大端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆设计及应用

靳涛，胡小平，于保华

（杭州电子科技大学 机械工程学院，杭州310018）

超声切削加工系统一般包括超声波发生器、换能器、变幅杆和加工刀具等［1-2］。由于换能器输出振幅不能满足刀具加工需要，需在换能器与加工刀具之间添加一种振幅放大机构，即变幅杆［3］。

超声变幅杆是超声切削加工系统中的重要组成部件，其作用是把换能器输出端的振动位移或速度振幅进行放大，此外，超声变幅杆还可以作为机械阻抗变换器，在换能器和声负载之间进行阻抗匹配，使超声能量更有效地从换能器向负载传输［4-6］。根据需求的不同，变幅杆可分为单一型和复合型［7］。

变幅杆的振动特性理论分析，通常基于其波动方程，由边值问题定解［8-9］。变幅杆的设计通常按照半波、空载考虑，实际应用时再加以调整［10］。在高强度超声应用中，往往要求变幅杆末端具有较大的振动幅度，这就要求变幅杆的形状因数φ和放大倍数Mp的值都尽可能大［11］。同时为了保证变幅杆能够持续工作较长时间，变幅杆工作时应具有较小的最大应力。为了兼顾以上优点，设计了一种新型复合变幅杆。

本文首先基于传统的振动理论，设计一种1／2波长大端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆（简称为新型复合变幅杆）；然后借助有限元分析软件验证其理论公式的正确性，并且与单一型变幅杆以及小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆的性能参数进行比较，利用有限元分析软件对新型复合变幅杆进行优化设计，并通过实验验证了其振动情况。

1 新型复合变幅杆的理论模型

图1为新型复合变幅杆的示意图，为了简化模型，假设变幅杆由均匀、各向同性材料构成。

图1 新型复合变幅杆Fig.1 New compound horn

在简谐共振的条件下，变幅杆纵向振动的波动方程为［12］

式中：S＝S（x）为变幅杆的横截面积函数；ξ＝ξ（x）为质点位移函数；k＝ω／c，k为圆波数，ω为圆频率，c为纵波在变幅杆中的传播速度。

设Ⅰ段的末端为坐标原点，则各段的面积函数表达式为

将每段变幅杆的面积函数代入波动方程式（1）中，并联立式（3）～式（5）：

自由边界条件为

变幅杆左端位移边界条件为

两段变幅杆之间的位移、应变连续条件为

解得每段变幅杆的位移函数为

应变分布的表达式为

1）频率方程

由式（7）和边界条件（3）可以推导出变幅杆的频率方程为

由式（8）求出根（kl2）之后，可由式（9）求出l2长度：

式中：λ为波长。

2）位移节点x0

由式（6），当x＝x0时ξ＝0得节点位移x0为

3）放大倍数Mp

4）输入力阻抗Zi

可得

5）形状因数φ

当不满足条件时，则Ⅱ段没有应变极大点，应变最大点在xm＝l2处，则φ＝1。

2 变幅杆的动力学分析

利用ANSYSWorkbench有限元分析软件对所设计的新型复合变幅杆进行动力学分析，通过比较各项参数，验证理论公式的正确性。

2.1 理论数据计算

在变幅杆设计中，需要进行大量的数学计算，其中包括求解超越方程。这些计算很难用手工精确和快速的进行，这就需要借助MATLAB软件计算。

由频率方程可知，变幅杆的各项参数不仅和面积系数N有关还与Ⅰ段l1有关。

分别假设Ⅰ段长度l1＝31.25mm以及面积系数N＝3.5，变幅杆工作时的谐振频率FREQ＝20 000 Hz，通过式（8）求得不同的面积系数N时圆锥杆的长度l2以及不同的Ⅰ段长度l1时圆锥杆的长度l2，然后由式（11）、式（13）和式（14）分别求得相应的放大倍数Mp、形状因数φ和应变极大点xm，结果如表1、表2所示。

2.2 动力学分析结果与理论数据比较

由于变幅杆工作过程中一直处在高频的振动状态，因此所选材料必须具有一定的强度和韧性［13］。试验选用性能优良的00Cr17Ni14Mo2材料来制作变幅杆，材料参数如表3所示。

利用CAD软件对变幅杆建模，导入ANSYS Workbench软件中，对变幅杆进行模态分析，提取各阶模态，选取纵振情况下的谐振频率。在模态分析的基础上，选用Harmonic Response模块对变幅杆进行谐响应分析，法兰的位移为零，在变幅杆大端xy平面施加0.04mm的位移载荷，得到变幅杆的放大倍数Mp、应变极大点xm和最大应力σmax。

表1 N对变幅杆性能参数的影响Tab le 1 E ffect of N on perform ance param eters of horn

表2 l1 对变幅杆性能参数的影响Tab le 2 E ffect of l1 on perform ance param eters of horn

表3 00Cr17Ni14M o2材料参数Table 3 00Cr17Ni14M o2 m aterial param eters

对表1、表2不同结构参数的变幅杆进行动力学分析，结果如表4、表5所示。

表4 N对动力学分析的影响Table 4 Effect of N on kinetic analysis

表5 l1 对动力学分析的影响Tab le 5 E ffect of l1 on k inetic analysis

比较表1和表4求解的结果，Ⅰ段长度l1保持不变时，谐振频率FREQ、放大倍数Mp和应变极大点xm的相对误差如表6所示。

比较表2和表5的求解的结果，面积系数N保持不变时，谐振频率FREQ、放大倍数Mp和应变极大点xm的相对误差如表7所示。

由表6、表7分析可知，解析法计算的结果与有限元分析的结果基本吻合，谐振频率FREQ的相对误差最大为2.59% ＜5%，放大倍数Mp的相对误差最大为4.59% ＜5%，应变极大点xm的相对误差最大为4.29% ＜5%。因此，在可允许的范围内，验证了理论公式的正确性。

表6 N对相对误差的影响Tab le 6 Effect of N on relative error

表7 l1 对相对误差的影响Tab le 7 Effect of l1 on relative error

3 变幅杆性能参数和最大应力对比

3.1 变幅杆的性能参数对比

以放大倍数Mp和形状因数φ作为关键参数，与单一型变幅杆以及小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆进行比较，结果如图2所示。

图2 各类变幅杆性能参数对比Fig.2 Comparison of performance parameters of various horns

由图2可知，随着面积系数的增大，小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆的放大倍数增大且增大速率最快，但是形状因数明显小于其他3种型号的变幅杆且处于较低的水平。而新型复合变幅杆的放大倍数也随着面积系数的增大而增大，一直大于圆锥形变幅杆放大倍数，与指数形变幅杆接近，并且形状因数一直大于其他3种类型的变幅杆。新型复合圆锥形变幅杆两者兼顾，变幅杆末端能达到较大的振幅，因此设计的新型复合变幅杆综合性能最优。

3.2 变幅杆的最大应力对比

根据材料的疲劳-寿命曲线可知，材料的性能参数相同时，变幅杆工作时的最大应力直接影响到变幅杆的寿命，为了保证变幅杆能够持续工作较长时间，具有较长的使用寿命，所以在设计变幅杆时除了要满足振幅的设计要求以外，还要重点考虑变幅杆的最大应力［14］。4种变幅杆的最大应力对比如图3所示。

由图3可以看出，随着面积系数的增大，各类变幅杆的最大应力都会增大。但明显可以看出，小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆的最大应力随面积系数增大将快速增大，在面积系数大于1.5后明显大于其他3种变幅杆的最大应力，新型复合圆锥形变幅杆和圆锥形变幅杆的最大应力增加速度最为缓慢且一直处于较低的水平，符合设计的需求。

图3 各类变幅杆最大应力对比Fig.3 Comparison ofmaximum stress of various horns

综合比较分析可知，新型复合变幅杆具有更好的综合性能和更小的最大应力，所以新型复合变幅杆的结构更优良。

4 新型复合变幅杆的实际应用

4.1 变幅杆的尺寸设计

为了降低换能器、刀具以及变幅杆大小端结合处的能量损耗，要求变幅杆大端直径D1等于换能器输出端直径、小端直径D2等于刀座直径［15］。在实际设计中，对于20 kHz的超声振动切削系统，根据选定的换能器型号，变幅杆的面积系数要求为N＝3.5，变幅杆大端直径D1＝56 mm，小端直径D2＝16mm。同时为了保证刀具的输出振幅满足要求，变幅杆的放大倍数Mp≥3。

根据表2可知，当面积系数N＝3.5时Ⅰ段长度满足条件15.14mm＜l1＜31.25mm，变幅杆的放大倍数可以达到Mp≥3，满足振幅的需要。当圆柱杆长度l1＝31.25mm时，最大应力较小且形状因数φ较好。所以，新型复合变幅杆的尺寸初步设计参数如表8所示。

由于变幅杆的大端面与换能器螺纹连接，变幅杆的小端面与刀具螺纹连接，所以需要在变幅杆的大端面和小端面各加工一个螺纹孔。

根据变幅杆设计的等效质量块法可知，为了抵消螺纹孔的影响，可以在变幅杆的小端面处沿轴向正方向增加一段短圆柱l3。

表8 新型复合变幅杆参数Table 8 New com posite horn param eters

固定大端直径D1、小端直径D2，以最大应力为优化目标函数，定义设计变量l1、l2、l3，定义频率范围为19 000Hz≤FREQ≤21000Hz，在保证放大倍数Mp≥3的条件下，进行变幅杆优化设计分析，优化后的变幅杆的有限元分析结果如图4所示，得到优化后的尺寸如表9所示。

表9 变幅杆优化设计结果Tab le 9 Resu lts of horn design op tim ization

4.2 变幅杆的性能测试

根据优化设计结果，加工制作变幅杆，如图5所示。

图5 变幅杆实物Fig.5 Photo of horn

采用北京邦联时代电子科技有线公司PV70A的阻抗分析仪对换能器和变幅杆进行阻抗分析，如图6所示。由图6可知，变幅杆的导纳圆圆度较好，电导曲线正常。振动系统的机械品质因数较高，即系统的电声转化效率高，说明所设计变幅杆的尺寸及其结构都十分合理。变幅杆的实测频率20013Hz与理论设计频率20 000 Hz的误差在1%以内，进一步验证理论公式的正确性。

图6 阻抗分析结果Fig.6 Result of impedance analysis

选用型号HK-008W 的激光位移传感器对换能器和变幅杆的输出端进行振幅测试，在150V驱动电压的激励下，测量换能器与变幅杆组件的输出振幅，卸载变幅杆后同样在150 V驱动电压的激励下，测量换能器的输出振幅，振幅测试的结果如图7所示。由图7可知：超声变幅杆系统振动状态稳定，实测变幅杆稳定输出振幅峰峰值为40μm，换能器的输出振幅峰峰值为13μm，变幅杆的放大倍数Mp＝3.08，与理论计算结果基本吻合，证明了理论公式的正确性。

图7 振幅测试结果Fig.7 Results of amplitude test

新型复合变幅杆的理论设计参数、有限元分析结果以及实测结果存在一定的误差。这主要由3方面因数造成：①理论计算时未考虑变幅杆首尾端连接螺纹孔以及窄端接修整杆l3的存在；②实验测量的是整个声学系统的谐振频率，但是理论设计和有限元分析时未考虑换能器的影响；③未能同时测量换能器与变幅杆的输出振幅，变幅杆作为纯阻负载对实验结果造成一定影响，所以实际测得的振幅放大倍数存在误差。

5 结 论

各种传统形状变幅杆各具有其优点，但是都不是最理想的：圆锥形和指数形的变幅杆的振幅放大倍数较低，小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆虽然具有较大的振幅放大倍数，但它的形状因数较小以及工作时具有很大的最大应力。因此采用了解析法设计了一种既能满足振幅条件，工作时最大应力较小的新型复合变幅杆。借助有限元分析软件对其进行模态和谐响应分析，得到变幅杆的谐振频率、放大倍数及应力极大点位置，与理论值基本吻合。加工和测试优化设计后的新型复合变幅杆，实测结果与理论设计参数十分接近，进一步验证了理论公式的正确性。