浅谈初中数学蕴含的规律和技巧

邱 亮

(河南省驻马店市基础教学研究室 463000)

无论对于教师还是学生，初中数学的学习都是有规律可循的.很多学生抱怨数学难学，尤其是几何部分，不知如何进行学习.作为老师，就要正确引导学生，让学生在学习中有规律可循，所以探索、掌握和运用规律是每一位数学老师应该积极参与、认真对待的.初中数学的教与学，存在大量的规律、技巧，在这里只提到两个方面：一是有关线段的和、差、倍、分的问题中辅助线的作法；二是双垂直定理.通过探索这两类题目的解题规律，总结出适合学生的解题技巧，引导学生学习.

一、有关线段的和、差、倍、分的问题，辅助线的作法

几何题中凡是涉及到线段的和、差、倍、分的问题，通常需要添加辅助线.辅助线的添加方法简单来说就是——截长补短、加倍折半.

例1 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，BE⊥AC于E.

求证：BE=DF+DG.

分析通过观察我们发现此题属于线段的和的问题，因此按照我们说的规律，就必须添加辅助线，如果不添加辅助线很难做出或无法做出，而辅助线的添法也是有规律可循的.

图1 图2

方法一：截长

在线段BE上截取，BE属于三条线段BE、DF、DG中的最长的一条.

具体操作：过点D作DM⊥BE于M，通过证明BM=DG，EM=DF，从而证明BE=DF+DG.

方法二：补短

线段DF和DG属于三条线段中的较短的两条，在线段DF的反向延长线上补出DM.

具体操作：过B作BM⊥DF，交DF的反向延长线于M，通过证明DM=DG，BE=MF，从而证明BE=DF+DG.

图3 图4

方法三：利用面积

连接AD，利用有关面积的知识来解决问题.这种方法小学数学就可以解决.

解由S△ABC=S△ABD+S△ACD得

所以AC×BE=AB×DG+AC×DF.

因为AB=AC,

所以AC×BE=AC×DG+AC×DF=AC×(DG+DF),

所以BE=DF+DG.

例2 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB>AC.

分析通过观察，此题亦属于线段的和差的问题，所以马上想到需要添加辅助线.

图5 图6

方法一:延长AD至E，使DE=AD，连接CE.

在△ACE中，利用三角形三边关系定理得CE-AC

我们可证明AB=CE，所以AB-AC

所以AB-AC<2AD

图7

方法二:延长AD至E，使DE=AD,连接BE.证明方法同上.

例3 已知：在正方形ABCD中，如图8，∠EAF=45°,点E、F分别在线段BC、CD边上.

求证：EF=BE+DF.

分析通过观察，我们马上发现，在本题的结论中存在线段的和的问题，猛一看不知道从哪里下手，感觉很难，尤其是第一次看到这样的题目，更是感觉难以招架，左思右想不得其解.当然这是正常现象,因为没有发现规律，更没有掌握和运用规律.但如果知道并掌握了我们讲的规律，马上就可以找到解题的突破口了.

方法一：延长EB至G，使BG=DF，连接AG.

图8 图9

图10

易证∠BAG=∠DAF，AG=AF，所以∠BAG+∠BAE=45°.

易证：△AEF≅△AEG，EF=EG.

而EG=BE+BG=BE+DF

所以EF=BE+DF.

方法二：如图10,延长FD到M，使DM=BE，连接AM，下略.

例4 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上任一点(可与B、C重合)，分别过点B、C、D作直线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最小值为 ，最大值为 .

图12

分析本题会让有的同学一看就蒙了，感觉很难处理，但稍加观察发现，这也是属于线段的和的问题，不论结果如何，只须按照规律上讲的，这样的问题需要添加辅助线，眼前马上一亮，开始行动，尝试添加辅助线.本题中涉及到三条线段BB′，CC′，DD′，从所画的图形中可以明显地看到线段DD′最长，我们马上就应该想到截长或补短.如图15,图16.

图15 图16

二、双垂直定理(624定理)

什么是双垂直呢？想必大家都很熟悉，这个图形在我们北师大版七年级课本上就有.

图17

如图17,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.这个图形中有两个垂直，所以我把它叫做“双垂直”.

笔者在长期的教学实践中，发现“双垂直”在初中数学里占着举足轻重的地位，它涉及的有七、八、九三个年级的数学知识，贯穿了整个初中数学的始终.知识点有：互余的角、勾股定理、相似三角形，题型有计算题和证明题.图中共有6条线段，我发现，已知其中的任何两条线段一定能求出其余四条中的任何一条，我也把双垂直定理叫做“624定理”.结果如下：

(1)角等 ：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；

(3)射影定理：①CD2=AD·BD;②AC2=AD·AB;③BC2=BD·AB.

例5 已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=3，AB=5,求CD的长.

分析用“624定理”可以轻松解决.

图18 图19

例6 已知：如图19，⊙O的直径AB=10，弦CD⊥AB于E.若AE=2，则AC= .

分析这个题要利用“直径所对的圆周角是直角”，从而想到添加辅助线——连接BC，则∠ACB=90°.这样就构成了双垂直图形了，即可用624定理：

AC2=AE·AB=2×10=20，

图20

例6 如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆形量角器，按图20的方式摆放，使斜边与半圆相切，若半径OA=2，则图中阴影部分的面积为 .

欲求阴影部分的面积，只需要求出圆心角为120°的扇形的面积和△OBC的面积.

图21

例7 如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半⊙O的直径，将直角△ABC沿射线AB方向平移，既得到△DEF，使DF过BC与半圆的交点H.

(1)求BE的长；

(2)求直角△ABC和△DEF重叠(阴影)部分的面积.

图22

分析此题只需要添加辅助线，连接AH.利用“直径所对的圆周角是直角”可以得到：∠AHB=90°，进而得到双垂直图形，就可以利用我们所讲的“双垂直定理”(624定理)，要连续三次运用“624定理”.

第一次：在直角△ABC中，求出AH的长.

第二次：在直角△AHB中，求出AD，进而求出BD、BE的长.

第三次：在直角△AHB中，求出DH的长.

由DH2=AD×BD，得

综上所述：我们在处理有关类似以上提到的数学方面的问题时是有规律可循的.通常分三步走：第一步：观察分析(动眼)；第二步：认知归纳(动脑)；第三步：采取行动(动手).比如：看到一个几何题，先用眼睛观察，第二步动脑想一想，这是我们学过的老师讲过的哪一类问题呢？哦，我想起来了，是双垂直问题，也就是624定理，就三条：(1)角等；(2)面积等；(3)射影定理.接下来该动手了,动手试试，算算，该添加辅助线的要动手作出来，看看有什么结论得出，从而达到解决问题的目的.

最后祝教师同行们，在教学中多探索规律，越教越自如！祝亲爱的同学们，在学习中，多运用规律，越学越轻松！

参考文献：

[1]郑祎梦,周岩.“双垂直”用处大[J].中学生数学,2010(07).

[2]宋桂珂.初中数学辅助线技巧浅略[J].学周刊,2015(02).

[3]陈玲.辅助线在初中数学解题中的应用[J].科普童话,2016(07).