例谈高中数学解题技巧之“三角代换”

李宇珂

【摘 要】 “三角代换”是一种常见的数学解题方法，在高中数学中应用十分广泛。这种解题技巧将一些运算复杂、思路古怪的难题转化为三角问题，然后利用三角中的恒等式进行解题。在本文中，我就试着分析了三角代换在函数求最值、数列问题、不等式证明中的具体应用。

【关键词】 高中数学；解题技巧；三角代换；应用

小学和初中阶段的数学问题往往难在运算，而到了高中时期数学解题就难在对题的解析和思路上。三角代换的解题方法就是给我们解题提供了一种思路，在遇到难题时想办法将其转化为我们所能解决的问题。通过将所求设为已知，化难为易，将无从下手的题型变为三角函数的计算，大大降低了难度。

一、在函数最值中的应用

在解决一些函数问题时三角代换往往有奇效，比如在求函数最值的时候，可以利用三角函数恒等式来解答。将代数问题有效地转化为三角问题，然后对函数进行换元和变形，从而解决问题。

例1：求y=√1-x^2的值域

解题思路：解题思路：首先我们根据题示信息得出x∈[-1，1]，然后设x=sint，t∈[0，2π）那么√1-x^2 =cost。原函数就变成了y=sint+cost∈[-√2 ，√2 ]，√1-x^2 ≥0，通过计算求解得出x∈[-1，1]。从这题我们可以看出，在一些难度颇高的函数问题中，我们很难通过常规的计算得出问题的答案，而需要在解题思路上多花些功夫，运用三角代换的方式将根号下的数值计算转化为我们熟悉的三角函数运算，这样一来极大的简化了解题过程。

二、在数列问题中的应用

从近几年的考试题中不难发现，对数列知识的考查正在逐渐增强，数列题的难度和解法也越来越刁钻。针对这一现象，熟练利用三角代换解决数列中的疑难问题已经是我们所必须要掌握的解题手段了。

例2：Sn=sin21°+sin22°+sin23°+……sin289°。

在这道题当中89项相加，而且是三角函数值在运算起来如果没有特殊的方法是很难做到的。这时候我们就必须利用sin2θ+cos2θ=1，1+tan2θ=sec2θ，1+cot2θ=css2θ这几个恒等式来进行解题。

首先，将数列转化为：

Sn=sin2（90°-89°）+sin2（90°-88°）+sin2（90°-87°）+……sin245°+sin246°+……sin289°.

Sn=cos289°+cos288°+cos287°+……+cos246°+sin245°+sin246°+……+sin289°.

Sn=cos289°+sin289°+cos288°+sin288°+……+cos246°+sin246°+sin245°

Sn=1+1+1+……+1+

Sn=1×44+

Sn=44.5

在这道题的解答过程中，我们先是将复杂的数列各项之间建立起三角函数的联系，然后利用倒序求和的方式排列出来组合求解。由此可见，三角代换在数学解题过程中的巧妙使用能把一些繁琐的运算项简单化，从而为我们解题提供大大的便利。

三、在不等式证明中的应用

数形结合一直以来都是我们解题过程中的有效手段，实际上用三角代换来解不等式也是数形结合的一种表现。在一些数学题中，已知条件过少我们很难对原题直接进行求解，这时候就需要用代换的方式将其中的变量替换成适合的三角函数，然后利用三角函数的有界性对已知条件进行补充和丰富，建立起各项条件之间的逻辑关系，方便我们解题。

例3：已知x2+y2=1，求证：|x2+2xy-y2|≤√2 。

從题目来看，我们可以将已知条件看作是圆的方程式，然后通过圆和三角函数之间的代换，求出不等式的区间值。

证明过程：设x=acosθ，y=asinθ，a≥0，0≤2π，结合已知条件x2+y2≤1，可以求出a2≤1，

那么可知|x2+2xy-y2|=a2|sin2θ+cos2θ|=a2 | √2 sin（2θ+ ）| ≤√2 a2≤√2。

还有一道曾经在数学奥赛上出现过的不等式问题也有着相当重要的借鉴意义，当时可谓是难倒了不少的数学尖子生，我在这里也跟大家一起分享。

例4：假设a、b、A、B∈R，如果对于任意的x∈R而言，f（x）=1-acos-bsinx-Acos2x-Bsin2x≥0均成立，试着证明a2+b2≤2。

根据已知条件的分析我们不难得出，代数式acosx+bsinx存在着三角函数的联系，那么我们就可以利用平方关系的恒等式来进行解题。

假设√a^2+b^2 >2，令 =sinθ， =sinφ，

取x1= -θ，x2= +x1= -θ，那么根据计算sin2（x1+φ）<0，f（x1）<0，故而a2+b2≤2。

这个例题正好说明了三角代换在解题中有着广泛的应用，同时也揭示了三角代换和几何、代数及不等式之间有着深刻的内在联系。

高中数学的学习更注重数学思维和应变能力的培养，在浩瀚的题海中我们不能死板地看待问题，而应该多方面地思考，并充分应用换元的思路解题。三角代换正是利用三角函数的特点以及平方关系的恒等，给我们解题和运算都带了来极大的便利，在解题的过程中我们要有意识地对这个方法加以应用，把所求问题转化为三角函数问题，从而使难题迎刃而解。当然，我个人的水平毕竟有限，对于三角代换的具体应用技巧还有待完善，这就需要我们大家一起在今后做题解题过程中不断丰富和完善这个解题方法。

【参考文献】

[1]向长福.三角代换在初等数学解题中的应用[J].理工·科教文汇，2016.06（下旬刊）：114-115.

[2]周丽香.高中数学教学中的三角代换之妙用[J].教学实践，2013年10月总第295期：161.

[3]李国强.三角代换在解题中的应用[J].教学·解题指南，2014年9月总第206期：50.