变幅交变应变控制下沥青混合料应力响应

丁　彪，郑传超，邹晓龙，陈团结，郑南翔

(1.中交第一公路勘察设计研究院有限公司，陕西 西安 710065;2.长安大学 教育部特殊地区公路工程重点实验室，陕西 西安 710064)

0　引　言

针对加载顺序和加载幅值对材料性能影响的研究主要集中在金属领域，如低-高荷载作用下材料表现为“锻炼效应”，高-低荷载条件下表现为“过载效应”，相应的研究成果在航天航空以及机械制造领域得到了广泛的应用[1-3]。而对于黏弹性材料，由于其特有的属性，以致于其相关力学行为有别于金属材料，国内外少数学者也作了相应的研究，如罗文波通过试验揭示了应变加载历史对聚乙烯和聚丙烯的应力松弛行为的影响[4]。Heymans对线黏弹性范围内的材料卸载初期的应力随时间反而增大的现象进行了研究，并通过分数阶导数黏弹性模型进行解释[5]。朱正佑等借助于黏弹性材料的三维分数阶导数型本构关系建立了黏弹性Timoshenko梁的静、动力学数学模型，同时分析了、阶跃荷载作用下梁的准静态力学行为[6]。总之，黏弹性材料在加卸载过程中所表现的力学行为引起越来越多学者的兴趣。沥青混合料作为黏弹性材料，其在变幅荷载作用下的反应如何，值得我们去进一步探讨，笔者从传统的Burgers模型出发求解出沥青混合料在变幅交变应变作用下的解析解，分析无损状态下材料的应力变化规律，同时，借助于四点弯曲小梁疲劳试验，研究加卸载过程对材料应力的影响，并且分析了高低顺序作用时对应的低应变控制的初始阶段应力出现反弹的原因。

1　理论基础

本研究采用Burgers模型来描述沥青混合料的材料变化属性，由于Burgers模型在求解应力过程中所用的应变为连续函数，而本试验中应变在前后两阶段是变化的，因此，需要借助于单位阶跃函数将分段的应变写成连续应变的形式再做相应的变换，所用的相关理论和函数如下。

1.1　Bursers模型基本方程

Burgers模型为一个麦克斯威尔模型和开尔文模型的串联，如图1：

图1　Burgers模型Fig. 1　Burgers model

假定麦克斯威尔模型和开尔文模型的伸长分别为ε1、ε2，两者之和即为伯格斯模型的伸长ε，假设伯格斯模型的总拉应力是σ，则

(1)

联立消去ε1、ε2，即得到伯格斯模型的流变方程为

(2)

1.2　heaviside函数

令y=heavisde(x)，则当x<0时，y的值为0；当x>0时，y的值为1；当x=0时，y=0.5[7]。

1.3　分段函数的单位阶跃函数表达式

假设分段函数为[8]

(3)

式中：f1(t)和f2(t)分别为[0，t0)和[t0，+∞)上的连续函数，则有

f(t)=f1(t)[u(t)-u(t-t0)] +f2(t)·u(t-t0)

(4)

2　无损变幅交变应变条件下沥青混合料的应力求解

变幅交变应变作用示意图如图2。

图2　变幅交变应变作用示意Fig. 2　Schematic diagram of variable amplitude alternating strain

(5)

依据式(3)和式(4)得

u(t)+(B-A)u(t-t1)+(A-B)cosωt×u(t-t1)]

(6)

将(6)式进行拉氏变换得

(7)

则

(8)

则

(9)

(10)

对(10)进行拉氏反变换得

q1cost1ω+q1p1ωsint1ω+q2p2ω3sint1ω-q2ωsint1ω)

sin[ω(t-t1)] +heavside(t-t1)ω(A-B)

(q2p2ω2cost1ω-q2ωcost1ω+q1p1ωcost1ω+q1p2ω2sint1ω-q1sint1ω-q2p1ω2sint1ω)cos[ω(t-t1)]+Aω(q2p1ω2-q1p2ω2+q1)sinωt-Aω2(q1p1+

(11)

为验证式(11)的合理性，取相应的参数代入：

假设取t1=1 000 s，t=2 000 s，取参数E1=7 000 MPa，E2=20 000 MPa，k1=10 000 000(MPa·s)，k2=140 000(MPa·s)，则：p1=1 936 s，p2=10 000 s2，q1=10 000 000(MPa·s)，q2=70 000 000(MPa·s2)。

计算过程中频率为10 Hz，周期为0.1 s，图3和图4分别为不同加载顺序条件下的应力变化理论解，当t1=1 000 s时，应变发生阶跃，其不同加载顺序和加载幅值下的应力变化值见表1。

图3　高低顺序加载下沥青混合料的应力理论解Fig. 3　Stress theoretical solution of asphalt mixture under high-low loading sequence

图4　低高顺序加载下沥青混合料的应力理论解Fig. 4　Stress theoretical solution of asphalt mixture under low-high loading sequence

表1　应变变幅时其对应的应力变化理论解Table 1　Theoretical solution of stress change corresponding to the change of strain amplitude

由表1中的计算结果可以看出，在无损状态条件下，应变变幅时，其应力变化绝对值近似为Δσ=E1(B-A)。

3　变幅交变应变控制条件下应力变化试验研究

3.1　试验材料

试验过程中采用SMA13级配沥青混凝土，SBS改性沥青的技术指标见表2[9]。

表2　SBS改性沥青技术指标Table 2　Technical indicators of SBS modified asphalt

SMA13级配采用规范规定的级配中值。马歇尔试验结果见表3[9]，结合谢伦堡析漏试验和肯塔堡飞散试验、车辙试验等验证其路用性能，得出SMA13最佳油石比为6.0%。用此油石比拌合混合料SMA13马歇尔试验性能参数。

表3　马歇尔试验结果Table 3　Marshall test results

3.2　试验仪器及方案介绍

试验采用UTM-100材料试验系统。采用应变控制模式，加载波形为半正矢波。试验中所采用的小梁的尺寸为380 mm长×63.5 mm宽×50 mm高。

试验在15 ℃温度下进行，加载频率为10 Hz，为保证试件表面的温度达到试验温度，试验之前将试件放置在环境箱中保温12 h。

试验分两级加载，每级荷载10 000次，试验过程中分别记录两级荷载加载过程中的初始应力和终止应力。

3.3　变幅应变控制条件下沥青混合料的应力变化

3.3.1试验结果

结果显示，低高应变顺序作用下，应力在两阶段都随荷载作用次数的增加而减小，这与理论解所得的变化规律相似；高低应变顺序作用下，则出现两种情况，在400 με作用下应力随着时间的增大而减小，而在200 με条件下，应力随着荷载作用次数的增加先增大后减小，分别见图5～图6。

图5　15 ℃(600+400)με中400 με对应的应力变化Fig. 5　Stress vriation corresponding to 400 με under 15 ℃(600+400)με

图6　15 ℃(600+200)με中200 με对应的应力变化Fig. 6　Stress variation corresponding to 200 με under 15 ℃(600+200) με

3.3.2应变阶跃时沥青混合料的应力变化

表4　15 ℃变幅试验条件下应力变化Table 4　Stress change under variable amplitude test at 15 ℃

4　理论解和试验结果对比分析

为了便于说明问题，将卸载过程中低应变控制阶段的最大应力取名为“平衡应力”，用σ0表示，高应变控制末尾阶段应力为σ1，低应变控制初始应力为σ2，A和B分别表示第1级和第2级应变，则σ2=σ1+E1(1-D)(B-A)，如图7[9]：

当D值越大时，应力下降的幅度就越小。

图7　考虑损伤的高-低荷载条件下应力变化示意Fig. 7　Schematic diagram of stress change under high-low load conditions with the consideration of damage

5　结　论

1) 基于Burgers模型，假设荷载作用下其内部的黏弹性参数没有变化，求解出变幅交变应变控制条件下沥青混合料的应力解析解，为研究随机荷载谱作用下路面应力状态提供理论基础。

2) 借助于疲劳试验，研究变幅交变条件下沥青混合料的应力变化情况，

试验结果显示：先低后高的顺序加载过程中，应力在两阶段都随着加载次数的增加而减小；先高后低的加载顺序加载过程中，当低应变阶段与高应变比较接近时，应力在两阶段都随着加载次数的增加而减小，当低应变与高应变相差幅度较大时，应力在低应变初始阶段先增加后减小。

3) 通过分析高低顺序作用下理论解的变化规律可以发现，低应变控制的初始阶段会出现应力反弹的现象，并且存在一个最大值“平衡应力”；当试验中高低应变比较接近时，初始应力在平衡应力上方，则应力随着荷载作用次数的增加而减小，当低应变与高应变相差较大时，则初始应力在平衡应力下方，应力表现为先增加后减小。

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