平行线“遇见”角平分线及三角形内外角平分线在解题中的初步研究

杨钦娜

摘 要：在初中数学教学中采用七巧板教学法有利于学生综合素质提高。由于事物可看做是各部分之和，故可各个击破，逐一求解这种常规解题，但同时也有许多问题，把各部分看做是一个整体，迁移观点，用整体的思想，方法来求解，能达到化难为易，化繁为简，出奇制胜的效果。在七巧板教学法实施过程中，教师需提前做好课前准备、精心设计教学内容、改良教学评价体系，提升自身对于数学板块教学的认识，从而提高初中数学教学的质量。

关键词：七巧板教学法；初中数学教学；有效应用；角平分线与平行线；三角形内外角平分线

前言

“七巧板”中的一块就是数学中的一个知识点，把各个板块综合，即把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。七巧板教学作为体现新型课程的重要方式，应得到教师的重视与关注，教师应针对这种教学的实施与创新进行深刻的思考。

数学是一门连贯性的学科，在学习每一个章节和知识点的时候都需要重视学习的紧密性，如果某一个章节的知识点没有巩固到位，学生积累的问题就会越来越多，学习数学的难度也会越来越大。有些学生并非是不想学好数学，而是在学习的过程中找不到适合的学习方法，不能够真正的将数学重难点知识理解到位，积累的问题也在学习中越来越多，这样导致学习数学难度更大。

学生在学习数学中常见的两种现象：

一、学生课上听得明白，课后练习作业会有一些的错误，老师指出错误后，大部分也能自已改正.但数周后，发现这部分知识的掌握又退步了.

二、通过努力，基础知识部分掌握的還可以，但一遇到有综合性的、略有难度的问题，便不知如何下手，看答案也基本上能懂. 但自己很难独立完整的解决一道综合题，在考试中，靠后面的综合题的得分总是不理想.

导致这两种情形的出现，既不是教师没讲明白，也不是学生用功不够，而是因为这些学生在过去的数学学习中未形成自己的、较严谨的数学思维，仅停留在简单机械模仿，要靠几次甚至十几次的重复才能掌握某个（些）知识，也就是说思考能力只是在能够解决熟悉的一种特定的问题的水平上，缺少结合已经掌握一个问题、多个问题，去对相关性的综合性问题的联想、尝试、思考、引深的探索能力.但要怎样做，怎么训练来提高这种能力呢？也就是一些会学习的学生经常问的问题：“我怎么才能够想到这种办法，就把题做出来了”.我的回答是，“不是这种办法有多神奇？有多么高深莫测？而是这个问题可能与哪个知识点有关？你想了没有？探索这个问题可能解决的途径，你去想了没有？哪你想到了几种可能？哪一种可能性更大？你是否结合已掌握的基础知识动手去尝试了.如果这几点你都做了，那么90%的题你都可以迎刃而解.”

说起来容易，言语上的说教并不会将这种能力由师傅到徒弟脑子中的转移，数学思维能力的提升更是需要必不可少的思维训练，内化为附体于心的“渔”术才是真正的财富.在我们此刻这个信息高度透明，快速传播时代，从不缺少好的学习方法，而是缺少如何具体实际可行的操作.就像我们从小学时就天天面对黑板上方的八个大字“好好学习，天天向上”，而具体怎样才算是“好好”，如何才能“向上”呢？很多人没有想过. 缺乏实际可行的具体操作，而这种操作对于已经成绩不理想的学生来说，一定是个性化，而非一概而论的.

将数学知识点“分板块”辅导，各个击破，“循序渐进”式练习，正是解决上述的好方式，不管是何种程度的学生都会使成绩有较大幅度的提升.将知识合理的、零而不乱的、细分，有序的练习训练，易使学生得到成就感，溶数学思想于这个渐进的过程中，提高成绩将不再是难事.将数学思想板块集中化，以渐进式的习题，使学生来体会每一种数学思想的本质，内化为一种思维能力.。“重要知识点细化+循序渐进引深+针对性习题=基础知识过关”；“综合性知识问题式细化+循序渐进引深+针对性习题=提升综合解题能力”；“数学思想系列问题式细化+循序渐进引深+针对性习题=数学思想内化”。

下面我来详细介绍“七巧板教学”的具体操作：

一，重点知识细化.

1、将初中数学涉及知识点细分，尤其是要对重点知识点进行科学的细分.做到既独立成点，且又不过于离散，同时对学生理解这个“点”应具备哪些基础知识有准确的认识.避免要学一个知识，学了一半才发现，需要补充另外几个知识，使教学效率降低.教师在进行板块教学内容的选择时要设计好单元模块与单元下模块的主题，做好课程整体安排，避免硬性将教学内容分割，保证板块教学内容的完整性。单元下板块是七巧板教学中的一部分，应突出单元板块的主题，再对其主题进行分解教学。而单元下主题的教学，主旨在于引导学生剖析、解决问题，以学生自主学习为主。教师需根据不同的模块，精心选择适合的教学内容。

2、不同层次的学生，由教师根据能根据其实际的学习情况、接受能力，来制定相应的需学习的知识点.那些基础的知识点，对较高层次的学生来说，则没必要逐一重复过关，而由教师根据学生在学校的作业完成情况即可加以判断.

如在八年级上《一次函数》一章中，较难理解的一次函数与一元一次方程关系，辅导习如下：

通过将较抽象的问题，以简单问题的形式出现，最后再加以总结，中差等学生即可理解一次函数与一元一次方程之间的联系，按此顺序做下来，可以说是学生自己做简单习题并引申为思考，再由教师加以适时总结，完成学习任务.从而绕开了教师一味的说教，甚至是直接将总结好的灌输给学生，对学生来说，两种体验是完全不同的.

二、综合题提问式

对综合性练习，将系列知识点内容集中能过，设置间接式问题，以问题形式引申.也就是说将综合性问题细化为一个个知识点问题.达到培养综合能力的目的.设置的问题与问题之间层层递进、相互支撑.

通过由浅入深的递进训练，建立对解决综合题的自信，找准关键点，提升对综合题解题能力.如对《网格中的数学问题》专题复习中，将有一定综合性的问题，可以铺垫设置为涉及相关知识的基础性问题.如下：

学生由勾股定理的练习中，体会了表示线段长度（无理数）的方法，以及对网格中三角形面积的计算，再继续做相关的中考试题就会变得非常简单.再由教师适当引导，即可总结网格中问题的思考方法.

三、对数学思想的培养.

通过讲练详实具体而又独成一系的试题，内化对“数形结合、方程思想、函数思想、分类讨论、归纳化一”等数学思想方法的理解，掌握解决压轴题必备的内功.如对“方程思想”的内化训练.

四、制定最切学生实际的、详实可行的辅导计划

通过两至三次课时，對学生基础知识、综合解题能力做基本判断，制定10课时的学习计划.计划以期间内应掌握知识点、掌握程度为主，可根据学生实际情况适当增减知识点多少及掌握要求.

每个板块的学习都要以掌握必要的知识点为目的，而课后的习题练习也是针对这个知识点而设的，且由易到难，再到综合，既达到了对具体知识点的学习，也潜移默化中训练了综合思维能力。下面我将具体举一些例子来说明“七巧板”教学法在数学教学中的应用。

（一）角平分线与平行线：

1、角平分线的常用使用环境：

（1）当角平分线构成的等量关系和“平行”结合的时候，可以形成等腰三角形，从而得到等边的关系。

（2）当角平分线构成的等量关系和与180°有关的角相结合的时候，可以转化得垂直关系。

例1、如图1， 已知△ABC中，∠BAC的外角∠EAC的平分线交BC延长线于D.

求证：.

设计思想：融合平行、相似、角平分线.

分析：从问题来看，本题需要证明的是一个比例式，显然要与三角形“相似”挂钩，构造相似的方法可以过点C作AD的平行线，这样既可以有相似，又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.

证明思路：

过点C作CF∥AD交AB于F，

可证明AF=AC.

由△BFC∽△BAD

得.

经等量代换得.

即.

点拨：这道题辅助线的添加是个关键，需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.

例2 （09烟台中考）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，且CD=2AD ， tan∠ABC=2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE.

（1）求证：；

（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转得到△DCG，连接EG..

求证：CD垂直平分EG.

（3）延长BE交CD于点P，求证：P是CD的中点.

设计思想：融合平行线、角平分线、全等.

分析：题目中，是很好的证明CD与BC相等的间接条件.延长交于，那么正切关系就可以给CD用，再用正切得到的2倍关系，和条件CD与AD的2倍关系结合用，就可得第（1）问结论.第（2）问显然要证明两组线段的等量关系，根据全等和旋转即可得到.第（3）问中的中点，即关系，显然与第（1）问有关，CD=2AD，因此只要证明DP=AD就可以了，因此可以连结BD构造全等三角形.

证明：（1）延长交于.

，，

.

在中，

，

，即.

，

.

，

即.

（2）平分，

.

由（1）知，BC=CD，CE=CE，

.

.

由图形旋转的性质知：CE=CG ， BE=DG.

∴DE=DG .

都在的垂直平分线上，

垂直平分.

（3）连接.由（2）知，

.

.

.

.

，

.

由（1）知.

，

.

又，

，

.

，

.

是的中点.

点拨：这道题还是大量运用了平行和角平分线的关系，这种等量变换在做题中会经常遇到.

例3（09赤峰中考）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：CA是∠DCF的平分线.

证明：∵BF是∠ABC的平分线，

∴∠1=∠2.

又∵AB=BC，BF=BF，

∴△ABF ≌△CBF.

∵FA=FC.

∴∠3=∠4.

又∵AF∥DC，

∴∠5=∠3.

∴∠4=∠5.

∴CA是∠DCF的平分线.

在学习过程中，还会遇到许多这样的题型，例如：

1.（09重庆中考）如图，直线分别与直线、相交于点、，已知，平分交直线于点.则=（ ）B

A.60° B.65° C.70° D.130°

2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为（ ）C

（A）9 （B）10.5 （C）12 （D）15

3.（09广州中考）如图，在ABCD中，AB = 6，AD = 9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（ ）A

（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5

4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E ，F为BE的中点，连结DF.若DF=3，DE=2，则AC长为 .

在有关角平分线的题目中， 平行线会经常涉猎到，因此可以将这类题型作为七巧板中的一块，从而解决更所类似的题。与融合平行线和角平分线的题目图形关系比较基础，因此也会比较好找，因此可以引导学生通过在图形上标注条件，找到角之间的等量关系。

（二） 三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

在中考或平时的练习中目中，常有与 三角形内外角平分线有关的题目，如何举一反三事半功倍与 平时 的 积累训练有很大的关系， 一分耕耘一分收获。

命题1 如图1，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A.

证明：如图1：

∵∠1=∠，∠2=∠，

∴2∠1+2∠2+∠A=180°①

∠1+∠2+∠D=180°②

①-②得：

∠1+∠2+∠A=∠D③

由②得：

∠1+∠2=180°-∠D④

把③代入④得：

∴180°-∠D+∠A=∠D

∠D=90°+∠A.

点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.

命题2 如图2，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°-∠A.

证明：如图2：

∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，

∴∠D=180°-∠1-∠2

=180°-（∠DBE+∠DCF）

=180°-（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°- （∠A+180°）

=180°- ∠A-90°

=90°-∠A；

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.

命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A.

证明：如图3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4②

①×代入②得：

∠E=∠A.

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.

命题4 如图4，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明：AE是△ABC的外角平分线.

证明：如图3：

∵BE是∠ABC的平分线，可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分线， 可得：EG=EF

∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.

即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分线.

点评 利用角平分线的性质和判定能够证明.

应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看.

例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线.

①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.

②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°- ∠A=90°- ×60°=60°

②根据命题2的结论∠P=90°- ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形.

点评 此题直接运用命题2的结论很简单.同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

例2 如图6，在△ABC中，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度.

解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A.

可以直接得：∠=×96°=3°.

点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识.

例3（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题3分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________.

解析：此题直接运用命题4的结论可以知道AP是△ABC的一个外角平分线，结合命题3的结论知道∠BAC=2∠BPC， CAP= （180°-∠BAC ）= （180°-2∠BPC ）=50°.

点评 对命题3、4研究过的学生此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目.

例4 （2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度.

解析：由題目和命题4的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线， 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB-∠ACB=90°-×90°=45°

点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的.

拓展练习：

1 如图所示，D、E、F分别是∠△ABC，△ABD，△BDF的内心，如果∠BFE的度数为整数，请同学们计算一下，∠BFE的度数最小是多少？

2如图，在△ABC中，∠A=96 。，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD 的平分线相交于A2点，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，求∠A5的度数。

同样的，三角形内外角平分线有关命题问题也可以作为七巧板中的一块对学生进行专项教学，这样以来，学生再遇见一些反复出现却又反复不会的题型时就会迎刃而解，教师的教学也会轻松许多。

总而言之，诸如此类板块的数学题型还有很多，让学生把数学“多巧板”的每一块学扎实，把数学中的每一块小知识点学好，多练习，那么实践经验也积累多了，发散思维就打开了，碰到一些没有见过的题目，组合、拆分涉及的知识点，就会自然而然的找到解题思路。每个模块的学习都是以掌握必要的技能为目的，以胜任本岗位工作为目标。按需施教，学用一致，干什么学什么，多余的内容可以不学，培训时间短，效果好。理论课和实践课融为一体。以技能渊练为核心，必要的理论知识也是为技能服务。教材图文并茂，配以音像教学，学员易学易懂易接受。另一方面，如果研究成功，做出成绩，对于教师个人的专业成长是很有帮助的，，不仅体现在评优表模、晋级晋升中，还可以反映教师的业务水平和专业能力，可以向专家、学者更深层次地发展。

参考文献

[1]齐凤华.开展中学数学小组合作，努力提高课堂效率[J].新课程学习（中）.2014（12）

[2]龙合林.合作学习模式在小学数学教学中的应用[J].新课程（小学）.2014（11）

[3]郑艳.合作学习模式在初中语文教学中的应用方法及可行性研究[J].课外语文.2014（22）

《有效教学的深化研究— 由“七巧板”引发的初中教学策略研究》，平顶山市市级科研课题

（作者单位：平顶山市第四十二中学）