一种新的基于特征值融合的重力辅助导航适配区选择方法

张　璐，武　凛，柴　华，王虎彪，王　勇

(1.中国科学院测量与地球物理研究所大地测量与地球动力学国家重点实验室，武汉 430077；2.中国科学院大学，北京 100049)

0　引言

水下AUV的研究和发展有着重要的战略和经济意义，长时间的水下隐蔽航行需要精确自主的导航系统。目前的水下导航系统一般以惯性导航系统(INS)为主体，但是INS的定位误差是随时间积累的，需要采用其他辅助导航手段来进行重调和校正[1-3]。而重力辅助导航在测量重力场信息时，既不向外发射信号也不需要接收外部信号，因此重力辅助导航是实现水下无源自主导航的重要技术手段之一。AUV在航行过程中，通过重力传感器获取重力场特征，将实测的重力与载体上预先装配的重力基准图进行对比，利用匹配定位算法得到最佳匹配位置，在基准图上对载体实现定位。在匹配定位过程中，匹配区域的重力场特征是影响匹配定位结果的重要因素之一[4-5]。由于不同区域的重力场特征分布不同，因此在重力辅助导航中，适配区的选择尤其重要。

目前，重力匹配适配区选择主要采用基于特征值计算的方法，有信息熵法、绝对粗糙度法、平均重力变化法(AGD)以及双近邻模式法等。但由于重力数据以及水下航行的特殊性，以往研究和仿真试验结果表明，每一种单一的算法各有优缺点：信息熵法得出的特征值范围小，包含的信息量不足；绝对粗糙度法与AGD法类似，匹配定位结果与特征值的相关性不明显；双近邻模式计算的出的特征值范围大，但同时使得单次匹配时间增长[6-10]。

为了融合现有特征值算法的优点，并尽可能抵消每种单一方法的局限性，本文提出了一种新的基于特征值融合的特征算法。通过数据融合综合以上算法，得出新的特征值结果。与单一的特征值方法相比，这种方法综合已有特征值算法的优点，得出了相关性较好的结果。对比试验结果表明，采用基于特征值融合的特征算法得到的特征值与定位结果的对应曲线有更明显的单调性。因此，采用本文提出的新方法，对重力适配区进行划分，以此为参考进行航迹设计和航行规划，可以进一步提高重力辅助导航的匹配定位精度。

1　基于特征值融合的重力适配区选择方法

基于特征值计算的重力适配区的选择，是计算各个局部区域中重力场数据的特征值，根据特征值的大小对重力适配区进行划分，选取数值合适的特征值所在区域为匹配区。目前，已有的特征值方法主要有以下几种。

1.1　信息熵法

熵是表征物质状态的参量，这一算法首先运用于地形匹配导航中，反应了信息数据分布的离散程度。由信息熵的定义可知信息熵越小，数据差异越大，重力数据信息越丰富，其定义式如下：

(1)

其中，

(2)

在式(1)和式(2)中，M、N为实时图的行列数，f(i,j)为重力数据。

由式(1)和式(2)可知，Pij的归一化处理具有平滑噪声的作用，使其对噪声不敏感，具有剔除离散点的性质；熵对一定程度的基准误差是不敏感的，因此利用信息熵建立的匹配方法具有良好的抗基准误差能力。但信息熵的大小依赖于整个区域内的重力数值，单个数值对结果的影响很小。

1.2　绝对粗糙度法

绝对粗糙度是度量重力数据平均光滑程度的物理量。设某一大小为M×N的数字地图，T(i,j)代表采样点(i,j)处的高程值，定义绝对粗糙度σZ为：

σZ=(QX+QY)/2

(3)

其中，

QX=E|T(i,j)-T(i,j+1)|

(4)

QY=E|T(i,j)-T(i+1,j)|

(5)

QX、QY分别为X、Y方向上的重力相关系数。

1.3　平均重力变化法(AGD)

由于在一些区域的重力数据变化不明显，导致匹配结果错误，文献[9]提出了平均重力变化的概念：

(6)

其中，σij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n-1)，ωij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m-1)，为X、Y方向相邻格网间的重力差异。

由式(3)～式(5)(绝对粗糙度)与式(6)(AGD)可知，它们均反映的是相邻采样点间重力数据的差异，描述了一定范围内数据信息的复杂程度，相对于信息熵的特征变化明显。计算得出的特征值数值越大，则该范围内包含的重力信息也就越多。

1.4　双近邻模式法

由于以往的匹配方法对误匹配产生的原因分析不多，文献[10]根据误匹配产生的原因提出了双近邻模式。其原理是：为了避免第一类误匹配，匹配区应该由双近邻模式构成，即在特征空间中距离双近邻模式最近的参考图子图，在地理空间中也距其最近。

设参考图子图f(x,y)的大小为M×N，实时图g(x,y)的大小为m×n。对特征空间Rmn中的两个子图模式X1、X2，双近邻模式的相似性度量为：

(7)

(8)

根据式(7)、式(8)计算实时图模式与K个参考图子图模式之间的距离D(i)(1≤i≤K)构成搜索空间，D取最小值的位置就是实时图在参考图中的匹配位置。

双近邻模式算法采用的是去均值后的模式之间的欧氏距离作为相似性度量准则。也可以认为是参考图子图先去均值，然后将去均值的子图作为特征空间中的子图模式，子图模式之间的距离按照欧氏距离度量。由于去均值，该算法能够很好地抑制均值引起的误差[10]。并且两个子图模式之间的欧氏距离与参考系坐标原点的选取无关，所以测量误差引起的变化与实时图模式在特征空间中的位置无关，即与特征空间中的坐标系无关，减小了误匹配的概率。

1.5　基于特征值融合的适配区选择新方法

由式(1)、式(2)可知，信息熵的归一化处理具有平滑噪声的作用，使其对噪声不敏感，具有剔除离散点的性质。因此，利用信息熵建立的匹配方法具有良好的抗基准误差能力。但信息熵的大小依赖于整个区域内的重力数值，平滑该范围内的数据信息使得单个数值对结果的影响很小。

由式(3)～式(6)可知，它们均反映的是相邻采样点间重力数据的差异，描述了一定范围内数据信息的复杂程度，相对于信息熵的特征变化明显。但对于数据信息的描述还是存在一定的不足，部分重力变化不明显的区域得出特征值的差异也不是很明显。

双近邻模式算法将参考图子图先去均值，然后将去均值的子图作为特征空间中的子图模式。由于去均值，该算法能够很好地抑制均值引起的误差[10]。同时由于两个子图之间距离与参考系原点的选取无关，所以测量误差引起的变化与特征空间中的坐标系无关，减小了误匹配的概率。但由于计算量大，该方法会相应的降低计算效率，增加匹配时间。

从以上方法原理可以看出，现有的4种特征值计算的方法各有优缺点，单独应用于重力辅助导航中的适配区选择时，其结果均有不足。为了综合上述4种方法的优点，同时规避缺点，得到效果更加好的特征值，采用特征值融合的方法得到新的特征值。

W=-p1H+p2S+p3M+p4A

(9)

式(9)为本文提出的特征值融合算法(Eigenvalues-fusion Method, EVF)，其中，p1+p2+p3+p4=1为对应的权值，H、S、M和A为对应区域的信息熵、绝对粗糙度、双近邻模式以及AGD的数值。由于信息熵越大所包含的信息量越小，而其余3种方法的特征值与信息量成正相关，所以需在信息熵H前加负号。

该算法反映了一组数据中按各数据占有的不同权重时总体的平均大小情况。通过控制每个特征数值前权值的比重，来剔除不足，同时保留其优点。根据上述分析，在实验时应适当减小H和A的权重，相应增加S和M比重。

2　仿真结果及分析

以某局部海域为例，其海洋重力场分布如图1所示。其大小为500n mile×500n mile，格网分辨率为1′(1′ =1n mile=1853m)。

根据式(1)～式(8)分别计算该区域的信息熵、绝对粗糙度、AGD以及双近邻模式特征值分布，其结果如图2所示。计算时选取的实时图大小为100n mile×150n mile，因此该片区域求出的特征值矩阵大小为(500-100+1)×(500-150+1)，即401×351。由图2可以初步看出，特征值信息最不明显的是图2(a)的信息熵法的计算结果，而图2(d)的双近邻模式的特征值计算结果分布图相比图2(a)～图2(c)图来说，差异更加明显。

采用式(9)即本文提出的特征值融合EVF方法，计算该相同区域的特征值分布，其中权值p1、p2、p3、p4分别取值为0.05、0.3、0.6、0.05，其结果如图3所示。通过与图2的直观对比，可以发现相对于图2(a)来说，图3的特征分布和差异更明显，细节更加突出。相比图2(d)来说，图3中得到了相似的特征值分布结果，但特征值融合方法却通过范围更小的数值来反应了该片区域特征值的分布。

为了更加定量地来分析上述结果，对图2和图3中的特征值数据进行了统计，统计结果如表1所示。结合表1和图2、图3可以看到，在相同的区域里，信息熵法的计算结果数值范围极小，数值差异不大，变化不够明显，表明信息熵法对数据信息进行了均化，降低了分辨率。由此导致根据该结果进行适配区划分和选择时，稳定性较差，易出现较大误差。绝对粗糙度法和AGD法相比信息熵法，在特征值数值范围和差异性上有所改善。而双近邻模式法相对前3种算法，其特征值数值跨度显著增大，数值变化也极为剧烈。本文提出的特征值融合EVF方法计算所得的特征值，其数值跨度和差异，相比信息熵法、绝对粗糙度法和AGD法明显增加，更加显著；但相比双近邻模式法，并没有那么剧烈，用更小范围变化的数值得到了同样层次丰富的特征值分布结果。

表1　不同算法计算出的特征值统计结果

为了进一步验证不同算法的适配区选择效果，依次选用上文中的5种方法对图1所示的重力基准图进行适配区划分。根据每种适配区划分的结果，分别选取了20个代表性的适配区，这些适配区的特征值从小到大均匀分布。在每个适配区内，分别设计100条航迹开展重力匹配定位仿真试验，将基准图重力数据加上噪声用以模拟重力测量值，将每条航迹上的重力测量值与基准图进行匹配，可以得出一个重力匹配定位的结果。综合这100条航迹的匹配结果，即可以统计该适配区的重力匹配定位平均误差，由此可以得到该区域内平均匹配定位误差与区域特征值的对应曲线。当航迹长度取为100n mile时，5种方法的特征值与平均匹配定位误差的对应曲线如图4所示；当航迹长度取为150n mile时，其对应曲线如图5所示。

由图4和图5可知，由于信息熵计算特征值的变化较小，导致匹配结果并没有与特征值有很好的对应关系；而绝对粗糙度法、AGD法和双近邻模式法虽然可以看出有一定的相关性，但是部分曲线波动较大，并且部分曲线下降剧烈导致在特征值大的区域结果差异不明显；而特征值融合EVF法相对于其他方法来说，匹配结果与特征值的对应关系更加清晰，有明显的下降趋势。此外，在保持相对较小波动的同时，曲线的各部分有明显的差异，从而层次感更加清晰。

对图4、图5的仿真试验中不同方法选出的20个适配区，根据其对应的平均定位误差，统计各个不同定位误差大小对应的适配区数量占比，统计结果如表2、表3所示。从表2、表3可知，当匹配定位精度要求为1n mile时，5种方法选出的大部分适配区都符合要求，数量占比基本相当。但是当定位精度要求逐渐提高时，不同方法的适配区划分效果开始出现显著差别。当匹配定位精度要求高于0.2n mile时，本文EVF方法选出的适配区中，仍有75%的适配区达到要求。而此时原有的4种方法所选出的适配区中，符合要求的适配区数量占比急剧减少，甚至到了20%、30%。综合来看，EVF方法所选出的适配区，普遍在仿真试验中可以得到更高的匹配定位精度。由此可以发现，数据融合提高了适配区选择的质量，在高精度要求下有明显的优势，这对于航迹规划有很大的意义。

匹配定位误差/nmile适配区选择方法信息熵法绝对粗糙度法AGD法双近邻模式法本文的EVF方法<195%80%70%90%95%<0.574%70%65%75%80%<0.245%40%60%60%75%<0.120%30%40%45%50%

表3　不同匹配定位误差大小对应的适配区数量占比(航迹长度150 n mile)Table 3　Quantity rate of matching areas with different positioning error (matching length=150n mile)

3　结论

本文首先回顾了现有的基于单一特征值的重力辅助导航适配区选择方法，对不同方法的原理及优缺点进行了分析和探讨。在此基础上，通过特征值融合得出了新的适配区选择方法。通过仿真试验，分析了不同方法选择的适配区的特征值与平均定位误差的对应关系，并探讨了各个不同定位误差大小对应的适配区数量占比。结果表明，本文提出的基于特征值融合的EVF重力适配区选择方法，其融合计算得出的特征值与匹配定位结果有很好的对应关系。按照该方法选择的适配区，在仿真试验中可以得到更高的匹配定位精度，提高了适配区选择的质量。

虽然特征值融合EVF方法综合了已有特征值算法的优点，但不足还是存在的。特征融合的前提需要在选定区域使用已有特征算法，得到该区域的特征值，对于原有算法的依赖性强。同时在长时间航行过程中，匹配结果也会有较大的浮动，而这些不足有待在进一步的研究中优化。

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