高考函数导数压轴题分析及应对策略

王安拓 张华

摘 要：在当前的高考压轴题当中函数导数是其主要的考点之一，近些年在各个地区的高考题当中不断创新，并且在这当中，从历届高考数学实际的得分情况来看函数以及导数的得分情况不是很高，大部分考生的得分往往都比較低，通过近些年的考试总结分析，在这当中主要有两个方面的问题，第一，解题的思路不是很清楚；第二，对于函数以及导数题目在实际的解答当中对于其方法的掌握不是很清楚，虽然对方法平时掌握很多，但是在实际的问题当中往往不知如何应用，因此本文主要就选取近些年若干道压轴题，对高考函数导数压轴题分析及应对策略进行分析和探讨。

关键词：高考函数；导数；压轴题；应对策略

一、运用转化与化归的方式解决导数与函数问题

对于等价转化思想，其主要就是对于一些未知的问题有效的转变为当前已经有的可以处理问题的范围之内的一种解题思想，采用合理的转化，将一些比较复杂以及不规范的问题合理的转变为比较熟悉的问题。通过历届高考试题可以发现，等价转化思想应用的非常多。其转化方式主要有以下几个方面：①等价转化；②将空间图形转变为平面图形；③实现整体和局部之间的有效转变；④一般和特殊之间的转变；⑤非等价转变；⑥代换以及换元等方式的有效应用；⑦正反之间的转变；⑧数形之间的转变；⑨相等和不等之间的转化；⑩常量和变量之间的转化；?对数学问题和实际的问题之间的有效转变。

例1已知函数f（x）=2x3-3x。若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围。

解：曲线y=f（x）和点P（1，t）的直线相切点为（x0，y0），则y0=2x03-3x0，即切线的斜率为k=6x02-3，所以该方程主要是y-y0=（6x02-3）（x-x0）。将点P（1，t）代入，得t-y0=（6x02-3）（1-x0），整理得4x03-6x02+t+3=0。这样其就有效的换变使得这个方程有三个不相同的解题方式。设g（x）=4x3-6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”等价于“函数g（x）有3个不同零点”。

因为g'（x）=12x2-12x=12x（x-1），当x变化时，g（x）与g'（x）的变化情况如下：

所以，g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值。

当g（0）>0且g（1）<0，即-30，由于g（x）在区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞）上单调，因此g（x）分别在区间（-1，0），（0，1）和（1，2）上各有1个零点，即g（x）分别在区间（-∞，0），（0，1），[1，+∞）上各有1个零点。

由此可以知道，在过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（-3，-1）。

在对于这类问题进行实际的研究和处理当中，应用科学合理的方式，能够使得相应的问题从相关的状态当中转变为另外的u昂太，即在完成转化之后实现其他情形的相关问题能够获得合理的处理，采用这种方式对于问题的处理非常良好，并且也是一种科学合理的思想解题方式。在转变当中其通常特点主要就是多样性以及层次性和重复性等，同时，在这当中，按照相应的解题原则实现函数的解答。对于上文中的题目转化，能够使得切线自身的条数有效的转变为函数的零点数量，从而为函数题的处理奠定基础。

二、运用分类与整合思想解决导数与函数问题

对于分类和整合思想的应用也是非常主要的一种数学解题思想方式，在问题相对应的对象很难实现统一处理时，在这当中，通常就需要对对象有效的分类处理，并且对于相关的类别实现研究，从而在此基础上获得这一类的结果，最终将各个结果有效的综合起来，使得整体问题能够实现解答。从近些年高考试题当中可以看出，对于分类以及整合思想在考察中主要有以下几个方面：①对分类意识加强考察，在遇到相应的分类问题时，需要确保对分类的目的以及问题合理的获得；②采用何种方式实现分类，也就是对分类科学的实现，对分类标准需要确保其相同；③在完成分类之后对题目怎样开展，加强讨论，逐次开展，不能跳级；④如何整合。

例2已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图像过点（-1，-6），且函数g（x）=f'（x）+6x的图像关于y轴对称。

求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；

若a>0，求函数y=f（x）在区间（a-1，a+1）内的极值。

错解：一些学生认为极值点相应的应该在区间（a-1，a+1）内，这样就会出现解题错误。因此对于这一类问题，通常，相对于动区间的问题很多学生往往接触不到，对于极值点的确定通常都需要有效的探讨。

正解：运用分类与整合思想由上式得：m=-3，n=0，f（x）=x3+3x2-2，故f'（x）=3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2。当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

由此可得：当0

当a=1，f（x）在（a-1，a+1）内无极值；

当1

当a≥3时，f（x）在（a-1，a+1）内无极值。

综上得：当0

在这当中，因为区间（a-1，a+1）是动区间，f（x）的极值是否在区间（a-1，a+1）不能确定，所以相对于a∈R很难获得f（x）的极值，这就需要对a实施分类，这样才能够对于f（x）的极值点是否在区间（a-1，a+1）内有效确定，以此来对题目实现解答，在这当中，对于分类的标准主要就是0和2是否属于区间（a-1，a+1）。

三、结语

总而言之，在当前的高中数学当中导数以及应用是非常重要的内容，是学生在大学阶段学习高等数学的基础。在现阶段高考试卷当中其通常主要就是以压轴题的方式所存在的，所以一般其信息量以及思维方式和运算量都很大，这就需要采用比较高的数学分析以及处理问题方式，因此在实际的问题处理中，一般就需要采用多个方式共同结合来处理，在这当中，对其只要应用科学合理就能够获得很高的效果。

参考文献：

[1]孙昕.导数压轴题中的分类讨论攻略[J].中学生理科应试，2017，（Z1）：1-4.

[2]赵珂誉，刘成龙.导数定义法求高考压轴题中一类0/0型函数极限[J].理科考试研究，2017.

作者简介：王安拓，山东省德州市第一中学。