数字示波器测量RLC谐振特性

李潮锐

(中山大学 物理学院，广东 广州,510275)

由于多数物理实验项目独立教学，而且使用“紧凑”的实验装置，这种硬件安排虽然可以简化实验操作，但也增加了技术原理和物理原理的教学难度. 事实上，即使研究单一物理问题，往往也存在多种实验技术方案. 或者反之，同一(相似)实验技术手段可以探究不同物理过程. 这也是过去“广东省大学生物理实验设计大赛”命题可操作性的首要关注点[1].

不管是选用多种实验技术方案研究同一物理问题，还是利用同一实验技术手段探究不同物理过程，它们都可以是优化物理实验课程规划建设和教学实施的切入点. 基于核磁共振实验技术原理的教学需要，文献[2]利用数字电桥测量分析了LC电路谐振的幅频和相频特性. 它不仅使学生认识到实验技术方案多样化，更重要的是了解负载电压与电流之间相位差的物理含意. 本文使用交流信号源(功能模块)和数字示波器组合，采用I-V法[3-4]测量RLC电路谐振特性. 通过数字示波器更清晰地观察信号幅值和相位及其变化过程，同时利用离散傅里叶分析波形数据，准确得到LC回路谐振特性参量.

1 实验技术方法

实验电路接线如图1所示.Rs为取样电阻，Z代表LC串联或并联阻抗.Uo为交流信号源输出电压，Ui为经过隔离变压器加载在串联Rs和Z两端的输入电压，而Us则为取样电阻Rs两端的电压.

图1 实验电路接线图

由图1可知，回路电流Is可表示为

(1)

而负载阻抗Z则为

(2)

(2)式可改写为

(3)

式中，φ为Ui相对于Us的相位差. 由此可见，通过测量Ui和Us模量及其两者相位差φ，即可得到负载交流阻抗Z. 若用r表示Ui和Us模量比值，那么式(3)可改写为

Z=[(rcosφ-1)+irsinφ]Rs,

(4)

|Z|=(r2+1-2rcosφ)Rs,

(5)

(6)

|Z|表示负载阻抗模，θ为负载两端电压相对于电流的相位差. 如文献[2]所述，LC电路幅频和相频测量的本质就是变频交流阻抗测量，而上述阻抗测量分析方法已由文献[5]得到验证.

复阻抗Z的实部R和虚部X为

R=|Z|cosθ，X=|Z|sinθ,

(7)

分别称为电阻和电抗.

若用复导纳Y表示，则

(8)

|Y|为负载导纳模，而θ则为负载电流相对于电压的相位差. 复导纳Y的实部G和虚部B为

G=|Y|cosθ,B=|Y|sinθ，

(9)

分别称为电导和电纳.

技术方案1：选用Tektronix AFG3252C通道1输出Vpp=4.00 V且对数扫频的简谐信号为交流源. 使用Tektronix MDO4034C数字示波器通道1和通道2分别采集Ui和Us信号，且以AFG3252C通道1同步输出作为MDO4034C同步触发信号.

技术方案2：利用MDO4034C集成任意函数发生器MDO4AFG输出Vpp=4.00 V且对数扫频的简谐信号为交流源，并以Ui为示波器同步触发信号.

由Ui和Us波形数据分别通过离散傅里叶分析得到模|Ui|和|Us|及对应(初)相位φi和φs，且由φ=φi-φs求得两者之间相位差φ. 进而，由式(5)和(6)分析获得负载阻抗模|Z|和相位差θ.

由Keithley 2701电阻四线法测得Rs=74.58 Ω，TH2826测得Ls=33.75 mH，Cp=7.23 nF. 计算机通过USB接口实现AFG3252C或MDO4AFG对数扫频控制和MDO4034C波形数据的读取，并实时进行离散傅里叶分析及相关参量数据处理.

2 实验结果及分析

图2为串联LC导纳的幅频和相频特性. 由图2可见，串联谐振时导纳绝对值达到最大，且电流与电压同相，此时示波器也显示Ui和Us同相位. 图3是基于图2实验数据且由式(9)分析得到导纳实部和虚部参量，分别描述LC两端电导和电纳的频率特性. 上述实验结果与文献[2]的结果一致.

图2 LC串联导纳幅频和相频特性

图3 LC串联电导和电纳的频率特性

图4为LC并联阻抗的幅频和相频特性. 由图4可见，LC并联谐振时两端阻抗为极大值，且电压与电流同相，此时示波器也显示Ui和Us同相位. 图5是基于图4实验数据且由式(7)分析得到的阻抗实部和虚部参量，分别描述了并联LC

图4 LC并联阻抗幅频和相频特性

图5 LC并联电阻和电抗频率特性

两端电阻和电抗的频率特性. 上述实验结果与文献[2]的结果一致.

上述2种技术方案都得到实验验证，本文仅选取技术方案2所得实验数据进行分析讨论.

在实验过程中，随着源信号频率改变，Ui和Us幅值和相位也都随之发生变化. 特别是，在显示屏上可清晰地观察到2个波形信号的一方相位从落后到超前或从超前到落后于另一方的变化过程. 当LC电路处于谐振频率时，Ui和Us两者同相位. 必须注意到，由于信号源存在内阻，当负载阻抗变化时，负载两端电压也随之(略有)变化. 本实验方案的不足之处是没有采用负载恒压，而是通过测量负载实际电压值并利用式(3)求得负载阻抗.

3 结 论

在物理教学实验中，示波器主要用于物理现象(动态)的观察[6-8]. 若测量信号在示波器显示屏上的坐标，根据显示刻度则可得到量化的实验结果，从而使实验教学从定性观察提升至半定量观测技术水平[9-10]. 数字存储示波器特点在于对输入信号进行时序采样并存储，它不仅可直观得到信号在显示屏上的数字化坐标，更为后续处理分析提供完整的物理信息. 随着测量准确性的提高，使用数字存储示波器也可实施(接近)定量的物性分析.

由于认识到“RLC电路谐振特性实验”通常所采用的交流毫伏表测量有局限性，文献[2]使用数字电桥且由基本参量|Z|和θ数据分析得到LC

电路谐振的幅频和相频特性，从而了解负载电压与电流之间相位差的物理含意及其重要性.

使用示波器可以更清晰地观测信号(初)相位或信号之间相位差及其变化过程. 通过读取数字存储示波器的波形数据，采用离散傅里叶分析准确得到基频谐波信号的幅值和(初)相位，进而实现LC回路谐振特性的定量分析. 在本实验技术方案中，由于使用比数字电桥更灵活的扫频设置可以消除测量频率点限制，而外置取样电阻则提高了理解I-V法测量原理的实在感.

上述结果又一次表明，使用智能仪器并通过计算机测控数据采集，不能仅仅是实验测量自动化的简单实施，而应该发挥智能仪器的特色功能提高实验测量的准确性和科学性.

参考文献：

[1] 李潮锐，姚若河，何振辉，等. 开放式物理实验交流平台及教学辐射作用[J]. 物理实验，2010,30(11)：15-20.

[2] 李潮锐. 数字电桥测量LC谐振特性[J]. 物理实验，2017,37(12)：21-24.

[3] Keysight. A guide to measurement technology and techniques [Z]. Impedance Measurement Handbook-Application Note(6th Edition), 2016.

[4] 杜晓波，孙昕，韩炜，等. 用数字电桥测量介电材料与软磁材料的特性[J]. 物理实验，2017，37(2):7-9.

[5] 李潮锐. 用锁相放大器测量材料介电参量[J]. 物理实验，2018,38(3)：15-17,20.

[6] 杨文明，王宇兴，王瑗，等. F-H实验测量方案的改进[J]. 物理实验，2016,36(10)：5-7.

[7] 冯娟，张贺，赵飞. 夫兰克-赫兹实验的改进[J]. 物理实验，2014,34(9)：39-41.

[8] 蒲贤洁，刘高斌，何光宏，等. 弗兰克-赫兹实验不稳定状态的应对措施[J]. 物理实验，2017,37(7)：1-5.

[9] 曹文，刘祥楼，张利巍，等. 利用数字示波器测量高电阻和低电阻[J]. 物理实验，2013,33(3)：7-10.

[10] 刘智崑，周惠君，于瑶，等. 用RC电路测量并分析介电频率谱[J]. 大学物理，2008,27(1)：51-55.