一类带有积分边界条件的分数阶微分方程正解的存在性

贾建梅, 王文霞, 姚佳欣

(太原师范学院 数学系, 山西 晋中 030600)

分数阶微积分的概念可以追溯到1695年,由于没有得到某种物理意义的认同,其发展非常缓慢.近年来,由于其在光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、控制和机器人等领域具有重要的应用,分数阶微分方程的研究得到快速发展,如今已成为微分方程的重要研究领域,受到国内外学者广泛关注[1-3].带有积分边界条件的微分方程起源于物理、化学及应用数学等领域,如热力学、等离子物理、流体力学、化学工程等.需要指出的是它包含了两点、三点和多点边值问题作为特例,因此,积分边值问题的研究具有重要的理论与应用意义.目前,很多学者对带有积分边界条件的分数阶微分方程进行了研究,获得了许多好的结果,参见[4-6]及其参考文献.最近,文献[7]研究如下问题解的存在性

(1)

本文讨论如下积分边值问题

(3)

1 Green函数与引理

首先,给出分数阶微积分的一些基本概念.

定义1.1[10]连续函数f:(0,∞)→R的α(>0)阶Riemann-Liouville分数积分定义为

I

其中,等式的右端在(0,∞)有定义.

定义1.2[10]连续函数f:(0,∞)→R的α(>0)阶Riemann-Liouville分数导数定义为

D

其中,n是大于等于α的最小整数,等式的右端在(0,∞)有定义.

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…cntα-n,

其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

引理1.2[10]设α>0,u∈L(0,1)∩C(0,1),则

Iα0+Dα0+u(t)=u(t)+c1tα-1+c2tα-2+…cntα-n,

其中,ci∈R,i=1,2,…,n,n-1<α≤n.

引理1.3设y(t)∈C[0,1],3<α≤4,a≥0,b≥0,a+b≠0,0≤ληα

(4)

有唯一解

其中,格林函数G(t,s)定义为

其中，p(s)=aα+(α2-α)b-ληα(1-s).

证明由引理1.2可得,边值问题(4)等价于积分方程

c1tα-1+c2tα-2+c3tα-3+c4tα-4,

其中,ci∈R,i=1,2,3,4.

由u(0)=u′(0)=u″(0)=0可得c2=c3=c4=0.因此,

则

(5)

(α-1)c1,

(6)

(7)

故

所以,当t≤η时,

当t≥η时,

证毕.

引理1.4Green函数有如下性质:

3)p(s)>0且p(s)在[0,1]上为增函数;

4)G(t,s)>0,∀t,s∈(0,1).

证明当s≤t,s≤η时,

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-p(0)(t-s)α-1-

λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1-

λη

(α2-α)btα-1(1-s)α-1}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-ληα(1-s)αtα-1-

p(0)(t-s)α-1+(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

p(0)(t-s)α-1+(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-

p(0)(t-s)α-1-λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1-

λ(η-s)αtα-1+(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληα[tα-1(1-s)α-1-

t

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+

ληαtα-1(1-s)

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληα(1-s)

当0≤η≤s≤t≤1时,

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-p(0)(t-s)α-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-p(0)(t-s)α-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-p(0)(t-s)α-1+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληαtα-1(1-s)α-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληαtα-1(1-s)α-1}≤

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s+ληαtα-1(1-s)α-1}≤

当0≤t≤s≤η≤1时,

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-λtα-1η

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-ληαtα-1(1-s)α+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2-λ(η-s)αtα-1}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-1-λ(η-s)αtα-1+

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

当t≤s,η≤s时,

(α2-α)btα-1(1-s)α-2}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≥

(α2-α)btα-1(1-s)α-2}=

(α2-α)btα-1(1-s)α-2s}≤

若结论1)和2)成立,由p(s)的表示式易知结论3)成立.而结论4)可由结论1)获得.证毕.

(i) ‖Sω‖≤‖ω‖,ω∈P∩∂Ω1,‖Sω‖≥‖ω‖,ω∈P∩∂Ω2;

(ii) ‖Sω‖≥‖ω‖,ω∈P∩∂Ω1,‖Sω‖≤‖ω‖,ω∈P∩∂Ω2;

2 正解的存在性

记

f0=

f0=

f∞=

f∞=

δ=

M=max

m=min

本文将使用如下条件:

(P)f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续函数;

令E=C[0,1],令范数‖u‖=则E为Banach空间.令

则P为E中的锥.

证明类似于文献[6]的证明，本结论易证.

定理2.1假设条件(P)、(A1)和(A3)成立,则BVP(3)至少有2个正解u1和u2且0≤‖u1‖

证明由条件(A1)知,选取>0,满足f0->,∃0

f(t,u)>(f0-)u>u,

∀t∈[0,1], 0≤u≤r0.

设r∈(0,r0),Ωr={u∈P|‖u‖

因此

r=‖u‖,

因此,‖Au‖>‖u‖,∀u∈∂Ωr.

f(t,u)>(f∞-)u>u,

∀t∈[0,1],u≥H.

取R>R0max设ΩR={u∈P|‖u‖

R=‖u‖,

即‖Au‖>‖u‖,∀u∈∂ΩR.

设Ωp={u∈P|‖u‖

因此

s(1-s)α-2)f(s,u(s))ds<

p=‖u‖.

即‖Au‖<‖u‖,∀u∈∂Ωp.

综上,由引理1.5知,结论成立.证毕.

定理2.2假设条件(P)、(A2)和(A4)成立,则BVP(3)至少有2个正解u1和u2且0≤‖u1‖

证明由条件(A2)知,选取>0,满足f0+<,∃0

f(t,u)≤(f0+)u

∀t∈[0,1], 0≤u≤r0.

设r∈(0,r0),Ωr={u∈P|‖u‖

因此

f(t,u)≤(f∞+)u

∀t∈[0,1],u≥H.

f(t,u)≤

∀u∈(0,R),t∈[0,1].

则对于∀u∈P且‖u‖=R,有

s(1-s)α-2)f(s,u(s))ds≤

(f∞+)RMs(1-s)α-2(2-s)ds<

f(t,u)≤L, ∀u≥0,t∈[0,1],

因此,设ΩR={u∈P|‖u‖

设Ωp={u∈P|‖u‖

进而

故

p=‖u‖,

即‖Au‖>‖u‖,∀u∈∂Ωp.

综上,由引理1.5知结论成立.证毕.

推论2.4假设条件(P)成立,且f0=∞,f∞=0(次线性),则BVP(3)至少有一个正解.

推论2.6假设条件(P)成立,且f0=0,f∞=∞(超线性),则BVP(3)至少有一个正解.

例2.1边值问题

(8)

至少有2个正解u1和u2且0≤‖u1‖<1<‖u2‖.

事实上,设f(t,u)=uλ(t)+uμ(t),则

M=max

取p=1,则对0≤u≤p有

f(t,u(t))≤pλ+pμ=2<=p,

由定理2.1及注1知,边值问题(8)至少存在2个正解u1和u2且满足0≤‖u1‖<1<‖u2‖.

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