基于残差卡方检验和动态Allan方差的INS/GPS故障检测与定位算法研究

张春熹，卢　鑫，高　爽，王　璐

(北京航空航天大学仪器科学与光学工程学院，北京 100191)

0　引言

一般的惯性导航系统通常由两种传感器组成，即沿正交方向的3轴陀螺和3轴加速度计，并通过与卫星、磁强计等外部信息的组合，提供精确可靠的导航数据。而惯性传感器作为INS的核心器件极易受到外界的干扰，造成INS性能的下降，包括零偏和标度因数等参数都会受到影响，可能短期内就会在姿态、速度、位置中累积巨大的误差[1]。因此,需要对INS的工作状态进行实时的监控，当其出现故障时及时报警。

一般来说,故障可分为硬故障和软故障。硬故障主要通过BIT(Built In Test)来检测[2]；软故障可以认为是由于环境等因素造成的惯性器件的性能下降即传感器信号中的未知改变，及由于卫星信号受到干扰、遮挡或载体高动态运动造成的卫星数据的不确定性。这类故障通常表现为陀螺或加速度计出现异常的偏值，输出噪声特性发生变化或者卫星信号中夹杂有额外地噪声等[3]。

在系统层面进行故障检测时，通常使用卡方检验法作为故障检测算法，这种方法一般是使用状态评价器并构建统计学方程来进行系统层面的状态监测[4]。这时由环境干扰等造成的传感器性能的改变及用于组合导航的外部信息的故障都会耦合进入统计特性中，因此使用卡方检验法可以对整个惯导系统的工作状态进行实时的监控，当出现故障时及时报警，然而该方法并不能够准确地识别出故障发生的位置。

要想实现对故障的准确定位，需要一种能够在传感器层面进行故障检测的算法。一般来说，为了分辨和评价惯性传感器的噪声特性，通常使用功率谱密度(PSD)、均方根(RMS)、Allan方差等方法，这些方法都是以统计学的方法分析当前数据，判断传感器的工作状态，并对未来可能出现的特性改变做出预测和辨识[5]。其中以Allan方差法最具代表性，作为IEEE协会认可的一种评价陀螺性能的方法，被广泛应用于各种惯性传感器性能的评估。由于实际的传感器故障信号可能会在短时间内表现出不稳定性，且长时间内被测信号可能会受到由于环境变化、自身老化或突然故障造成的自身性能下降的影响，传统Allan方差法的使用受到了极大的限制。动态Allan方差法的出现使得跟踪和描述信号随时间变化的特性和各种噪声系数成为可能[6]，然而这种方法的问题在于计算量很大，这对于小型化的导航计算机来说是一个巨大的负担，无法保证故障检测的实时性。

所以必须综合利用系统级和传感器级的故障检测方法，充分发挥各方法的优势，实现对故障的及时检测和准确定位。

1　原理

1.1　基于残差卡方检验法的系统故障检测

卡方检验是判断统计样本的实际观测值与理论值之间偏离程度的一种方法，实际观测值与理论值之间的偏离程度越大，则卡方值越大。

根据所构造的随机向量的不同，卡方检验法又可分为残差卡方检验法和状态卡方检验法[7]。状态卡方检验法在报警期间没有漏检，但因其计算量大，报警延迟高，而且灵敏度随着滤波的不断进行有所下降；而残差卡方检验法报警延迟小，对量测故障比较敏感，可以直接使用Kalman滤波器的计算结果从而运算量较低，是最为广泛使用的故障检测算法。

残差卡方检验法一般有两个步骤，首先是通过Kalman滤波的新息迭代来提供待检测信号，然后再使用阈值函数来界定故障和干扰。故障检测算法的设计就是要尽量将干扰的影响降至最低，并尽最大可能分辨出故障的发生[8]。

一般基于松组合的INS/GPS系统的状态变量可以表示为：

Xk=[θTδvTδpTεTT]T

(1)

状态方程可以写为:

Xk+1=FkXk+Gkωk

(2)

Fk为系统的状态转移矩阵，ωk为系统的噪声过程，Gk视作白噪声且其方差阵为一常值，为系统的噪声转移矩阵。

量测向量及观测方程为：

Yk=[(v-vGPS)T(p-pGPS)T]T

(3)

Yk=HkXk+vk

(4)

Yk为INS和GPS的速度和位置差，Hk为观测系数矩阵，vk为观测噪声并假设其为白噪声过程。

在k时刻得到的Kalman滤波状态估计方程为：

(5)

一旦传感器或外部信息即观测值出现故障，都会与之前的假设ωk和vk为相互独立的白噪声相矛盾。当系统正常工作未出现故障时，rk应该是Gauss白噪声服从0均值方差vk的正态分布，且不同时刻的新息向量相互独立：

rk=Yk-HkXk,k-1～N(0,Vk)

(6)

Vk=HkPkHkT+Rk

(7)

为了检测出这时噪声方差阵的改变，需要构建一个合适的统计学方程，选择数据窗口长度为p，即截取p个新息的样本数据作为一组，则其总体服从自由度为6p的卡方分布。观察系统模型方程和Kalman滤波的迭代方程，评价函数可以设计为：

(8)

接下来选择相应的显著性水平为a(0

(9)

这里根据自由度6p和系统要求的虚警率参照卡方分布表来选取合适的阈值ε，当评价函数大于阈值时，说明系统有故障发生，否则系统正常工作，即：

通过不断地对评价函数值与阈值进行比较，可以实现实时的故障检测。

1.2　基于动态Allan方差法的传感器故障检测

Allan方差法是一种时域的分析方法，可以将传感器随机模型中的噪声项量化成偏值不稳定性、角度随机游走、量化噪声等[9]。传统的Allan方差是以采样周期τ0对陀螺输出的角增量进行采样，在连续采样N个数据点后，将其分为K组，每组包含M(M<(N-1/2))个采样点，每组数据的持续时间为τ=Mτ0，即相关时间。

不同的分组方式对应每一组的平均值为：

(k=1,2,…,K)

(10)

则Allan方差的计算公式为：

(11)

根据不同相关时间对应的不同Allan方差值，可以绘制出它们的双对数曲线图，并通过其与原始数据中噪声功率谱对应的关系，借由曲线拟合得到不同的噪声系数，此时Allan方差可以表示为几种误差源方差的平方和：

(12)

相应的噪声系数N、K、B、Q、R分别代表角度随机游走、速率随机游走、零偏稳定性、量化噪声、速率斜坡5种噪声源的系数，其计算公式为[10]：

(13)

动态Allan方差是经典Allan方差的扩展，它的基本思路是分别计算信号在不同时段内的Allan方差，并将计算结果绘制在同一幅3维图中。其计算方式为定义窗口长度为M的窗函数PL(t′)，步进长度N(N

y(t,t0)=x(t0)PL(t-t0)

(14)

假设待处理的样本总长度为L，则y(t,t1)由长度为M的采样信号组成，对这段信号进行Allan方差分析，随后依次步进至t0+kN(k=1,2,…)点作为下一组待处理样本的中点,继续进行Allan方差分析，最后将所有的分析结果以x轴、y轴和z轴分别代表时间、相关时间、Allan方差值的关系绘制在3维坐标系中，就可以得到这段样本的动态Allan方差分析图，并可以分别计算出每次步进后该组样本的噪声系数。

2　仿真验证

从图1、图2可知，排除500s～600s的GPS故障和1000s～1200s的传感器故障外，系统运行稳定，3轴速度误差几乎为0，且评价函数的值一直维持在一个较低的水平即小于20；而在500s～600s时由于GPS信号受到干扰，速度误差值显著增加，评价函数值也随之出现了剧烈的跳变；而在1000s～1200s时，由于惯性传感器输出的噪声参数发生改变，影响了滤波新息的卡方分布，造成了评价函数的突变，而且由于Kalman滤波器所建立的噪声模型与传感器真实的噪声模型存在巨大偏差，故滤波器一直无法收敛，导致评价函数的值一直无法达到一个比较小的水平，即系统一直处于故障的状态，速度误差图反映的情况基本与故障发生的情况相符，1200s后传感器和GPS恢复正常状态，系统又回到正常工作状态。

随后对实验2系统故障时的运行数据进行动态Allan方差分析，计算条件选择矩形窗，并将窗口长度设置为50s，窗口中点的步进长度为16s，拟合方式选择最小二乘拟合,具体对比如图3、图4所示。

由于卡方检验已经将故障出现的时间段确定在600s～700s和1000s～1200s之间，接下来需要确定故障出现的位置，仅需在故障发生前后的局部区域对不同传感器进行动态Allan方差分析即可，故选择500s～800s及950s～1250s的传感器数据进行动态Allan方差分析，即图3中的0s～300s。由图3(a)可知，950s～1250s的Allan方差分析图出现了明显的波动，这是其中一段数据加速度计出现了故障导致的，故障时的噪声系数也明显增大；而由图3(b)可知，正常工作的传感器的Allan方差分析图非常平稳，且噪声系数保持在一个平稳的范围内，由此可以判断此次故障应该是由GPS信号的异常造成的。

3　实验验证

由于惯性传感器可能受到复杂外界环境的干扰，不失一般性选用实际采集的振动条件下的INS的数据进行故障检测算法分析，卡方检验的结果如图5所示。

图5中可见在0s～300s评价函数值非常小，说明系统在该时间段工作正常未出现故障，而在300s～600s评价函数出现了不平稳的现象，且在600s～700s时出现剧烈波动，并在1000s后恢复正常，说明INS系统在300s～1000s的时间段内非正常工作。

随后对故障出现的200s～1100s的任意一轴陀螺数据进行动态Allan方差分析，数据采样间隔2.5ms，数据总长度1250s， Allan方差选择矩形窗并将窗口长度设置为50s，窗口中点的步进长度16s，拟合方式选择最小二乘拟合，具体如图6、图7所示。

由图6、图7可知，前300s的噪声系数非常小，动态Allan方差分析图也非常稳定，说明INS处于正常工作中状态良好；而300s后图像出现明显的改变，相应传感器的噪声系数也出现了轻微的增加并在600s处出现了显著的增加，说明受到振动环境的干扰传感器的输出特性发生了改变，而且由图中可见出现了两种不同分布的噪声，这是由于振动台进入开机的状态后对INS有所干扰，随后距离振动真正的开始大约有300s的时间间隔，无论在Allan方差分析图或是在噪声系数上都能够清晰地反映出这几种状态的变化，完全符合实验条件，也从侧面佐证了残差卡方检验配合动态Allan方差法在惯性传感器故障检测方面的有效性。

4　结论

INS/GPS系统作为一种精密的测量系统，其内部传感器极易受到外部温度、湿度、振动、辐射等环境因素的影响及其本身器件老化造成的性能下降，而GPS的信号也容易受到干扰并不完全可靠，因此提出了综合运用残差卡方检验法和动态Allan方差法，分别从系统层面和传感器层面对系统故障进行检测及定位的方法。

其中，残差卡方检验法借助Kalman滤波的中间变量构建评价方程，通过不断的与阈值进行比较，可以实现实时地系统故障诊断，能够从系统层面实时地对系统性能进行监测。当传感器的性能下降或者外部信息出现故障时，能够及时检测出来并准确判断故障发生的时间，为后续Allan方差的使用划出范围，大大优化了Allan方差的计算量。然而传统的卡方检验法是建立在噪声为Gauss分布的条件下对系统进行检测，在实际工程应用中噪声很难完全满足理想的Gauss分布，因此判断故障与否的阈值应根据实际情况适当调整。随后的动态Allan方差法在已知故障发生时间的基础上，弥补了残差卡方检验法在出现故障位置识别方面的劣势，但是由于该方法本身计算量较大且受计算方式的影响需要一定的数据长度来保证结果的准确性，因此实时性较差。

最后，借助这两种方法的综合使用，充分发挥各方法的优势，可以在INS出现故障时及时准确地检测出来，并准确定位至故障发生的位置，为INS故障后的修复提供依据，确保INS正常工作。

[1]Zhong M Y, Guo J, Guo D F, et al. An extended HiH∞optimization approach to fault detection of INS/GPS-integrated system[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2016, 65(11) :2495-2504.

[2]Pecht M, Dube M, Natishan M, et al. Evaluation of built-in test[J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems,2001, 37(1):266-271.

[3]Vitanov I, Aouf N. Fault diagnosis for MEMS INS using unscented Kalman filter enhanced by Gaussian process adaptation[C]. 2014 NASA/ESA Conference on Adaptive Hardware and Systems(AHS), 2014：120-126.

[4]Zhong M Y, Guo J, Yang Z H. On real time performance evaluation of the inertial sensors for INS/GPS integrated systems[J]. IEEE Sensors Journal, 2016, 16(17):6652-6661.

[5]Evaluation[EB/OL].http://en.wikipedia. org/wiki/evaluation, 2015.

[6]张娜, 李绪友. 动态Allan方差的理论改进及其应用研究[J].光学学报, 2011, 31(11):70-75.

ZHANG Na，LI Xu-you. Research on theoretical improvement of dynamic Allan variance and itsapplication[J]. Acta Optica Sinica, 2011, 31(11):70-75.

[7]翁浚, 成研, 秦永元,等. 车辆运动约束在SINS/OD 系统故障检测中的应用[J].中国惯性技术学报, 2013, 21(3): 406-410.

WENG Jun, CHENG Yan, QIN Yong-yuan, et al. Application of vehicle constraints in SINS/OD system's fault detection[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2013,

21(3): 406-410.

[8]Hwang D H, Sang H O, Sang J L, et al. Design of a low-cost attitude determination GPS/INS integrated navigation system[J]. GPS Solutions, 2005, 9(4):294-311.

[9]李冀辰, 高凤岐, 王广龙, 等. 光纤陀螺振动和变温条件下的DAVAR分析[J].中国激光, 2013, 40(9):184-190.

LI Ji-chen, GAO Feng-qi, WANG Guang-long, et al. Analysis of dynamic Allan variance for fiber optic gyro under vibration and variable temperature conditions[J]. Chinese Journal of Lasers, 2013, 40(9):184-190.

[10]Galleani L. The dynamic Allan variance III: confidence and detection surfaces[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectric, and Frequency Control, 2011, 58(8): 1550-1558.