孟繁荣
人教版六年级下册第68页。
一、创设情境,导入新课
师:今天老师给大家带来一个推理游戏,想玩吗?
生:想!
师:一副扑克牌去掉大小王,一共多少张?
生:52张。
师:扑克牌有几种花色呢?
生:四种。
师:现在我就用这52张牌来做一个推理游戏。老师需要5名同学当助手,请上来5名同学。
师:请你们每人任意抽取一张牌,不要让我看到,自己看好牌记在心里,把牌收好了。
(五名学生每人各抽取一张牌)
师:下面就是老师展示自己推理能力的时刻了!我敢肯定在你们这5张牌里,至少有两张是同一花色的,相信吗?
生:不信!
师:好,请亮牌,大声报出你手中牌的花色!
(学生大声报出抽到的牌的花色)
师:同一花色的请站到一起,把牌举起来面向大家,老师猜对了吗?
生:猜对了!
师:如果让这5名同学反复抽牌,不管怎样,总是至少有2张牌是同一花色的!
师:同学们,你们想知道其中的奥秘吗?其实,在刚才的推理游戏中蕴涵着一个非常有趣的数学原理,下面我们就来研究这个数学原理,让我们先从最简单的情况入手。
二、自主探究,感知模型
出示例1:把4支铅笔放进3个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师“:总有”和“至少”这两个词是什么意思?
生“:总有”就是总是有,一定有。
生“:至少”就是最少、最起码。
师:下面就请同学们想办法验证,可以动手摆一摆、画一画或写一写。
(学生验证,展示交流)
生:我们用画图的方法把摆的过程记录了下来,一共有四种情况:第一种情况第一个笔筒中放4支,后两个笔筒中不放;第二种情况第一个笔筒中放3支,第二个笔筒放1支,最后一个笔筒不放;第三种情况前两个笔筒各放2支,第三个笔筒不放;第四种情况第一个笔筒放2支,后两个笔筒各放1支。不管哪种情况,总有一个笔筒中至少有2支铅笔,从而验证了这一结论的正确性。
师:请你把符合要求的笔筒用彩笔圈出来供大家检验。
(学生逐一圈出)
生:我觉得这个结论有问题,(4,0,0)有一个笔筒里有4支铅笔,不是2支。
生:至少是2支,4支不也至少是2支吗?
生:(2,2,1)就不符合刚才的结论,有两个笔筒里都是2支铅笔。
生:“总有一个”的意思就是存在1个即可,可以存在2个或多个。
师:像这样把所有情况都一一列举出来,从而得出结论的方法,在数学中叫“枚举法”。
生:我们组用了分解数字的方法,看起来比画图更清楚,也有四种情况:(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1),总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
师:把4分解成3个数,与枚举法相似,也有4种情况,每一种情况分得的3个数中,至少有一个数是不小于2的数。
生:我们组是这样做的:先往每个笔筒里放入1支铅笔,这样还剩下1支铅笔,剩下的这1支还要放在笔筒里,但是不管放进哪个笔筒,都会出现1个笔筒中放入2支铅笔的情况。这其实就是先将4支铅笔平均分,余下的1支放入其中任意1个笔筒里。
师:她说的你们明白了吗?
生:就是先平均分,4÷3=1……1,先往每个笔筒里放1支,三个笔筒中共放进3支,还剩1支,这1支无论放进哪个笔筒中,那个笔筒中就至少有2支铅笔。
师:为什么要平均分呢?(板书:平均分)
生:平均分就可以使每个笔筒中的笔尽可能地少一点。题目说总有一个笔筒中至少有2支笔,想办法让每个笔筒中笔的支数尽可能地少,就有可能出现和题目意思不一样的情况。
师:但是这样只能证明总有一个笔筒中肯定会有2支笔,怎么能证明至少有2支呢?
生:平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能地少了,如果这样也符合,那么其他的情况就更符合了。
师:刚才我们用了“平均分”的方法,商1和余数1意义相同吗?
生:不相同。商1表示每个笔筒里放1支,余数1表示还剩1支。
师:到现在为止,我们可以得出什么结论?
生:把4只铅笔放进3个笔筒中,无论怎么放,总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。
三、适时引导,构建模型
师:刚刚我们用多种方法验证了这一结论的正确性,在诸多方法中,你觉得哪种方法最简便?
生:用平均分的方法最简便。
师:如果把5支铅笔放进4个笔筒里,会是什么结果呢?能用算式表示吗?
生:不管怎么放,总有1个笔筒中至少有2支铅笔。因为5÷4=1……1,假设先往每个笔筒里放进1支笔,还剩1支,这1支无论放进哪个笔筒,那个笔筒里就至少有2支铅笔了。
师:6支铅笔放进5个笔筒,结果如何?
生:不管怎么放,总有1个笔筒中至少有2支铅笔。因为6÷5=1……1,假设先往每个笔筒里放进1支笔,还剩1支,这1支无论放进哪个笔筒,那个笔筒里就至少有2支铅笔了。
师:你能像老师这样再举些例子吗?
生:把7支铅笔放进6个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
生:把10支铅笔放进9个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
生:把100支铅笔放进99个笔筒中,不管怎么放,总有一个笔筒中至少有2支铅笔。
……
(引导学生采用假设的思路熟练地表达)
师:你从中发现了什么规律?
生:只要铅笔的数量比笔筒多1,那么总有一个笔筒至少要放进2支笔。
师:如果有n(n≠0)个笔筒,铅笔的支数如何表示呢?总有一个笔筒中至少放进几支铅笔?
生:铅笔的支数用n+1表示。(n+1)÷n=1……1,所以总有一个笔筒中至少放进2支铅笔。
师:刚才我们研究了笔放入笔筒中,类似的问题还有把书放进抽屉里、鸽子飞回鸽巢里等等。
师:同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”(板书:鸽巢问题),最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
四、运用模型,解决问题
师:“鸽巢原理”的应用是千变万化的,运用这个原理可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。运用时关键是找出谁是“鸽巢”,谁是“鸽子”。下面我们应用这一原理解决问题。
师:三个小朋友同行,其中必有几个小朋友性别相同?为什么?
生:这道题中男、女两个性别相当于“鸽巢”,三个小朋友相当于“鸽子”。假设两个小朋友的性别分别是“男”“女”,剩下的一个小朋友不管是什么性别都至少有两人是同一性别。
师:随意找13位老师,他们中至少有几个人的属相相同?为什么?
生:这道题的12属相相当于“鸽笼”,13位老师相当于“鸽子”。假设12位老师分别是12个不同的属相,那么剩下的1位老师不管是什么属相,都至少有两位老师的属相是相同的。
师:现在你能解释课前老师的推理游戏中蕴含的数学原理了吗?
生:假设4人每人抽到了一种花色,剩下的一人不管抽到哪种花色,都至少有2人是同一花色的。
师:这节课我们学习了《鸽巢问题》,其实生活中还有好多类似的知识等待我们去发现、去发掘,老师希望通过你的努力学习,在不久的将来能有一条真正属于你自己的“狄里克雷原理”!