卢道隆记里鼓车的两个数据问题

程 军

（中国科学技术馆,北京100012）

1 问题的起源

记里鼓车是我国古代的一项重要发明，古籍中多有记载。

《晋书》卷二十五记道：“指南车过江亡失，及义熙五年，刘裕屠广固始复获焉，乃使工人张网补辑周用。十三年，裕定关中，又获司南记里诸车，制度始备。”“记里鼓车，驾四，形制如司南，其中有木人执槌向鼔，行一里则打一槌。”[1]

《宋书》卷十八记道：“记里车，未详所由来，亦高祖定三秦所获，制如指南，其上有鼓，车行一里木人则击一槌。大驾卤簿以次指南。”[2]

《南齐书·舆服志》《古今注》《隋书·礼仪志》《旧唐书·舆服志》《唐书·车服志》对记里鼓车也有简略的记载。

以上这些记载都没有涉及到记里鼓车的内部构造。

对记里鼓车的内部构造有记载的是《宋史》《愧郯录》等文献，它们记载了卢道隆记里鼓车和吴德仁记里鼓车。卢道隆记里鼓车是现存最早的有内部构造记载的记里鼓车。

学术界研究卢道隆记里鼓车都是以《宋史》为依据。

下面先介绍《宋史》中记载的卢道隆记里鼓车。

《宋史》卷一百四十九记道：“记里鼓车，一名大章车，赤质，四面画花鸟,重台，勾阑,镂拱。行一里，则上层木人击鼓；十里，则次层木人击镯。一辕，凤首，驾四马，驾士旧十八人，太宗雍熙四年，增为三十人。仁宗天圣五年，内侍卢道隆上记里鼓车之制。独辕，双轮，箱上为两重，各刻木为人，执木槌。足轮各径六尺，围一丈八尺，足轮一周而行地三步。以古法六尺为步、三百步为里，用较今法五尺为步、三百六十步为里。立轮一附于左足，径一尺三寸八分，围四尺一寸四分，出齿十八，齿间相去二寸三分；下平轮一，其径四尺一寸四分，围一丈二尺四寸二分，出齿五十四，齿间相去与附立轮同；立贯心轴一，其上设铜旋风轮一，出齿三，齿间相去一寸二分；中立平轮一，其径四尺，围一丈二尺，出齿百，齿间相去与旋风等；次安小平轮一，其径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸半；上平轮一，其径三尺少半尺，围一丈，出齿百，齿间相去与小平轮同。其中平轮转一周，车行一里，下一层木人击鼓；上平轮转一周，车行十里，上一层木人击镯。凡用大小轮八，合二百八十五齿，递相钩鏁，犬牙相制，周而复始。诏以其法下有司制之。”[3]

仁宗天圣五年是1027年。

这里“径”指轮直径，“围”指轮周长。

从“足轮各径六尺，围一丈八尺”、“径一尺三寸八分，围四尺一寸四分”等数据可知，卢道隆记里鼓车是将圆周率取为3。

其中“小平轮”“围一尺，出齿十”，即周长为一尺，一周有10个齿。

因为 1尺=10寸，所以“小平轮”齿间距应为“一寸”。

《宋史》记载“小平轮”“齿间相去一寸半”是错误的，应为“齿间相去一寸”。这从下面将介绍的《太常因革礼》《愧郯录》《文献通考》中的文字也可得到印证。

对这段文字最早进行研究的是张荫麟。张荫麟于1925年对这段文字做了研究，绘出了卢道隆记里鼓车的结构图，并对此车的数据进行分析。张荫麟认为“文中所记小平轮，及上平轮之径围，俱有差误。‘三寸少半寸’一语，亦殊费解，如解作二寸五分；则周围当合七寸五，与‘围一尺’及‘齿间相去一寸半’俱不合；如解作三寸又半寸，或三寸半稍不足，则与围一尺之说尚可相通，惟与齿距寸半之说，仍未能相符。‘径三尺少半尺’语，亦同一费解。”[4]

王振铎对“三寸少半寸”的理解与张荫麟基本相同。王振铎认为：“文中记各齿轮之直径大小多有不可理解者，如记小平轮云：‘其径三寸少半寸’，如解作二寸五分，则轮周当合七寸五分，与‘围一尺’及‘齿间相去一寸半’俱不合；如解作三寸又半寸，或三寸稍不足，惟与齿距半寸之说，仍未能符合。”[5]

刘仙洲认为《宋史》中记载的卢道隆记里鼓车和吴德仁记里鼓车的构造，“按齿数计算都是合理的，惟所记的各齿轮的周节多有不合者”，“记载上有不少错误是毫无疑义的”。[6]“周节”指齿间距。

陆敬严等人在《中国科技技术史·机械卷》中介绍卢道隆记里鼓车和吴德仁记里鼓车时也提到“文献中关于齿间相去数据的记载，有的存在着问题，未必准确。”[7]

李约瑟在对《宋史》中这段话解释时，将“三寸少半寸”解释为“3.3寸”，将“三尺少半尺”解释为“3.3尺”，但没有给出理由。[8]

除了《宋史》以外，《太常因革礼》《愧郯录》《文献通考》也记载了卢道隆记里鼓车。

2 《太常因革礼》《愧郯录》《文献通考》对卢道隆记里鼓车的记载

2.1 《太常因革礼》记载的卢道隆记里鼓车

《太常因革礼》卷二十二记道：“天圣五年十一月内侍卢道隆上言明记里鼓车。其车独辕，双轮，厢上为两层，各安木人，手执木搥（应为“槌”？）。脚轮各径六尺，围一丈八尺，脚轮一周而行地三步。古法六尺为步，三百步为里；今法五尺为步，三百六十步为里。立轮一只，附于左脚，径一尺三寸八分，围四尺一寸四分，出齿十八，齿相去二寸三分；下平轮一只，径四尺一寸四分，围一丈三（应为“二”？）尺四寸二分，出齿五十四，齿间相去与附立轮同；立贯心轴一条，上安铜旋风轮一枚，出齿三，齿间相去一寸二分；中立平轮一只，径四尺，围一丈二尺，出齿百，齿间相去与旋风轮等；次安小平轮一只，径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸；上平轮一只，径三寸（应为“尺”？）少半尺，围一丈，出齿百，齿间相去与小平轮同。其中平轮转一周，车行一里，下一层木人击鼓；上平轮转一周，车行十里，上一层木人击觸（应为“镯”？）。都用大小轮八只，共二百八十五齿，递相钩鏁，犬牙相制，周而复始。亦诏有司依此制造。”[9]

《太常因革礼》是北宋欧阳修、苏洵等人所撰，成书于北宋治平年间（1064-1067），记载了宋代建隆至嘉祐年间的礼典，距卢道隆上记里鼓车之制的时间1027年仅约40年。《太常因革礼》是目前所知最早记载卢道隆记里鼓车的。

2.2 《愧郯录》记载的卢道隆记里鼓车

《愧郯录》卷第十三记道：“指南则始于 天圣五年十一月壬寅，定王府记室参军工部郎中直昭文馆燕肃创意，始上其制……是时入内内侍省内侍殿头卢道隆，亦上记里鼓之制。其车亦独辕，双轮，箱上为两层，各安木人，手执木槌。脚轮各径六尺，围一丈八尺，脚轮一周而行地三步。古法六尺为步，三百步为里；今法五尺为步，三百六十步为里。立轮一只，附于左脚，径一尺三寸八分，围四尺一寸四分，出齿十八，齿间相去二寸三分；下平轮一只，径四尺一寸四分，围一丈二尺四寸二分，出齿五十四，齿间相去与附立轮同；立贯心轴一条，上安铜旋风轮一枚，出齿三，齿间相去一寸二分；中立平轮一只，径四尺，围一丈二尺，出齿百，齿间相去与旋风等；次安小平轮一只，径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸；平轮一只，径三尺少半尺，围一丈，出齿百，齿间相去与小平轮同。其中平轮转一周，车行一里，下一层木人击鼓；上平轮转一周，车行十里，上层木人击镯。都用大小轮八只，共二百八十五齿，递相钩锁，犬牙相制，周而复始。”[10]

《愧郯录》是南宋岳珂所撰，成书于1214年。

2.3 《文献通考》记载的卢道隆记里鼓车

《文献通考》也记道：“天圣间内侍卢道隆上记里鼓车之制，其制独辕，双轮，箱上为两重，各刻木为人，执槌。足轮各径六尺，围丈八尺，足轮一周而行地三步。以古法六尺为步、三百步为里，用较今法五尺为步、三百六十步为里。立轮一附于左足，径一尺三寸八分，围四尺一寸四分，出齿十八，齿间相去二寸三分；半（应为“下”？）平轮一，其径四尺一寸四分，围丈二尺四寸二分，出齿五十四，齿间相去与附立轮同；立贯心轴一，其上设铜旋风轮一，出齿三，齿间相去寸二分；中立平轮一，其径四尺，围丈二尺，出齿百，齿间相去与旋风等；次设小平轮一，其径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸；上平轮一，其径三尺少半尺，围一丈，出齿百，齿间相去与小平轮同。其中平轮转一周，车行一里，（脱漏“下”？）一层木人击鼓；上平轮转一周，车行十里，上一层木人击镯。凡用大小轮八，合二百八十五齿，递相钩鏁，周而复始。”[11]

《文献通考》为元代初年马端临（1254-1323）所撰。

将《太常因革礼》《愧郯录》《文献通考》中有关卢道隆记里鼓车的文字和《宋史》中有关卢道隆记里鼓车的文字相比较，可以看出它们基本相同。

相应于《宋史》中“次安小平轮一，其径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸半”的记载，

《太常因革礼》记载的是“次安小平轮一只，径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸”；

《愧郯录》记载的是“次安小平轮一只，径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸”；

《文献通考》记载的是“次设小平轮一，其径三寸少半寸，围一尺，出齿十，齿间相去一寸”。

这四种古籍对“小平轮”直径的记载都是“三寸少半寸”，它们都记错的可能性不大。

另外，《太常因革礼》《愧郯录》《文献通考》对“小平轮”齿间距的记载都是“齿间相去一寸”，与上文分析的“小平轮”齿间距的数值相合。

“三寸少半寸”是比“三寸”少了“半寸”？还是“三寸”再加上“少半寸”？

如将“三寸少半寸”解释为“三寸”少了“半寸”，则“小平轮”的周长应为七寸半，与“围一尺”不合。而且这样的解释也不符合古人对数据的记载方式。

按照古人对数据的记载方式，应该是“三寸”再加上“少半寸”，那“少半寸”是多少？

3 “少半”的含义

唐代李籍在《九章算术音义》中记载了“少半”：“半，博漫切，物中分也。凡言半者，以二为分母；言太半、少半者，以三为分母。”[12]

就是说，“半”是以二为分母，“太半”“少半”是以三为分母。“少半”究竟是三分之几？

《夏侯阳算经》和《算学启蒙》也记载了“少半”。

唐朝初年李淳风注释的十部算经中有《夏侯阳算经》，传本《夏侯阳算经》含有唐朝中期的若干史料，不是原本。[13]

《夏侯阳算经》卷上“明乘除法”对“少半”有明确的记载：“二分之一为中半，三分之二为太半，三分之一为少半，四分之一为弱半。此漏刻之数也。”[14]

《算学启蒙》是元代朱世杰所撰，刊刻于1299年。《算学启蒙》“总括”对“少半”也有明确的记载：“二分之一为中半，三分之一为少半，三分之二为太半，四分之一为弱半，四分之三为强半。”[15]

可见，“少半”即三分之一。

4 一个带有“少半”的例题

下面举1个古代数学题中含有“少半”的例子。

《九章算术》约编成于公元前1世纪中叶，书中有一些题目中含有“少半”。

《九章算术》卷二“粟米”有：

“粟米以御交质变易：粟率五十，粝米三十，粺米二十七……菽、荅、麻、麦各四十五……蘖一百七十五。今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法。”[16]

这段话讲的是谷物（或其制成品）之间的交换率。

假如有五十斤粟，则可换三十斤粝米，可换二十七斤粺米……可换菽、荅、麻、麦各四十五斤……可换一百七十五斤蘖。

此卷有1道题是：

“今有粟三斗少半升，欲为菽，问得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。”[17]

根据这段文字可知：粟三斗少半升，如果换成菽，则得二斗七升一十分升之三。

因为1斗=10升,

设换成的菽为x升，

这与题目的答案“二斗七升一十分升之三”是吻合的。

5 “三寸少半寸”“三尺少半尺”的正确解释

由上面的介绍可知，我国古代将三分之一称为“少半”，而按照古人对数据的记载方式可知，“径三寸少半寸”就是直径为“三寸”再加上“少半寸”。

因为1尺=10寸，所以“小平轮”周长为“一尺”。

这与《宋史》《太常因革礼》《愧郯录》《文献通考》对“小平轮”周长的记载相合。

所以，“上平轮”周长为10尺。

因为10尺=1丈，所以“上平轮”周长为1丈。

这与《宋史》《愧郯录》《文献通考》对“上平轮”周长的记载相合。

因为圆周率取为3，所以当直径为

[1][唐]房玄龄.晋书(卷二十五)[M].文渊阁四库全书.第255册.台北:商务印书馆,1983：448,456.

[2][梁]沈约.宋书(卷十八)[M].文渊阁四库全书.第257册.台北:商务印书馆,1983：305.

[3][元]托克托.宋史(卷一百四十九)[M].文渊阁四库全书.第282册.台北:商务印书馆,1983：641-642.

[4]张荫麟.宋卢道隆吴德仁记里鼓车之造法[J].清华大学学报（自然科学版）,1925,2(2):635-642.

[5]王振铎.科技考古论丛[M].北京：文物出版社,1989：31.

[6]刘仙洲.中国在传动机件方面的发明[J].机械工程学报.1954.2（1）：1-27.

[7]陆敬严,华觉明.中国科学技术史·机械卷[M].北京：科学出版社.2000：99-101.

[8]李约瑟,王玲.中国科学技术史第四卷(第二册)机械工程[M].北京：科学出版社,1999：311.

[9][宋]欧阳修.太常因革礼(卷二十二)[M].续修四库全书.第821册.上海：上海古籍出版社.2002：435.

[10][宋]岳珂.愧郯录(卷第十三)“指南记里鼓车”[M].四部丛刊续编（五四）.上海：上海书店，1984:12.

[11][元]马端临.文献通考(卷一百十七)[M].文渊阁四库全书.第612册.台北:商务印书馆,1983：733-734.

[12][唐]李籍.九章算术音义[M].文渊阁四库全书.第797册.台北:商务印书馆,1983：132.

[13]郭书春,李兆华.中国科学技术史·数学卷[M].北京：科学出版社,2010:351.

[14]夏侯阳.算经(卷上)[M].郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷(第一册).郑州:河南教育出版社,1993：381.

[15][元]朱世杰.算学启蒙“总括”[M].郭书春.中国科学技术典籍通汇·数学卷(第一册).郑州:河南教育出版社,1993：1129.

[16]九章算术(卷二)[M].文渊阁四库全书.第797册.台北:商务印书馆,1983：21.

[17]九章算术(卷二)[M].文渊阁四库全书.第797册.台北:商务印书馆,1983：23.

[18][汉]张苍.九章算术[M].曾海龙,译.南京：江苏人民出版社,2011:36-37.