一节年轻老师的“推门”课.下面原汁原味地再现该年轻老师的“完美解法、优秀解法”.

生：起立！老师好！

师：同学们好，请坐下！这节课我们先讲解一下两天前中段考题中的一道数列题(板书).

题目在等差数列{an}中，当且仅当n=6时，Sn取得最大值，则使Sn>0的n的最大值是 .

师：从评卷得分的情况来看，全班52人得分率很不理想：有40人的答案完全错误；有7人的答案只写对部分，如只写n=11(或只写n=12)；有5人不作答.

师：这道题目若借助于抛物线的图像来求解是很直观、很完美的.下面展示该完美解法：

图1

图2

②当对称轴n=6.5时，如图2，由对称性知，S13=S0=0，当对称轴向左微移时，显然有S12>0且S13<0.综合以上①②得，要使Sn>0的n的最大值是11或12.

师：下面再讲解中段考中的概率题目(以下的讲课内容本文略)

图3 图4

点评：该法是借助于二次函数的图像，并且取两个极端对称轴位置，再依抛物线的对称轴向右向左微移时，慢慢观察图像的变化，从而体会出(注：对学生来说有困难)S11>0且S12<0，或者S12>0且S13<0，从而得出结论.课后通过原年轻老师对全班学生的问卷调查，发现学生对老师的“完美解法、优秀解法”并不是很领情，学生普遍感到吃力、难以接受，即对二次函数Sn的图像，老师没有作相应的知识铺垫就一下画出过原点的图3情形，那老师是怎样想到的？若首项a1<0，则S1=a1<0，此时图像很可能是不过原点的图4情形，若是图4情形，那如何判断S11、S12、S13的正与负呢？总之，老师的解法很直观、很正确、很完美，但心中很纠结，总感觉有问题如哽在咽.

在中段考后的教研活动中，询问了几个同事，都基本上类同上面“完美解法”的思路.当问到除此之外有没有更为学生所接受的通俗易懂的解法时，同事们都说没想过.对该“完美解法”，本文作者不想做过多的评价，但遗憾的是：在“完美解法、优秀解法”的背后还隐含着一些深层问题没有跟学生一起探讨.这些深层问题知识的缺失，可能会影响相类似题目的通性通法解决，而上面“完美解法、优秀解法”只是一个解法的个案.下面就这个“深层问题”作进一步的囊中探物，从难到易的探究，以便达到“拨开云雾见月明”找到更佳的通性通法，以飨读者，引起广大师生共鸣.

探究之一：结合二次函数Sn的图像，探究对称轴在三个特殊位置并相应的向左右平移，全面感知Sn的正负变化，从而得出结论(本质上是仿年轻老师的“完美解法、优秀解法”，但更完整).

图5

图6

图7

点是n=0和n=12.8，所以S0=0和S12.8=0，又Sn在区间(6.4,+)上单调递减，所以S12>S12.8=0且S130的n的最大值是12.

综合①②③可知，使Sn>0的n的最大值是11或12.

评：此法较繁琐，适合培养运算的基本功与慎密的思维品质，以及空间想象能力.

探究之二：以对称轴为切入点进行分类讨论，讨论轴的位置，判断Sn的正与负变化.

①当对称轴5.50且S12≤0，此时使Sn>0的n的最大值是11;

②当对称轴60且S13<0，此时使Sn>0的n的最大值是12.

综合①②知，使Sn>0的n的最大值是11或12.

评：此法较“探究之一”简洁，但思维能力与逻辑推理能力要求较高，不易达到最终目标.

探究之三：函数法——以对称轴为切入点，通过构造数列“和”函数，并研究“和”函数的性质，构造不等式来确定n的取值范围.

评：此法思维量不大，计算量少，易于操作，适合广大学生，是解此类题的主流.

探究之四：依据题意先确定数列的正负分界项an>0且an+1≤0(或an≥0且an+1<0)，并借助于等差数列的性质ap+aq=am+an来等价转换，从而导出Sn>0且Sn+1≤0(或Sn≥0且Sn+1<0).

分析：当且仅当n=6时，S6取得最大值，则公差d<0，同时a1>0，a2>0，a3>0，a4>0，a5>0，a6>0且a7<0.

综合①②知，使Sn>0的n的最大值是11或12.

评：此法简洁、明快，但要储备基础知识，如ai>0(i=1,2,3,4,5,6)且a7<0，以及灵活应用等差数列的性质等价转换.否则难以入手.

例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，且S12>0，S13<0，①求公差d的范围；②问该数列前几项和最大？请说明理由.

下面补充4道原创题目，供尝试：

(答案为n=31)

(答案为n=13)

3.在等差数列{an}中，当且仅当n=13时，Sn有最大值，则使Sn<0的最小n值为 .

(答案为n=26或27)

4.等差数列{an}中，当且仅当n=10时，Sn有最小值，则使Sn<0的最大n值为 .

(答案为n=19或20)

探究后的体会：解决诸如“当n为何值时，使Sn的值最大(小)”或“使Sn>0(Sn<0)的n的最大(小)值是多少？”的数列题目的通性解法的获得，是缘于对“完美解法”的不知足而诱发一系列的由难到易，去粗存精，剥丝抽茧，整合优化等“拨开云雾见月明”的深入研究的结果.本文经探究所获得的两种通性通法，即“探究之三”与“探究之四”，若能为你处理该类数列题带来一些新意的话，那作者的写作目的也就达到了.