第32届全国中学生物理竞赛预赛第3题探讨

潘 路

(南京航空航天大学附属高级中学，江苏 南京 210007)

1 题目

如图1,一半径为R的固定的光滑绝缘圆环,位于竖直平面内;环上有两个相同的带电小球a和b(可视为质点),只能在环上移动,静止时两小球之间的距离为R.现用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c,然后撤除外力.下列说法正确的是

(A) 在左球a到达c点的过程中,圆环对b球的支持力变大.

(B) 在左球a到达c点的过程中,外力做正功,电势能增加.

(C) 在左球a到达c点的过程中,a、b两球的重力势能之和不变.

图2

(D) 撤除外力后,a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒.

2 解析

设固定的光滑绝缘圆环的圆心为O;a、b两球的质量均为m,带电荷

量均为q;用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c的过程中,某一状态(Oa与Oc夹角为α,Ob与Oc夹角为β)时,球b的受力情况如图2所示,由b球处于平衡状态知F合=N;连接ab交Oc于点c′.

得

(1)

(2)

(3)

一般位置时，有

(4)

联立(1)、(3)、(4)式得

(5)

由题设得

α=2θ-β.

(6)

图3

由(5)、(6)两式可知，若θ单调减小,则β单调增大,α单调减小.反推可得: 当α单调减小时,θ单调减小,β单调增大;球a缓慢向最低点c靠近时,α单调减小,θ单调减小,由(4)式知F单调增大.所以a、b两球间距离减小,电场力做负功,电势能增加;(B)选项正确.

如图3所示,设初始时a、b两球的重心为O1;球a到达圆环最低点c时,a、b两球的重心为O2,两球间距为x.由几何关系知

(7)

由三角形相似得

(8)

OO2之间的竖直距离为

(9)

比较(7)、(9)两式可知球a到达圆环最低点c时两球的重心位置相比初始时两球的重心位置升高,两球的重力势能之和变大.(C)选项错误.

撤除外力后,只有重力和电场力做功,a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒.(D)选项正确.

综上所述,本题正确选项为(B)、(D).

3 进阶研究

设m=1 kg,g=10 m/s2,R=1 m.由前面分析知当α单调减小时,θ单调减小.当αmin=0时,θ最小．最小值可由Mathcad计算如下.

可得

取最低点c所在水平面为重力势能零势能面,一般位置时a、b两球的重力势能之和为

Ep1=mgR(2-cosα-cosβ).

(10)

取两带电小球相距无限远时电势能为0,一般位置时a、b两带电小球的相互作用电势能

(11)

联立(3)、(11)两式得

(12)

则两带电小球的总势能为

Ep=Ep1+Ep2=mgR(2-cosα-cosβ)+

(13)

图4 Mathcad代码

图5

图6

图7

图8

图9

图10

图11