基于线性滤波降阶的串联机械臂非线性反馈跟踪控制

王东云 李继朋 王瑷珲 蔡飞 郭光复

摘要：设计了一种基于线性滤波降阶的串联机械臂非线性反馈跟踪控制系统，实现了对机械臂关节位移和速度的全局指数跟踪。首先，通过拉格朗日方法建立起两自由度串联机械臂的动态模型;其次，在系统模型中引入一个线性滤波器，将系统化解为关于线形滤波变量的一阶动态方程，然后，设计非线性反馈控制器，通过前馈以补偿系统的非线性和耦合性，并且通过李雅普诺夫稳定性方法证明了所设计控制器可实现系统的全局指数稳定，能完成对期望位移和速度的指数跟踪;最后，通过仿真验证了所提出方法的有效性。

关键词：串联机械臂;线性滤波;跟踪控制;反馈线性化;李雅普诺夫函数;指数稳定

中图分类号：TP241.2;TH16

文献标志码：A

1 引言

在现代的工业自动化领域中，工业串联机器人扮演着一个重要的角色。串联机器人（图1）自上世纪中期开始出现，它的出现极大地提高了工业生产效率，许多人类无法直接进行的操作都可由机器人进行作业。随着工业4.O的提出，智慧工厂已成为现代化的生产标志，工业机器人的应用更是其中必不可少的一项。而今，机器人已广泛应用在工业、医疗、航天和服务等行业，进行着各种不同的作业[1-2]。

串联机器人能否胜任特定的工业现场，主要在于机器人的控制问题，对串联机器人的控制大体上可分为对位移、速度、加速度、末端操作力及力位混合控制几种[4]。如果控制的目标是一个点，则属于机器人的定点控制;如果控制的目标是让末端操作器沿着一个预定的轨迹运动，则属于连续轨迹的跟踪控制。众所周知，串联机器人的动力学模型是一个高度复杂的非线性微分方程，各个关节之间具有高度的耦合性。此外，串联机器人是一种典型的具有不确定性的控制对象，这些使得机器人的控制问题变得复杂[3]。

对串联机器人的控制有很多的方法。其中，最简单的控制方法是独立关节的PID位置控制。PID位置控制的控制方式简单，应用广泛，但只能进行定点控制，且机器人控制输入的初始力矩较大[4];自适应控制也是一种应用非常广泛的控制方法，相较于其他的控制方式，自适应控制加入了一个系统参数的辨识环节，控制器能够根据系统参数的变化不断地调整自身的参数以适应环境的变化，很好的克服了机器人系统不确定性所带来的影响[7-10]。但自适应控制控制律的设计较为复杂，且必须进行系统的参数辨识，这需要很大的在线运算量，给机器人的实际应用也带来了困难[6];鲁棒控制具有较强的抗干扰能力，很容易保证系统的稳定性，但在设计控制器时需要知道干扰的上下界[5]。根据机械臂的动力学特性，本文使用一种基于线性滤波的反馈线性化的控制方法，在机械臂的动态模型中引入一个线性滤波器，则系统的开环误差模型变为了关于滤波器变量的一阶线性微分方程，然后设计非线性控制器作为前馈补偿以抵消系统的非线性，使得关节位移和速度能够全局指数收敛于期望的位移和速度。

2 动力学模型

平面两连杆刚性串联机械臂（图2）的动力学模型可由下列的二阶非线性微分方程来描述

式（5）和（6）中，g表示重力加速度，fdl和fd2表示粘滞摩擦系数。由以上可知，二自由度串联机械臂的动态模型较为复杂，是一个典型的多输入、多输出、强耦合的非线性微分方程。动力学模型主要研究在关节空间中，机械臂的各个关节力矩与关节角度之间的映射关系，而控制的目的是如何设计有效的控制器为系统施加控制输入，使得关节角度能够跟踪预定的参考轨迹。

3 控制器设计

串联机器人控制的目的是使各个关节的角位移能够跟踪预定的参考量，使得位置誤差以及速度误差能够尽快收敛到零。定义系统的位置误差为

4 仿真结果及分析

根据式（1）所表述的串联机器人的动力学模型，以及式（14）非线性反馈控制律，对整个闭环动态系统进行仿真。串联机器人的结构参数取为m1=0.6kg，m2= 0.6kg，l1=1.2m，l2=0.8m，dl=0.6m，d2= 0.4m。由式（4）计算得pl= 1.176，p2=0.096，p3= 0.288。重力加速度取为g- 9.8m/s，粘滞摩擦系数取为fdl= 5.3，fd2= 1.1。式（8）中线性滤波增益取为α= 12，式（14）控制律中控制增益取为β=15。系统初始状态取为θ=（0-1），θ=（0-0）。仿真结果如图（3-6）所示，图3表示角位移跟踪曲线，图4为速度跟踪曲线，图5表示控制输入曲线，图6为位置跟踪误差曲线。

由仿真结果可知，串联机器人关节角位移对预定的关节角度具有很好的跟踪特性。关节角位移在初始状态下能够迅速跟踪上参考轨迹的变化，使得关节位置跟踪误差很快地收敛于零。关节速度在起始阶段内经过了快速地变化之后也能跟踪上参考轨迹速度的变化。由控制输入曲线可知，系统的初始力矩不是很大，此后，关节力矩趋于平滑稳定，这也克服了传统的PID等控制方法初始力矩过大的缺点。

对于串联机器入而言，由于模型的复杂性，使得对于它的控制也变得困难。针对于具体的工业串联机器人，很难找到一种控制律简单，在线计算量不大，而又有很好控制效果的方法[2]。基于线性滤波降阶的非线性反馈控制方法很好地补偿了系统的非线性因素，控制器设计简单，使得跟踪误差能以指数方式很快收敛于零，很好地提高了系统的跟踪控制效果，同时也便于串联机器人在实际工业现场的应用。

参考文献

[1]冀寒松，郝敬宾，王飞龙，等，折叠双臂式机器人的运动学与工作空间分析[J].科学技术与工程，2016， 16（25）： 91 -98.

[2]邓斌，李想，吴文海，等，四驱式爬缆机器人结构及动力学分析[J].科学技术与工程，2015，15（32）：165-167.

[3]方勇纯，卢桂章，非线性系统理论[M].北京：清华大学出版社，2009.

[4] 霍伟，机器人动力学与控制[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5] 王耀南，机器人智能控制工程[M].北京：科学出版社，2004.

[6] 刘金琨，机器人控制系统的设计与MATLAB仿真[Ml.北京：清华大学出版，2008.

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[10] WANG A，DENG M Robust nonlinear control design to amanipulator based on operator based approach[J]. ICIC Ex-press Letters 2012，6：617-623.