板结构声振响应随机能量流分析的试验验证

游 进， 侯向阳

(中国空间技术研究院 载人航天总体部， 北京 100094)

飞行器经历的气动、噪声、振动及冲击等动力学环境大部分具有宽频特点，而飞行器结构设计普遍使用大量轻质薄壁构件以降低结构重量，使飞行器结构呈现显著的中高频响应特征。目前中高频声振响应分析一般采用基于能量的分析方法，主要包括统计能量分析(Statistical Energy Analysis, SEA)及能量流分析法(Energy Flow Analysis, EFA)。SEA是一种较为成熟的高频响应预测方法，计算效率高，但由于理论模型的限制仅能给出子系统的平均响应，且子系统的几何特征、载荷及阻尼的空间分布等因素对响应的影响均不能得到有效反映，使SEA在应用上存在较大局限。EFA是一种基于波动理论的能量流方法，其控制变量是局部平均的能量密度，一般采用有限元法进行数值求解，结果可描述响应在空间上的变化，且子系统的几何特征和载荷分布的影响均能反映。EFA克服了SEA无法预测响应在子系统空间上变化的不足，应用上具备较多优势，具有很好的发展前景。

EFA的适用范围近年来不断得到拓展。Kwon等[1]导出曲壳结构的弯曲振动能量流方程, Song等[2]将EFA用于有非保守连接的耦合梁结构，孔祥杰等[3]通过修正群速和阻尼项，使EFA可考虑局部阻尼的影响，Xie等[4]基于EFA预测了杆结构的高频瞬态响应。Zhu等[5]提出了结合传统有限元与EFA的混合方法，以解决刚-柔复合结构的中频响应预测问题。Kong等[6]研究了EFA用于板结构的有效性，表明结构内是否形成混响场对EFA的预测精度有较大影响，需指出的是Kong等的研究针对的是单频激励的情况。You等[7-9]将能量流分析适用的激励形式从周期激励发展到随机激励，提出随机能量流分析(Random Energy Analysis, REFA)，针对梁结构的研究表明，当激励带宽包含的结构模态数大于5时，REFA即具有很好的响应预测精度[10]。

本文通过对板结构开展试验以验证REFA的有效性。首先说明REFA的基本理论，之后提出REFA计算结构内损耗因子的原理，并与SEA法进行对比，通过单板试验测得结构的内损耗因子，作为后续REFA模型的已知条件。最后对L型耦合板进行宽带随机激励下的响应测试，建立REFA数值模型预测结构响应，通过将结构响应的实测值与预测值进行比较来验证REFA的有效性。

1 板结构随机能量流分析方程

受到横向宽带随机力作用的板结构，其能量流分析方程为

(1)

E(x,ω)≈ρ〈Gv(x,ω)〉

(2)

式中：Gv为速度的单边谱, 〈〉代表波长距离上的空间平均，ρ为板的面密度。板的平均能量响应由能量密度谱积分得到，即

(3)

板内平均功率流为

(4)

用单元对各波场的能量进行离散，可得到各波场的有限元方程。在板间连接处，各种波型发生反射、透射、波型转换及能量传递，基于半无限板连接处三种波型间的能量传递关系[11]，可得到板连接两端不同波场的能量密度谱与功率流谱间的关系，用连接矩阵J表达，并由此对所有波场的有限元方程进行综合，得到

(K+∑JM)E=Πin

(5)

式中：K为总刚度矩阵，E为能量密度谱向量，Πin为输入功率向量，M用于指定J的元素在总体矩阵中的位置。连接矩阵的表达式如下

J=(I-C)(I+C)-1cg

(6)

式中：I为单位阵;cg为以不同波场群速为对角元素的对角阵;C为连接传递特性矩阵。

2 内损耗因子测试

2.1 基于随机能量流分析的测试原理

内损耗因子反映了结构耗散功率的能力，是进行结构REFA模型分析的重要已知条件，其准确性对REFA模型分析结果的准确性有重要影响。

内损耗因子可通过单板测试获得，对图1所示的受到单个横向集中随机力作用的单块板(图中F为集中随机力，Ω为结构域，Γ为结构域的边界曲线，n为边界曲线微元的法向量)，能量流分析方程为

图1 受到集中力作用的单板 Fig.1 Single plate excited by concentrated force

(7)

在板的结构域Ω上积分式(7)， 得到

(8)

式中： ds为结构域Ω上的面积微元。考虑到

(9)

根据高斯公式，式(8)左边第一项为

(10)

式中： dl为结构域边界微元。单板边界无功率输出，功率流在边界法线方向上的分量为零，式(8)变为

(11)

式(11)反映了基于REFA测试内损耗因子的原理，表明外界输入功率完全被结构阻尼耗散。

在板上布置N个加速度测点(位置记为xi)，以板上所有测点能量密度谱的平均值作为E的近似

(12)

(13)

式中：m为板的总质量。假定η在有限频段[ω1,ω2]内为定值，对式(13)两边在频段进行积分，经运算后得到

(14)

2.2 基于统计能量分析的测试原理

单板试验亦可基于经典的统计能量分析(SEA)计算内损耗因子。单板在频带[ω1,ω2]上的SEA能量方程为集总参数模型，即

ηSEAωcet=pin

(15)

式中：ωc为频带中心频率;et为单板总能量; 下标表示由SEA法计算。考虑到

(16)

(17)

以上表明，两种方法测试内损耗因子的原理大体相同，对比式(17)和式(14)可见，测试计算时的不同点在于是否将积分内的频率变量作为定值提至外部。

2.3 测试及结果

(18)

式中：Zm和Zp分别为加速度计和板的速度阻抗， 在1 kHz以上，用Z∞代替Zp对测试结果进行修正。

在方板上4处位置施加横向宽带集中力，并在板上4处位置记录加速度响应。在20个带宽为200 Hz的频带内计算内损耗因子，板的模态密度为0.1 Hz-1，各分析频带内包含约20阶模态。对在4个激励点加载得到内损耗因子并进行平均，结果见图2，两种方法的计算结果差别很小，除第一个频段，其他频段上内损耗因子小于0.01。

图2 单板内损耗因子测试结果 Fig.2 Inner loss factor results from single plate test

3 耦合板响应测试及分析

3.1 试验设置及输入功率谱

试验对象为L型板，由2块尺寸为0.8 m×0.8 m×0.002 m的方形铝板垂直连接组成，用软橡皮绳悬挂，一块板保持水平，试验现场见图3。在垂直板的两处位置依次施加横向宽带集中力，两块板布置4个加速度计测量板的弯曲变形，具体位置见图4。由于根据板的弯曲响应计算功率流需对位置三次求导，且有限板的实际功率流方向随空间位置显著变化并与一定频率对应[12]，因而宽带激励下难以获取板上功率流的准确值。能量密度作为标量则易于测量计算，因此试验获取板的弯曲波场能量密度并与REFA的预测值进行对比。另外，对高频测试结果进行修正。

图3 L型耦合板试验现场 Fig.3 Test setup of L-shaped plate

图4 L型耦合板的激励及响应测点 Fig.4 Excitation and response points on L-shaped plate

位置1加载测得的力输入功率谱如图5中灰线所示。随机能量流分析在20个带宽200 Hz的窄带上进行，各窄带内在5个频点计算能量密度谱，因此将输入功率谱实测值在40 Hz宽的频带上进行平均作为其近似，见图5中的黑线。

图5 位置1加载时的输入功率谱 Fig.5 Power input spectrum of load at point 1

3.2 试验与预测结果对比

将耦合板各波场划分为10×10个单元，以试验获取的内损耗因子及频带平均输入功率谱作为输入计算响应。位置1加载时，频段3.6～3.8 kHz上，耦合板各波场的能量密度及功率流矢量分布见图6。各波场能量密度分布总体均匀但存在很小梯度，面内波场能量远小于弯曲波场，水平板弯曲波场能量密度较垂直波场低约2 dB，能量主要由垂直板的弯曲波场传递至水平板的弯曲波场，而转化为两块板面内波场的效率很低；功率流矢量清晰地表明了能量由激励点注入及在各波场的传递路径。位置2加载时，同一频段上弯曲波场的能量密度及功率流矢量分布见图7，激励位置的改变导致垂直板弯曲波场的能量流发生显著变化，其他各波场响应情况与位置1加载类似。

图6 能量密度及功率流分布(位置1加载, 3.6～3.8 kHz) Fig.6 Energy density and power flow distribution (loaded at point 1, 3.6～3.8 kHz)

图7 能量密度及功率流分布(位置2加载, 3.6～3.8 kHz) Fig.7 Energy density and power flow distribution (loaded at point 2, 3.6～3.8 kHz)

位置1加载时，水平板及垂直板的弯曲波场响应实测值与预测值对比分别见图8与图9，位置2加载时的情况与位置1类似。结果显示，包括最低频在内的大部分频段上，各测点响应的预测值与实测值间的偏差在3 dB以内，表明REFA在整个激励带宽内均具有很好的预测精度。由于REFA的分析结果是空间局部平均的能量密度，而在板上某点测得的响应会在此平均值附近波动，这应是导致预测值与实测值间出现偏差的原因。

图8 水平板响应实测值与预测值对比 (实线：实测值，虚线：预测值) Fig.8 Comparison between measurements (solid line) and predictions (dashed line) for horizontal plate

图9 垂直板响应实测值与预测值对比 (实线：实测值，虚线：预测值) Fig.9 Comparison between measurements (solid line) and predictions (dashed line) for vertical plate

4 结 论

本文通过对单板及L型耦合板开展随机激励下的响应测试，对REFA的有效性进行验证。导出了基于REFA方法的单板内损耗因子计算式，表明其不需通过REFA的有限元方程进行计算，其原理与经典SEA法大体相同，但计算式有一定差别，单板实测结果表明两种方法得到的内损耗因子基本相同。L型耦合板试验实测了集中力的输入功率谱，与内损耗因子测试值一起代入L型耦合板的REFA有限元模型，得到耦合板弯曲波及两种面内波场的能量密度及功率流分布预测值，弯曲响应频谱的实测值与预测值吻合较好，表明REFA在试验整个频段上均具有很好的预测精度。

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